Las paradojas autorreferenciales tienen «mala fama» desde que la metamatemática de Russell (1903) y sus paradojas llevaron a reformular la teoría axiomática de conjuntos y la lógica. Paradojas como la del mentiroso (un círculo vicioso) abandonaron la matemática que fue reformulada para no darles cabida. Pero seamos sinceros, ¿no sería mejor una matemática que «comprendiera» que «asimilara» estas paradojas y las «desarrollara» en todo su esplendor? La opinión habitual es que no es posible porque lleva a inconsistencias (contradicciones). ¿Cómo evitarlas? Sorprendentemente es muy fácil. Elemér E. Rosinger lleva trabajando en ello muchos años y nos resume su trabajo en «Brief Lecture Notes on Self-Referential Mathematics, and Beyond,» ArXiv, Submitted on 2 May 2009 .

Matemática Autorreferencial. Bonito nombre que Rosinger ha puesto a su trabajo en axiomática y teoría de conjuntos (algunos la llaman un poco despectivamente «Matemática Inconsistente»). La idea básica es simple. Sustituir un axioma en la teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF) con Axioma de Elección de tal forma que se preserva toda la teoría de conjuntos usual y además se obtienen un gran número de nuevos conjuntos, los autorreferenciales. Nada se pierde. Mucho se gana. ¡Qué más se puede pedir! Bueno, hacerlo bien requiere cierta «mano» para evitar inconsistencias. Rosinger nos muestra cómo hacerlo preservando la consistencia del resultado.

No quiero entrar en detalles técnicos. Sobre todo porque la mayoría de los lectores habituales de este blog no son aficionados a la «bella» Teoría Axiomática de Conjuntos. ¿Qué ventaja puede tener una matemática que incorpore como verdades afirmaciones como «esta afirmación es falsa»? A la mayoría le parecerá una «chorrada» pero hay gran número de resultados matemáticos en topología (espacios de Hausdorff) o en teoría de la probabilidad (modelo de Kolmogorov) que conducen a verdades autorreferenciales. «Capar» dichas teorías porque hay que «capar» todas las verdades autorreferenciales lleva a grandes dificultades técnicas y a demostraciones más complicadas y técnicas de lo estrictamente necesario.

Para los informáticos, «por definición» aficionados a la Axiomática (el que no lo sea que calle, porque debería). ¿Por qué no existe una definición de algoritmo? Porque sería autorreferencial. Lo único que tenemos es la tesis de Church-Turing sobre la equivalencia entre sí de varios formalismos teóricos. En un matemática autorreferencial es posible definir el concepto de algoritmo. Las teorías de la computabilidad (calculabilidad) y complejidad (algorítmica) se beneficiarían claramente de asumir como válida una matemática autorreferencial.

Los interesados, si hay alguno entre los lectores, disfrutarán «comiéndose el coco» con el artículo de Rosinger.