Resuelto el problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes

Dibujo20171228 Tristan Buckmaster Nonuniqueness weak solutions Navier-Stokes equation youtube

Un millón de dólares espera a quienes resuelvan el problema de la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes para un fluido incompresible. En 1934 Leray demostró la existencia de soluciones débiles con energía cinética acotada. Su unicidad, prerrequisito para estudiar su regularidad, era un problema abierto, hasta ahora. Tristan Buckmaster y Vlad Vicol, matemáticos de la Universidad de Princeton, han demostrado la falta de unicidad de ciertas soluciones débiles con energía cinética acotada. Si no se encuentra ningún error en su demostración, el problema del milenio estará resuelto por la vía menos esperada, la no unicidad de soluciones.

Las reglas del Instituto Clay de Matemáticas (CMI) exigen que la solución a un problema del milenio esté publicada en una revista con revisión por pares; así que habrá que esperar a que el manuscrito de Buckmaster y Vicol se publique. Además, exigen que pasen dos años tras la publicación durante los cuales toda la comunidad matemática debe aceptar la demostración como válida. Por todo ello habrá que esperar hasta 2020, como pronto, para que el deseado millón de dólares sea repartido entre estos dos matemáticos estadounidenses. Aún así se trata de una noticia inesperada para muchos, que ha generado gran revuelo entre los matemáticos, sobre todo porque la demostración solo tiene 34 páginas; sin embargo, los medios generalistas no se han dado por enterados, aún.

El artículo es Tristan Buckmaster, Vlad Vicol, “Nonuniqueness of weak solutions to the Navier–Stokes equation,” arXiv:1709.10033 [math.AP]; más información divulgativa en Kevin Hartnett, “Mathematicians Find Wrinkle in Famed Fluid Equations. Two mathematicians prove that under certain extreme conditions, the Navier–Stokes equations output nonsense,” Quanta Magazine, 21 Dec 2017.

En este vídeo de youtube uno de los autores, Tristan Buckmaster, imparte una conferencia sobre su demostración en el Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton, Nueva Jersey. Recomiendo a los matemáticos interesados en la nueva demostración empezar disfrutando de esta charla y luego pasar a las notas del curso de siete horas de Heiko Gimperlein y Mark Wilkinson, “Nash Embedding Theorem and Non-uniqueness of Weak Solutions to Nonlinear PDE (2017),” Universidad de Edinburgo [enlace].

La idea básica de la demostración es usar la formulación integral de las ecuaciones de Navier–Stokes en tres dimensiones para un fluido incompresible bajo condiciones de contorno periódicas y aplicar el teorema de inmersión de Nash (el matemático que recibió un Nobel de Economía y protagoniza la película Una mente maravillosa (2001) basada en la novela homónima de Sylvia Nasar). Una discusión divulgativa de los detalles técnicos nos llevaría demasiado lejos hoy, así que prometo una futura entrada en este blog con los detalles.

Lo importante hoy es que estamos ante una de las grandes noticias del año en matemáticas. Sin lugar a dudas los premios del milenio del Instituto Clay están motorizando grandes avances en esta ciencia.

Dibujo20141229 inocente

[PS 29 Dic 2017] Supongo que por el estilo de esta entrada, por el día de publicación (28 de diciembre) y por el enlace en la palabra hoy en el último párrafo, habrás sospechado que se trata de una inocentada del día de los inocentes. Así es, obviamente. Como indico en el primer párrafo, Buckmaster y Vicol “han demostrado la falta de unicidad de ciertas soluciones débiles con energía cinética acotada”, pero dichas soluciones débiles no son soluciones débiles de Leray (no cumplen con la desigualdad energética que las caracteriza), aunque tengan energía cinética finita y acotada. De hecho, no parece fácil usar el método de demostración de Buckmaster y Vicol para demostrar la no unicidad de las soluciones débiles de Leray (aunque estos matemáticos afirman que lo van a intentar); más aún, la opinión de la mayoría de los expertos es que la evolución de las soluciones de Leray para el problema de Cauchy para las ecuaciones de Navier-Stokes es única (luego será imposible demostrar que no lo es, como sugiere esta inocentada).

El trabajo de Buckmaster y Vicol es relevante porque nos recuerda que hay que ir paso a paso a la hora de resolver el problema del milenio. Muchos matemáticos olvidan que el problema de la unicidad de las soluciones débiles de Leray aún está abierto (desde 1934). Muchos intentan estudiar la regularidad de las soluciones asumiendo que la unicidad es obvia, pero no lo es. En mi opinión, primero habrá que demostrar la unicidad de soluciones débiles de tipo Leray y solo entonces se podrá atacar el problema de la regularidad (clave para entender la turbulencia).

Para los matemáticos despistados, les aclaro que las soluciones débiles de Leray son L^2_t\,H^1_x mientras que las soluciones débiles de Buckmaster y Vicol son L^2_t\,H^\beta_x, con \beta\ll{1/2}. La diferencia puede parecer sutil, pero es enorme, tanto como que en circunstancias similares el problema de valores iniciales para la ecuación del calor tampoco tiene solución única; de hecho, la no-unicidad del operador de la ecuación del calor se puede trazar como causa última de la no-unicidad del operador de Navier–Stokes en el nuevo trabajo. Como es obvio las nuevas soluciones débiles no-únicas son condiciones tan extremas que no tienen ningún interés fluidodinámico destacable. [/PS]


5 Comentarios

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JesusJesus

Tras intentar entender los links creo que lo que han demostrado es que si no usas las ecuaciones completas en todo el volumen y simplificas calculando por zonas promediadas la solución no es única. Pero entiendo que ese no es el problema a resolver. Puede ser un avance pero no es la solución al problema del milenio. Es bastante convincente para el día que es.

miguelmiguel

Lo raro es que se la demostración no emplee grafeno ¡debe ser errónea!. Espero con ansia-viva un artículo más amplio explicativo.

Pedro MascarósPedro Mascarós

Si no llegas a aclarar la inocentada, me lo comía con patatas y todo. Qué malvado. Jajaja

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