Víctor Rotger (Universidad Politécnica de Cataluña) nos presentó el jueves pasado por la tarde su charla sobre «La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer» en las jornadas científicas sobre «Los Problemas del Milenio» en Barcelona (foto de grupo en Publico.es y fuente de la foto de la izquierda). La explicación de Víctor ha sido engañosamente fácil, pero quizás eso es lo que se espera de una exposición en unas jornadas científicas como éstas. Su explicación podía ser entendida hasta por un informático con pocos conocimientos de matemáticas. Muy bien ilustrada (aunque casi siempre utilizando la misma curva elíptica en todas las figuras), Víctor acabó su charla permitiéndose el lujo de contarnos una demostración que él mismo había obtenido de una versión restringida de la conjetura. Chapeau por Víctor.

Os recuerdo que el problema de resolver una ecuación diofántica corresponde a calcular los ceros naturales (o enteros o racionales) de un polinomio multivariable cuyos coeficientes también sean números enteros o naturales. La conjetura BSD considera el caso de polinomios en dos variables p(x,y)=0 en los que se sabe que existe al menos una solución. Si dicha solución es conocida, ¿cuántas soluciones adicionales existen? En el caso de un polinomio cuadrático (grado d=2) se sabe que existirán infinitas soluciones adicionales. En el caso de un polinomio cuártico o superior (grado d≥4) se sabe que hay un número finito de soluciones adicionales; si no recuerdo mal, Víctor nos dijo que este resultado era consecuencia de la conjetura de Mordell o teorema de Faltings, porque la demostró Gerd Faltings, lo que le permitió obtener la Medalla Fields en 1986. Pero nadie sabe lo que pasa en el caso cúbico (d=3), puede haber un número finito de soluciones adicionales o puede haber un número infinito de ellas. Como todo polinomio cúbico de dos variables puede transformarse en la curva elíptica y² = x³ + A x + B, donde A y B son números racionales, basta considerar este caso particular para demostrar la conjetura BSD. Lo interesante de la conjetura es que la resolución de este problema equivale al comportamiento en un punto (s=1) de una función analítica en variable compleja (s), en concreto la función zeta o función L de dicha curva elíptica. Toda la estructura algebraica del conjunto de soluciones racionales de la curva elíptica viene caracterizada por una función similar a la función zeta de Riemann. Un resultado de gran belleza y profundidad, que aunque tiene poca evidencia numérica (como nos mostró en varias figuras Víctor) tendrán que demostrar quienes aspiren a ganar el millón de dólares de este Premio Clay del Milenio.

Como anécdota quisiera comentaros que los asistentes a la cena oficial de las jornadas «apostamos» por cuál sería el primer problema del milenio resuelto entre los seis aún abiertos y ganó, por pocos votos, la conjetura BSD. En la página web de las jornadas, en los próximos días, se publicará «la porra» para disfrute y conocimiento de quienes no pudieron asistir a dicha cena.

¿Está Andrew Wiles trabajando en la conjetura BSD? Nadie lo sabe con seguridad, pero es posible… es el problema del milenio más próximo a la línea de trabajo en la que él es experto y que le permitió pasar a la historia por demostrar el último teorema de Fermat.