El duro camino hacia la demostración de la hipótesis de Riemann

Dibujo20180125 riemann zeta function

Para demostrar la hipótesis de Riemann basta probar que la constante de De Bruijn–Newman no es positiva (Λ≤0). Terence Tao y Brad Rodgers han demostrado la conjetura de Newman, que afirma que no es negativa (Λ≥0). Por tanto, ahora, la hipótesis de Riemann es equivalente a que la constante de De Bruijn–Newman es nula (Λ=0). ¿Se trata de un gran avance hacia el millón de dólares que premia la solución de este problema? No, lo siento; más bien, todo lo contrario, ahora sabemos lo poco prometedora que es la ruta que llevaba a este Premio del Milenio vía la constante de De Bruijn–Newman.

La hipótesis de Riemann afirma que todos los zeros no triviales (complejos) de la función zeta de Riemann ζ(z) tienen parte real igual a 1/2 (desde 2004 sabemos que los primeros diez billones de ceros la tienen). El propio Riemann, a partir de ζ(z), introdujo la función ξ(z) cuya transformada de Fourier normalizada H0(z) tiene todos sus ceros reales si se cumple la hipótesis de Riemann. De Bruijin (1950) la generalizó a Ht(z), que es solución de la ecuación del calor hacia atrás en el tiempo, siendo t el tiempo, como probaron Csordas–Smith–Varga (1994). Newman (1976) introdujo la constante de De Bruijn–Newman Λ, tal que Ht(z) tiene todos sus ceros reales si y solo sí t≥Λ; además, Newman demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a que Λ≤0, pero conjeturó que Λ≥0.

Estas ideas ofrecen dos caminos para demostrar la hipótesis de Riemann; por un lado, caracterizar el espacio de todas las soluciones de la ecuación del calor hacia atrás en el tiempo cuyos ceros son positivos y luego probar que H0(z) está en dicho espacio y, por otro lado, caracterizar el espacio de todas las funciones cuya transformada de Fourier tiene todos sus ceros positivos y luego probar que la función ξ(z) se encuentra en dicho espacio. Ambos caminos parecían prometedores si la conjetura de Newman era falsa (Λ<0), en contra de lo que indicaban muchos indicios; la razón es que para Λ<0 en dichos espacios se podrían encontrar funciones parecidas a las de Riemann que ayudarían a identificarla entre sus miembros. Ahora sabemos que estos caminos son muy poco prometedores, ya que la función ξ(z) y H0(z) son funciones muy excepcionales, dado que cumplen Λ=0.

Una pena, pero el nuevo resultado de Tao y Rodgers cierra puertas, en lugar de abrirlas. El artículo es Brad Rodgers, Terence Tao, “The De Bruijn-Newman constant is non-negative,” arXiv:1801.05914 [math.NT]; más información divulgativa (aunque solo para matemáticos) en Terence Tao, “The De Bruijn-Newman constant is non-negative,” What’s new, 19 Jan 2018. Sabemos que 0 ≤ Λ < 1/2, reducir esta cota superior es el objetivo del nuevo proyecto polimatemático Polymath15, como nos cuenta Terence Tao, “Polymath proposal: upper bounding the de Bruijn-Newman constant,” What’s new, 24 Jan 2018.


4 Comentarios

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Ian MichelowIan Michelow

A seguir buscando la demostración, o la refutación, de la hipótesis de Riemann.
Vamos que se puede!!!

Y si se intenta buscar la solución a la hipótesis de Riemann enfocándose en la física teórica??? Tal vez allí esté la gran oportunidad de probarla. ^_^

Francisco R. Villatoro

Ian, el enfoque vía la conjetura de Hilbert-Pólya se propuso hace más de un siglo y ha sido infructuoso; las variantes más recientes, como la conjetura de Berry-Keating, en opinión generalizada entre los expertos, están repletas de obstrucciones y se descartan como caminos firmes a la prueba.

Sujeto 7Sujeto 7

¿Por que las demostraciones son largos y parecen muy complicados?
Y como puedo llegar a entender?

Francisco R. Villatoro

Sujeto 7, la primera demostración de un resultado suele ser larga y se va acortando conforme se van entendiendo mejor los argumentos clave; aún así, no siempre se puede lograr una demostración que quepa en una servilleta. Para entenderlas tienes que estudiar la carrera de matemáticas, doctorarte en el área de la matemática asociada a dicha demostración y estudiar durante muchos años todas las herramientas usadas en dicha demostración. El camino no es gratis, pero se disfruta mucho.

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