Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, «The cascades route to chaos,» ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.
En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.
Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.
Las cascadas de bifurcaciones como ruta hacia el caos en el caso unidimensional, como por ejemplo la logística, està perfectamente estudiado desde los años 70. El mismo Yorke és uno de los padres y el libro de la Ed. Birkhäuser «Iterated maps on the interval as dynamical Systems» de Collet y Eckmann deja muy claro que pasa con la aplicaciones del intervalo en si mismo. El artículo que mencionas, que todavía no he leído, parece ser que se refiere a la existencia de infinitas cascadas de bifurcaciones bajo ciertas condiciones en aplicaciones de dimensión 1 y 2, que es otra cosa distinta. Como bien dices, para que exista caos en un sistema dinámico continuo (ecuación diferencial) está demostrado que se necesita dimensión 3 (los ejemplos clásicos de Lorenz o Rossler), pero en muchos de estos sistemas dinámicos de dimensión 3 o superior es relativamente fácil introducir una aplicación unidimensional para demostrar la existencia de caos. Por cierto, que aparezca la ventana de periodo 3 es necesario para llegar al caos.
Miquel, gracias por tu comentario. El artículo me llamó la atención porque Yorke es uno de los autores, por supuesto. Como bien comentas, lo novedoso es la existencia de infinitas cascadas y el hecho de que las cascadas son tan importantes como las soluciones periódicas (hay infinitas en ambos casos en un sistema caótico).
La frase «la más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3» buscaba un comentario como el tuyo: «periodo 3 es necesario para llegar al caos.» Para los demás lectores que no lo sepan y se atrevan a leer el artículo original, os pongo un enlace donde está gratis: Tien-Yien Li, James A. Yorke, «Period Three Implies Chaos,» The American Mathematical Monthly 82: 985-992, Dec., 1975.