Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos cuadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra cuadratum potestandem in duos ejusdem nominis dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caparet.
Esta famosísima frase fue escrita por Pierre de Fermat en el margen de una página de un ejemplar del libro «La Aritmética» de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621). La traducción al español que nos ofrece la wikipedia es la siguiente:
Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él.
Matemáticamente: la ecuación xn + yn = zn no admite soluciones enteras para n = 3, no admite soluciones enteras para n = 4, y «generalizando» no admite soluciones para n> 4.
La mayoría de los historiadores de la ciencia creen que Fermat conocía la demostración para n=4 (aquí tenéis una posible versión) y probablemente también para n=3 (posiblemente en la misma línea de una de las demostraciones de Euler, aquí tenéis una en esta línea). ¿Conocía la prueba para n>4? La opinión de la mayoría de los historiadores es que no, es decir, que él creía que sí la conocía pero que su demostración era errónea (quizás en la línea de alguna de las demostraciones erróneas de Euler).
Vittorio Pizzigoni, «Classical Philology. Notes on Fermat’s way of thinking,» ArXiv, 29 Dec 2009 [italiano], afirma que la Fermat no conocía la demostración gracias a un sencillo análisis etimológico y filológico de la frase escrita en el margen. Fermat usa la palabra «generaliter» y según Vittorio el significado exacto de su frase es que a partir de una demostración de los casos n=3 y n=4, Fermat creía que era «trivial» demostrar el caso general, es decir, la «demostración» de Fermat se basa fundamentalmente en «generalizar» los casos n=3 y n=4. Vittorio propone siguiendo esta línea de pensamiento, una demostración extraordinariamente sencilla (e incorrecta) para n>4, que según él podría ser la demostración que tenía en mente el propio Fermat.
Obviamente, este tipo de demostraciones sólo tienen sentido si son presentadas por historiadores expertos en la matemática de Pierre de Fermat y su época. No es el caso de Vittorio. Pero, bueno, me ha llamado la atención el artículo. Si alguno sabe italiano, le animo a leerlo, son sólo dos páginas.
Hace poco vi en Youtube un documental sobre Andrew Wiles, que fue el que demostró finalmente el teorema de Fermat del que hablas. Lo recomiendo encarecidamente, porque me pareció absolutamente asombroso, sobre todo cuando Wiles describe (o lo intenta) la sensación que tuvo cuando se dió cuenta de que lo había conseguido. A mi, como científico, se me puso la carne de gallina, imaginando lo que debe ser sentir que uno ha demostrado uno de los problemas más difíciles que ha tenido en jaque a las matemáticas desde hace tanto tiempo.
Y con respecto a este post, me ha parecido muy interesante. Siempre he pensado si Fermat no estaría equivocado, y en realidad no tenía una demostración correcta. ¿Y si en realidad si existiese un número n>4 para el que se cumple la ecuación? La que hubiese liado el tipo con su comentario al márgen…
Saludos!
Gracias, G de Galleta, por recordárselo a los nuevos lectores de este blog. Los más veteranos recordarán la entrada «Documental BBC sobre Andrew Wiles y el Último Teorema de Fermat,» publicada el 20 Febrero 2009.
como les parece que pienso que Fermat si tenia una demostracion sencilla, logre demostrarlo, sin emplear modernas matematicas y computos como lo hizo Wiles. La termine el 3 de marzo de 2011. Ya presente esta demostracion en la Escuela Naval de Cartagena Colombia, la traduje al ingles y la envie a la oficina de Derechos de autor en EE.UU. Me gustaria hacerla publica a traves de Uds. que debo hacer?. William Porras
Creo que este blog no es el sitio más adecuado para publicar tu demostración. Yo te recomendaría enviarla a ArXiv.org o si tienes problemas con el sistema de endorsements a ViXra.org (donde no existe dicho problema). Una vez tengas subida la demostración a uno de estos foros, escribes un comentario en este blog y yo te enviaré un correo para que, si te apetece, nos hagas una entrada resumen con dicha demostración. Porque este blog no es el lugar adecuado para publicar la demostración completa.
Gracias, ya les envie un email a www-admin@arviv.com, esperare a ver que me contestan, igualmente le hago un breve resumen de mi demostracion, demuestro 1. z^2>z^3>z^4….>z^n, 2.Para Pitagoras z=y+m, para Fermat z=y+q, donde q<m consecuencia del punto 1, 3. Demuestro que las ternas pitagoricas reducidas tienen a q1, dan z fraccionario para n>2, hasta n=11, de ahi en adelante q<1. 4. Cuando q2. 5. Demuestro que cuando z es fraccionario para n=2, tambien z es fraccionario para n>2. 5. Demuestro que la mantisa de q es infinita, por lo tanto todas las ternas mayores para n>2 que tienen de base las reducidas con p1 y numero natural, y a,b,c son las ternas pitagoricas reducidas, dan tambien a z para n>2 fraccionario. Quedando demostrado el ultimo teorema de Fermat en format completa para todos los casos x,y>0, n>2 y numeros naturales. Como les digo es una demostracion sencilla y sagaz, que creo fue lo que dijo fermat, pero no lo dejo demostrado, simplemente enunciado. Atentamente William Porras
Ya me publicaron mi demostracion, pueden verla en:
http://www.portalplanetasedna.com.ar/fermat2.htm
Gracias, mi email es : jwporras@balzola.org