A la hora de preparar mi entrada en este blog para celebrar el Carnaval de Matemáticas organizado Tito Eliatron, decidí preparar varios borradores. Al final, acabó en el carnaval una entrada sobre esferas exóticas. Hoy rescato de mis borradores otra de las entradas que inicié con motivo del carnaval. El objetivo era completar la frase: «La matemática es el placer de pensar así que en esta entrada te voy a proponer algunas preguntas muy sencillas y te voy a pedir que pienses un poco para tratar de responderlas. Si no quieres pensar puedes continuar leyendo, pero te perderás el disfrute de pensar por tí mismo las respuestas.»
Tras leerla podéis comentar cuál de las dos os gusta más, esta o la otra, si así os apetece.
La matemática es una ciencia que, con la excusa del rigor, olvida sus orígenes muy fácilmente. Muchos teoremas y resultados matemáticos tienen nombres que ni aluden a quien los demostró por primera vez ni a quien los conjeturó originalmente. Hay que recordar, eso sí, que el concepto de demostración y el concepto de rigor matemático ha cambiado mucho durante los siglos. Resultados que en la época de Lagrange eran «obvios» y no necesitaban demostración, hoy requieren una demostración. De todas formas los matemáticos, incluso los historiadores de la matemática, suelen ser muy desmemoriados y los nombres que damos a muchos objetos matemáticos con los que trabajamos todos los días tienen poco rigor histórico. Os voy a poner un par de ejemplos extraídos de Peter M. Neumann, «The history of symmetry and the asymmetry of history,» BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 23: 169-177, October 2008.
Atención, pregunta. Compara las dos siguientes frases y dí cual es la correcta (no es necesario saber ni lo que es un grupo, ni un subgrupo, ni lo que es el orden de un grupo):
Teorema (Lagrange). Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G entonces el orden de H divide el orden de G.
Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G entonces el orden de H divide el orden de G.
No son iguales. ¿Cuál es la diferencia entre ellas? Muy bien, has acertado. ¿Cuál de las dos es la correcta? ¿Depende del libro de texto?
La diferencia, por si aún no has sido capaz de encontrarla, es que en la primera frase se atribuye el descubrimiento y la demostración del teorema a Lagrange y en la segunda no. En inglés esta diferencia es aún menos obvia ya que diríamos que la primera frase se refiere al «Lagrange’s theorem» y la segunda al «Lagrange’s Theorem.» El español no es tan sutil como el inglés, ya que no obliga a poner mayúsculas a los nombres propios de las cosas, sólo a los de las personas, por lo que he recurrido a utilizar paréntesis en la primera.
Claro, la cuestión ahora es ¿este teorema fue descubierto por Lagrange? ¿Fue Lagrange el primero que demostró este teorema? En la época de Lagrange (1736-1813) los únicos grupos que se conocían eran los de permutaciones (que más tarde utilizaron Abel, Galois y otros). Lagrange los conocía pero, en honor de la verdad, él nunca consideró el producto de dos permutaciones, es decir, la estructura de grupo del grupo de permutaciones. Cayley publicó en 1849 un artículo con sus ideas sobre permutaciones comparándolas con las de Cauchy, que tampoco utilizaba el concepto moderno de grupo. En 1854, Cayley hizo un intento de definición de grupo abstracto, que aunque no es todavía formalmente correcto, usaba una tabla de multiplicación para describir la composición en un grupo finito. La definición moderna de grupo apareció en 4 artículos de Cayley de 1878, uno de ellos llamado «The theory of groups.» Cayley demuestra en dichos artículos que cualquier grupo finito puede describirse en términos de grupos de permutaciones.
Volviendo a la cuestión, ¿cuál de las dos frases anteriores es la (históricamente) correcta? No, no lo es la primera, sino la segunda. Se atribuye con el nombre de este teorema a un resultado que J.-L. Lagrange publicó en un artículo de 1770/71 sobre la cálculo de raíces de polinomios. En aquella época no se había introducido aún el concepto de grupo (todavía no habían nacido ni Abel ni Galois y la definición moderna de grupo como pronto es de Cayley en 1854). Lagrange estudió un caso particular del teorema, cuando G es el grupo de las permutaciones.
Dada una función f (x1, . . . , xn) de n variables, ¿cuántas funciones diferentes se pueden obtener permutando dichas variables?
¿Ya sabes la respuesta? No, pues piensa un poco antes de continuar leyendo. Lo digo para que disfrutes… no por otra cosa.
Para tres variables la respuesta puede ser, por ejemplo, una si f=x+y+z, dos si f =x²y+y²z+z²x, tres si f=x+yz, y seis si f=x+y²+z³. ¿Ves por qué en cada caso?
Obviamente, el número máximo de permutaciones es, como mucho, n! (el factorial de n es n(n-1)(n-2)…2). Lagrange pensó que el número de funciones diferentes siempre dividía a este número. Obviamente, su argumento es incorrecto, aunque él presentó una demostración, obviamente incorrecta. Los grandes matemáticos también cometen fallos así, sobre todo en la época en la que para demostrar algo bastaba poner unos pocos ejemplos.
El teorema que estamos considerando en esta entrada, aplicado al grupo de permutaciones, es decir, que un subgrupo de las permutaciones de n elementos tiene un número de elementos que divide exactamente al número de elementos del grupo de permutaciones de n elementos, fue demostrado por Pietro Abbati en 1802, y por Cauchy en 1815. Galois conocía este teorema (lo escribió en una carta a su amigo Chevalier el 29 de mayo de 1832).
El teorema de Lagrange para el grupo de permutaciones recibió el nombre de «Teorema de Lagrange» en el libro de Camille Jordan «Traité des substitutions et des équations algébriques» (1870) aunque aparece sin el nombre de Lagrange un poco antes en el libro de Serret «Cours d’algèbre supérieur» (1866). Desde el tratado de Jordan, el teorema de Lagrange recibe un nombre que no hace honor a su historia.
El borrador para el Carnaval de Matemáticas acaba aquí. Los que tengan acceso universitario al artículo de Peter M. Neumann en el BSHM Bulletin, y estén interesados en las aportaciones de Galois a la teoría de grupos, disfrutarán de su discusión sobre la resolución de Galois del problema de la no resolubilidad de la ecuación quíntica (polinomio de grado 5). Neumann juega con los términos en inglés «Galois’ theory» y «Galois Theory» de forma similar a lo que hemos contado sobre el teorema de Lagrange. El título original para la entrada para el Carnaval iba a incluir también «¿Es de Galois la teoría de Galois?»
Como veis, a la entrada le falta la discusión sobre la teoría de Galois. Quizás en otra ocasión… o quizás alguien recoja el guante. ¿Tienes un blog y te atreves? ¿No tienes acceso al artículo original? Para los que se atrevan a continuar mi entrada para el Carnaval de Matemáticas.