Demostrada la conjetura de Arf-Kervaire sobre hiperesferas exóticas tras 45 años de intentos fallidos

Por Francisco R. Villatoro, el 7 agosto, 2009. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science
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Arf y su invariante cuadrático en un billete turco. Fuente: http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/kervaire.html

La mayoría de los grandes avances matemáticos son extremadamente técnicos, prácticamente imposibles de explicar al público en general. El 21 de abril de 2009 en Edimburgo, en una conferencia que celebraba el 80 aniversario del genial Sir Michael Atiyah, los asistentes quedaron boquiabiertos. Michael Hopkins presentó un artículo en el que junto a Mike Hill y Doug Ravenel demostraba la conjetura de Arf-Kervaire-Browder que llevaba abierta 45 años y que afirmaba que sólo había un número finito de dimensiones en las que existían hiperesferas exóticas con un invariante de Arf-Kervaire igual a 1. Un gran avance en topología algebraica, complejo campo de las matemáticas puras que brega con los objetos más exóticos que la mente humana puede imaginar.

Muchos se han hecho eco de este gran avance (que rescato de entre mis borradores). Como Davide Castelvecchi, «Hypersphere Exotica: Kervaire Invariant Problem Has a Solution! A 45-year-old problem on higher-dimensional spheres is solved–probably,» Scientific American Magazine, August 2009 (lo veréis en Investigación y Ciencia en español en un par de meses) y Philip Ball, «Hidden riddle of shapes solved. Mathematicians crack the Kervaire invariant problem,» News, Nature, 1 May 2009.

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que asocia números (que cuentan cosas) a (hiper)superficies de tal manera que son invariantes (no cambian) cuando aplicamos ciertas transformaciones (topológicas) a dichas (hiper)superficies. El invariante de Arf-Kervaire asocia un número 0 o 1 a una (hiper)superficie (usando una forma cuadrática que depende de ciertos grupos de homología impares). Este invariante es siempre 0 excepto para ciertas (hiper)superficies exóticas de dimensión n=2k−2, como probó William Browder en 1969. Se conocen ejemplos en dimensión n = 2, 6, 14, 30, y 62. No se conoce ningún ejemplo en dimensión n=126. ¿Existen ejemplos con dimensión mayor que 126? No, como han demostrado Hopkins, Hill y Ravenel. El artículo está sometido a una revista internacional pero la opinión de la mayoría de los expertos es que la demostración es correcta. Queda pendiente el caso n=126, para el que no se conoce ningún ejemplo y para el que la demostración no es aplicable. Aún así,

Uno de los problemas más importantes de la topología algebraica y también de la geometría algebraica (según el experto Nick Kuhn de la Universidad de Virginia, en Charlottesville) ha sido resuelto cuando muchos pensaban que nunca verían una solución en su vida (como el experto Mark Hovey de la Universidad de Wesleyan, en Middletown, Connecticut).

«Many people have thought they’ve solved it but have been wrong. The solution to this problem seems to indicate new and deep connections between topology on the one hand and algebra and number theory on the other. The exploration of these new connections will enrich the subject for years to come

¿Para qué sirve este nuevo resultado matemático? «Para qué sirve, para qué sirve,… siempre con el para qué sirve, no basta con que sea un gran avance matemático, tiene que servir para algo.» Las matemáticas utilizadas para la demostración son también utilizadas en teoría cuántica de campo, en teoría de cuerdas y en teoría de branas, con lo que se espera que la demostración sea importante en cosmología (teórica) cuántica. La verdad es que estas teorías de la física matemática son tan abstractas como la matemática misma, con lo que para la mayoría de los mortales este tipo de aplicaciones tienen una mínima importancia.

Esta demostración encumbra a Hopkins como el number one de la topología algebraica actual («clearly the leading algebraic topologist of the day«). Este resultado, aunque con menor repercusión mediática, es similar a la demostración del último teorema de Fermat, lo importante son las nuevas técnicas desarrolladas en la demostración y no el resultado en sí mismo («the solution of the Kervaire invariant problem is like the proof of Fermat’s last theorem in the 1990s; the importance lies with the new tools, techniques and insights that were developed to get the solution«).

¿Por qué en la conferencia de Edimburgo muchos asistentes quedaron boquiabiertos? Porque todo el mundo pensaba o creía que habría infinitas dimensiones en las que las variedades (hipersuperficies) pudieran tener un invariante de Arf-Kervaire no nulo.

Aún queda un problema importante por resolver. ¿Qué pasa en dimensión n=126? ¿Hay o no hay variedades exóticas con invariante de Arf-Kervaire igual a la unidad? Todavía nadie la sabe. Quizás se requieran muchos años para lograr resolver este problema.

Una curiosidad. ¿Qué tienen de especial los números 2, 6, 14, 30, 62, y 126? ¿Cuántas veces hay tirar una moneda para obtener en promedio 1, 2, 3, … caras seguidas? Pues 2, 6, 14, … veces. Aunque esta serie es infinita. Una casualidad obviamente. Nos comenta esta curiosidad y los posibles usos del invariante de Arf-Kervaire en teoría de cuerdas Lubos Motl en «Kervaire invariant: a math homework problem,» The Reference Frame, May 03, 2009.

Los matemático expertos en topología algebraica pueden disfrutar del vídeo de la conferencia de Hopkins en la que presentó la demostración la tienen, así como de sus transparencias, todo gracias a la Simons Foundation.



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