En matemáticas se llama prolongación de una función a la extensión de su dominio más allá de sus singularidades, que se comportan como frontera entre el dominio original y el extendido. Normalmente, la prolongación requiere incluir algunos cambios de signo en la definición de la función extendida para evitar que aparezcan valores imaginarios puros u otros números complejos. La matemática de la teoría de la relatividad puede ser aplicada a partículas que se mueven a una velocidad mayor que la de la luz (llamadas taquiones) si aceptamos que la masa y la energía de estas partículas pueden adoptar valores imaginarios puros. El problema es que no sabemos qué sentido físico tienen estos valores imaginarios. Un nuevo artículo ha copado algunos medios por presentar una extensión de la teoría de la relatividad a sistemas de referencia superlumínicos basada en una prolongación de sus ecuaciones. El artículo de Hill y Cox no ofrece ninguna justificación física y obviamente no existe ningún experimento que puede refutar sus ideas (por tanto, no se trata de una teoría en el sentido de Popper). Sin embargo, creo que merece la pena dedicarle una entrada en este blog para aclarar estas ideas, pues hay cierta confusión al respecto en los medios que se han hecho eco de la noticia. El artículo técnico es James M. Hill, Barry J. Cox, «Einstein’s special relativity beyond the speed of light,» Proc. R. Soc. A, published online 3 October 2012.
Hay tres cosas a tener en cuenta a la hora de realizar una prologación de la teoría de la relatividad especial de Einstein a velocidades superluminínicas. Lo primero, hay que prolongar varias funciones que presentan diversas singularidades, por ello, no existe una única solución; Hill y Cox presentan dos posibles prolongaciones y comentan los argumentos por los que prefieren una de ellas (sus argumentos son matemáticos, no físicos). Lo segundo, la prolongación de una función requiere extenderla hasta el infinito y hay que imponer una condición de cierre (una condición de contorno en el infinito) que normalmente introduce algún parámetro libre, cuya valor es arbitrario; en la primera versión de la teoría de Hill y Cox se selecciona el momento de la partícula para velocidad infinita, cuya única ventaja es que la masa de la partícula es un número real a todas las velocidades, y en la segunda se selecciona un valor finito para la masa de la partícula a velocidad infinita. Y lo tercero, la prolongación de una función requiere algún tipo de guía, siendo lo habitual preservar algún invariante; en el caso de Hill y Cox se ha utilizado la fórmula de adición de velocidades de Einstein que no es singular cuando se aplica más allá de la velocidad de la luz.
La prolongación de la teoría de la relatividad para velocidades 0 ≤ v ≤ c, a velocidades c < v < ∞, requiere una condición matemática para v = ∞. Hill y Cox utilizan como guía la fórmula de adición de velocidades de Einstein, U = (u+v)/(1+uv/c²), que para v = ∞ implica que uU=c². La razón que esgrimen es que esta fórmula no es singular para v=c, como otras fórmulas de la teoría de la relatividad; ello no quita que presente una singularidad para uv=-c² (las dos hipérbolas que se observan en la figura que abre esta entrada). El resultado de esta fórmula es superlumínico |U|>c, en ciertas regiones del plano (u,v), indicadas en naranja y amarillo en la figura de arriba, siendo sublíminico |U|<c, en el resto del plano, regiones indicadas en azul y verde. La idea de Hill y Cox es que la prolongación del resto de las fórmulas de la relatividad de Einstein se ha de realizar de tal forma que se preserve como invariante la relación uU=c² para v = ∞. Esta idea matemática no tiene una interpretación física clara, siendo el argumento más firme en contra de la nueva teoría.
