Decidibilidad, calculabilidad y complejidad computacional en la teoría de cuerdas (Turing’s landscape)

Por Francisco R. Villatoro, el 12 septiembre, 2009. Categoría(s): Ciencia • Física • Informática • Matemáticas • Mathematics • Physics • Science ✎ 2

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Hay artículos con un título que nos obliga a leerlos sin excusa. Aunque sabemos que poco podremos aprender, nadie puede resistir la tentación. Ese es el caso de Abhijnan Rej, «Turing’s Landscape: decidability, computability and complexity in string theory,» ArXiv, Submitted on 10 Sep 2009, artículo enviado al 2º FQXI Essay Contest, cuyo foco es «What is Ultimately Possible in Physics?» Muchos se preguntarán «¿qué tiene que ver la informática teórica con el problema del vacío en teoría de cuerdas?» Poco quizás, pero el autor conjetura una conexión íntima entre ambas y trata de argumentarla de manera que sea «fácil» de leer para todos. Permitidme que os abra la boca al respecto.

La teoría de cuerdas proclama la unificación a alta energía (en la escala de Planck) de la mecánica cuántica y de la gravedad, sin embargo, a baja energía nadie ha sido capaz de obtener el modelo estándar, la realidad que conocemos. El mayor problema de la teoría de cuerdas es que permite prácticamente cualquier cosa a baja energía. A este problema se le llama «el problema del vacío» (string landscape problem). Os recuerdo que el vacío es el universo sin cuerdas, es decir, no está vacío, está relleno de las partículas elementales (puntuales) que constituyen la materia y la energía que observamos. El espacio de configuraciones para el vacío en teoría de cuerdas tiene una cardinalidad estimada de 10500 (un número inmenso e inimaginable). Como lo predice todo, la teoría de cuerdas  no predice nada. Es por lo que algunos afirman que es una teoría no falsable.

¿Se podrá determinar alguna vez el vacío correcto de la teoría de cuerdas? El autor siguiendo ideas previas de Nabutovsky, Weinberger y otros, propone que el espacio de configuración de los posibles vacíos tiene una estructura fractal discreta, lo que le lleva a considerar el problema de su calculabilidad (o computabilidad). ¿Es calculable el vacío correcto? Dados dos puntos del espacio de configuración, ¿se puede decidir si corresponden a la misma física? El autor argumenta que estos problemas son computacionalmente intratables.

El modelo estándar utiliza simetrías gauge descritas mediante grupos de Lie (en concreto, SU(3)×SU(2)×U(1) módulo Z/6Z) para describir todas las partículas elementales mediante las representaciones de sus álgebras de Lie (generadores del grupo) asociadas. El autor recuerda que la descomposición de un grupo de Lie en sus subgrupos es un problema NP-completo (resultado un teorema clásico de la teoría de la complejidad computacional). Por lo que saber si el modelo estándar está incluido en el grupo de simetrías de un vacío dado es computacionalmente muy costoso.

¿Es continuo o discreto el espacio de configuración para los posibles vacíos en teoría de cuerdas? Un artículo de Acharya y Douglas en 2006 argumentó en base a la teoría M que es discreto, por lo que existiría una distancia mínima en el espacio de configuración entre cada par de vacíos que representan física diferente. Sin embargo, el problema de determinar si entre dos vacíos hay una distancia mínima es no decidible, en base a un teorema de Novikov que afirma que en más de 5 dimensiones es imposible decidir si dos variedades diferenciables son difeomorfas («iguales» entre sí).

Cada posible vacío en el espacio de configuración corresponde a una compactificación (una variedad de Calabi-Yau) que está caracterizada por unos números llamados periodos. ¿Qué números reales pueden ser periodos de una variedad de Calabi-Yau? Un artículo de Yoshinaga ha demostrado que todos los periodos (reales) son números calculables en el sentido de Turing. ¿Se puede determinar si dos conjuntos de periodos corresponden a la misma variedad de Calabi-Yau, o sea, son equivalentes entre sí? Este problema, según el autor del artículo, tiene visos de ser computacionalmente intratable, aunque no hay resultados matemáticos concluyentes al respecto. En su caso, decidir computacionalmente cuál es el vacío correcto resultará prácticamente imposible.

En resumen, un artículo curioso que nos recuerda lo profundo de las matemáticas en la física moderna.



2 Comentarios

  1. TODO EL ARTICULO SE SOLUCIONA si se toma como fractales de vacìo un perìodo o unidad, por ejemplo, la cantidad de palabras (sonidos) que se pronuncian durante 24 hs. en el Planeta. Como es difìcil su computaciòn, se puede tomar un mìnimo o pequeño ìndice, sìlaba o palabra,
    ponerlo arriba de la mesa y compararlo con todas las resonancias que produzca este pequeño «oscilador».
    Como pueden ver es una idea genial o por lo menos novedosa. No se asusten de los resultados. Esta es una experiencia a travès de la cual computamos energìa de fractales como letras. Chau, gracias.

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