La fórmula más emblemática de la teoría de la relatividad de Einstein es E=mc², para p=v=0 (donde m es la masa y p es el momento lineal). ¿Qué fórmula proponen Hill y Cox para v = ∞? La prolongación analítica se puede realizar de muchas formas pero Hill y Cox nos ofrecen dos posibilidades diferentes. La primera, que es la que más les gusta a ellos, se basa en la siguiente idea. Si la masa m es una propiedad intrínseca de la partícula que caracteriza su energía en reposo, entonces debe haber un valor fijo del momento p∞ que caracteriza su energía a velocidad infinita. Por tanto, E=p∞c para v = ∞. Esta fórmula ad hoc implica que en la fórmula E(v)=m(v)c², la «masa» m(v) es un número real para todas las velocidades dado por m(v)=m(0)/(1-(v/c)²)1/2, para 0 ≤ v ≤ c, y m(v)=(p∞/c)/((v/c)²-1)1/2, para c < v < ∞. Por el contrario, la segunda posibilidad se basa en asumir que además de la masa en reposo m, la partícula se caracteriza por un valor de la masa m∞ para velocidad infinita, con lo que la segunda fórmula cambia a m(v)=(m∞v/c)/((v/c)²-1)1/2, para c < v < ∞.
En resumen, se trata de un artículo matemático curioso que extiende la teoría de la relatividad de Einstein a sistemas inerciales que se mueven a velocidad arbitraria, menor, igual o mayor que la velocidad de la luz. No hay una justificación física de las fórmulas que se presentan, pues no hay ningún experimento físico que sirva de guía (Hill y Cox confiesan que el origen de este artículo fue la noticia de los neutrinos superlumínicos en OPERA). Considerar la fórmula de adición de velocidades de Einstein como válida a todas las velocidades no parece un mal principio, pero los autores no discuten qué significado físico pueden tener las singularidades que aparecen en dicha fórmula para uv=-c².
Por cierto, quizás te lo estés preguntando, ¿viola la causalidad la nueva teoría? Los autores no lo discuten en su artículo y nos indican en sus conclusiones que será tema de futuras investigaciones. Pero como es obvio no hay que pensar mucho para darse cuenta de que la causalidad es violada en las regiones naranja y amarilla de la figura de arriba. ¿Permite la nueva teoría los viajes en el tiempo hacia el pasado? Obviamente, los permite (basta recordar el antiteléfono de Tolman, 1917, para ver que no está prohíbido). ¿Quiere esto decir que se puede descartar la teoría desde un punto de vista físico? Pues así es, al menos en mi opinión. Pero, recuerda, el artículo de Hill y Cox no discute estos escabrosos asuntos de su teoría (los relega a líneas futuras de investigación). ¿Por qué no? Quizás para que no fuera rechazado por un revisor sin más. Evitando acercarte al veneno que puede matarte quizás logres sobrevivir a sus efluvios.
Una «teoría» que no se puede refutar, que no se basa en ningún principio físico y que encima viola la causalidad más que una teoría es una simple «curiosidad matemática» que nada tiene que ver con el mundo físico. De hecho, como ellos reconocen si no hubiera sido por la excitación provocada por el circo superlumínico de los neutrinos de OPERA ni si quiera se hubieran planteado esta especulación. Lo que Einstein hubiera disfrutado con todas estas cosas… Él sabía que la velocidad máxima en el vacío c es un reflejo de una característica fundamental del mismísimo espacio-tiempo y por tanto algo de lo que ningún objeto del Universo puede evadirse. De hecho, la invarianza Lorentz es una simetría fundamental cuyo cumplimiento se impone en TODAS las teorías físicas modernas que pretendan describir el mundo en el que vivimos. Todos aquellos que se han empeñado en refutar la relatividad proponiendo experimentos de todo tipo no han hecho más que reforzarla asi que paradójicamente han conseguido lo contrario de lo que querían.
De hecho los físicos utilizan las simetrías fundamentales que saben que están presentes en nuestro Universo para tratar de resolver los grandes misterios de la física, la nueva teoría debe cumplir lo que ya sabemos que es cierto y además resolver alguno de los problemas pendientes y por supuesto sus predicciones deben ser comprobables. Muy probablemente ni el SM, ni la RG ni la MC sean la última palabra, sin embargo, la nueva teoría no podrá «demoler» los principios fundamentales en que estas teorías se basan por que sabemos que son ciertos sino que solo podrán ampliarlas o modificarlas sin tocar sus cimientos de manera que puedan fusionarse o transformarse de forma que expliquen nuevos fenómenos. Quizás la primera en ser ampliada será el SM si el LHC encuentra algo nuevo…
Señor, parece haber usted olvidado que la Mecánica no hace sino medir, refiriendo sus medidas a un cuerpo rígido en que, para mayor comodidad, se ha definido un sistema de coordenadas. Cuando habla usted de movimiento hay que indicar claramente el sistema de referencia. Sin hacerlo, carece de sentido hacerlo. Espero que el siguiente ejemplo le sea útil.
Considere una tortuga moviendose de forma que en tiempos iguales recorre distancias iguales sobre una de las palas horizontales de un helicoptero que asciende, con respecto a la superficie del planeta, y se aleja del helipuerto horizontalmente. Vamos a situar una serie de observadores,provistos de reglas para medir, y que referiran el movimiento a sí mismos (el sistema de referencia es solidario con cada uno de ellos). Prescindimos de porqué ni la tortuga ni los observadores se caen y limitamos la observación de cada uno exclusivamente a la tortuga (ignoran cualquier otra circunstancia).
Colocamos los observadores de la siguiente forma:
Observador 1: Sentado sobre la tortuga.
Observador 2: Sentado sobre la misma pala que la tortuga ante ella.
Observador 3: Sobre el eje de giro de la pala solidario con él.
Observador 4: El piloto del helicoptero.
Observador 5: En el helipuerto.
Se hace a todos la pregunta ¿Cómo se mueve la tortuga?
Las respuestas son:
Observador 1: Está en reposo.
Observador 2. Movimiento rectilineo y uniforme.
Observador 3: Describe una espiral plana.
Etc… Como ve no tiene sentido decir que algo se mueve sin indicar con respecto a qué.
Un saludo.
“Él [Einstein] sabía que la velocidad máxima en el vacío c es un reflejo de una característica fundamental del mismísimo espacio-tiempo y por tanto algo de lo que ningún objeto del Universo puede evadirse”.
Hum… Einstein estuvo tentado de abandonar el principio de la constancia de la velocidad de la luz, pero luego rectificó y lo dio por bueno. Una cosa es una característica del espacio tiempo considerada en abstracto y otra cosa es el sistema de referencia que mide c en una zona del espacio tiempo. El observador terrestre es un observador clásico acotado a un espacio de tres dimensiones más su tiempo acoplado, éste es todo el espacio tiempo que conocemos, desconocemos otros parámetros que inciden en la medida, por eso nuestro sistema de referencia es el clásico. Elevar a categoría ontológica un espacio tiempo cuadridimensional con c como ingrediente fundamental del mismo resulta eficaz en cierto contexto, pero no explica ni excluye otras posibilidades teóricas y físicas.
Me ha gustado mucho esta entrada pues hace referencia a un campo muy nuevo dentro de la física como es el de la información cuántica relativista y en donde España contribuye ya con los primeros doctorados a la investigación. Trabaja con el campo matemático que parte de las contribuciones que hizo John Von Neumann a la física cuántica y se centra en las singulares como ocurre en el estudio de los agujeros negros. Por cierto, Francis, felicidades en tu abordaje en el programa de La rosa de los Vientos.
Francis, disculpa que no se trate del artículo, no sé si viste esta propuesta, que te parece la idea (sirve también para la teoría de cuerdas??).
(«Testing Planck-Scale Gravity with Accelerators»)
http://prl.aps.org/abstract/PRL/v109/i14/e141103
Pues si lo puedes demostrar ¿qué narices haces escribiendo en un blog? Manda la demostración a una revista científica de gran impacto…si está tan claro lo que dices te aseguro que se daban de tortas por publicarlo.
Querido Alberto,está muy bien que creas en tus posibilidades y tener un poco de autoestima…pero ¡PON LOS PIES DE UNA VEZ EN EL SUELO! que con todas las cosas que dices que puedes demostrar tendrías todos los premios Nobel de aquí al año 3567….porque tú solito has superado todos los pilares de la física. Y te lo digo sin acritud.
Entonces, como explicas que si hay dos observadores, en reposo, separados «d» y uno de estos abre una luz, el otro no la ve hasta un tiempo «t», siendo d/t=~3×10^8 ?¿Esta no es la definición de velocidad? ¿No implica una traslación de «algo» (onda, partícula o energia..)?
Al estudiar el asunto de la velocidad de la luz uno ve que hay una concordancia sorprendente entre los valores obtenidos por distintos autores y el intervalo de tiempo a lo largo del cual se obtuvieron los valores. Esta concordancia se relaciona, en mi opinión, con ciertos parámetros físicos que obligan a concluir que la velocidad de la luz en el vacío tiene que estar en torno a los 300.000 km/s. No todos los valores se obtuvieron utilizando espejos, Ole Romer no los usó y Maxwell tampoco. Además, en 1888, más de 200 años después de las observaciones de Romer, Heinrich Hertz produjo ondas electromagnéticas en su laboratorio y obtuvo 300.000 Km/s demostrando que la luz y la radiación electromagnética constituyen el mismo fenómeno. ¿Cuáles son los parámetros físicos que obligan a considerar el valor actual de c como válido? Responder esta cuestión da para escribir un ensayo extenso, sólo quiero anotar que la descripción euclídea del espacio de tres dimensiones más el tiempo acoplado impide superar o disminuir el valor de c. Yo no me atrevo a postular que c es una constante “universal”. En efecto, c es una constante, ¿pero es realmente universal?
Respecto de los agujeros negros se dice que la radiación de Hawking emitida por los agujeros negros es térmica y ha perdido toda la información asociada a la materia que atravesó el horizonte de sucesos. En varios comentarios he escrito que si hay radiación térmica (calor) el agujero equivale a un motor que realiza un trabajo radiativo que no sólo es térmico. Al parecer, algunos agujeros también eyectan materia. El 07 Sep. 2011 Francis escribió un artículo sobre la galaxia elíptica M87 (Virgo A o NGC 4486). Dijo que contiene un núcleo galáctico activo del que sale un enorme chorro de materia, que se cree es materia eyectada de la propia galaxia por el superagujero negro en su centro. Este agujero negro tiene una masa de unos seis mil millones de soles, pero es tan compacto que es imposible ver su disco de acreción ni con los mejores telescopios disponibles, aunque M87 está “cerca” de nosotros. En mi opinión, los agujeros negros son motores universales que tragan o eyectan materia y radiación para ordenar la entropía cósmica.
https://francis.naukas.com/2011/09/07/logran-localizar-el-superagujero-negro-responsable-del-chorro-de-materia-emitido-por-la-galaxia-m87-virgo-a/
Me da la impresión de que el bosque no les deja ver los árboles. La Teoría de la Relatividad (en sentido restringido) de Einstein no es más que una teoría de la medida. Se basa en una hipótesis (de no ser cierta llevaría consigo el desmoronamiento de la teoría) que y permite hacer predicciones. Hasta la fecha y por lo que sé no se ha encontrado ningún fenómeno que refute la teoría.
En 1916 publicó Einstein una divulgación de la Teoría «Sobre la Teoría de la Relatividad» y a ella me voy a referir, obviando con él el importante sustento matemático de la teoría.
«Toda descripción espacial de sucesos se sirve de un cuerpo rígido al que hay que referirlos espacialmente. Esa referencia presupone que los «segmentos» se rigen por las leyes de la Geometría euclídea, viniendo representados físicamente por dos marcas sobre el cuerpo rígido».
Describe despues los sitemas de coordenadas con marcas sobre cuerpos rígidos que permiten identificar puntos, rectas y planos para referir a ellos los movimientos. Tras ello enuncia:
«Si K’ es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente y sin rotación respecto a otro sistema K, entonces los fenómenos naturales transcurren con respecto a K’ según idénticas leyes generales que con respecto a K. Esta proposición es lo que llamaremos el «principio de relatividad» (en sentido restringido).»
Y continua: «Como es natural, el proceso de la propagación de la luz, como cualquier otro, hay que referirlo a un cuerpo de referencia rígido (sistema de coordenadas).»
Algo más adelante, escribe «Las innovadoras investigaciones teóricas de H. A. Lorentz sobre los procesos lectrodinámicos y ópticos en cuerpos móviles demostraron que las experiencias en estos campos conducen con necesidad imperiosa a una teoría de los procesos electromagnéticos que tiene como consecuencia rrefutable la ley de la constancia de la velocidad de luz en el vacío. Aquí es donde entró la teoría de la relatividad. Mediante un análisis de los conceptos de espacio y tiempo se vio que en realidad no existía ninguna incompatibilidad entre el principio de la relatividad y la ley de propagación de la luz, sino que, ateniéndose uno sistemáticamente a estas dos leyes, se llegaba a una teoría lógicamente impecable. Esta teoría, que para diferenciarla de su ampliación (comentada más adelante) llamamos «teoría de la relatividad especial», es la que expondremos a continuación en sus ideas fundamentales.»
Razonamientos generales, por todos conocidos, con trenes en movimiento (sistema K’) y vías (sistema K) llevan al rechazo de los supuestos mecánicos:
1. El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.
2. El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo rígido es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.
Escribe Einstein: «Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formular exactamente de la manera siguiente: Dadas las cantidades x, y, z, t de un suceso respecto a K, ¿cuáles son los valores x’, y’, z’, t’ del mismo suceso respecto a K’? Las relaciones hay que elegirlas de tal modo que satisfagan la ley de propagación de la luz en el vacío para uno y el mismo rayo de luz (y además para cualquier rayo de luz) respecto a K y K’. El sistema de ecuaciones que forman la «transformación de Lorentz» cumple con estos requisitos.
Más adelante escribe: «… de aquí inferimos que en la teoría de la relatividad la velocidad c desempeña el
papel de una velocidad límite que no puede alcanzar ni sobrepasar ningún cuerpo real.
Añadamos que este papel de la velocidad c como velocidad límite se sigue de las propias ecuaciones de la transformación de Lorentz, porque éstas pierden todo sentido cuando v se elige mayor que c.
En definitiva: basta con probar (experimentalmente, claro) que falla el Principio de Relatividad (en sentido restringido) para invalidar la Teoria. Los desarrollos matemáticos que hacen ustedes, aparte de mostrar los deseos de operar, no prueban nada. Si se sustentaran sobre alguna hipótesis sobre rigidez o medida, podrían ser las predicciones que, de comprobarse experimentalmente, originasen una nueva interpretación de la naturaleza. Eso si, los Principios de Einstein y Galileo seguirían incólumes.
A mi me parece digno el esfuerzo abstracto de extender los limites de lo fisico.
la física como otras ciencias, han entrado en el justo camino, cuando se pudieron matematizar. pero para esto hubieron matemáticos o pensadores que desarrollaron desde lo abstracto algo probable, que posteriormente se hizo posible y por tanto experimentable. siempre han sido las matemáticas, las que han podido darle forma al pensamiento, de hecho el mundo físico que vemos es porque es matematizable. Antes, el mundo era plano y nadie se quejaba, hoy es geoide y todo el mundo se queja!
Si no fuera por Galois y su teoria de grupos y ecuaciones complejas, hoy no habría GPS, a veces se confunde la ciencia ficción con las tierras hipotéticamente probables de los matematicos. Pero no es así.
Gracias por la entrada, Víctor