En general, un sistema físico clásico es no lineal, disipativo y caótico; por el contrario, uno cuántico es lineal, conservativo y estocástico. Todo sistema clásico es cuántico (se puede «cuantizar»), pero hay sistemas cuánticos sin análogo clásico. El caos cuántico describe lo que le sucede a un sistema cuántico que tiene un análogo clásico que es caótico (en el sentido del caos determinista en sistemas disipativos). ¿Se puede aplicar el concepto de caos cuántico a sistemas cuánticos sin análogo clásico? Un condensado de Bose-Einstein es un sistema cuántico macroscópico, pero su límite clásico como sistema de muchos cuerpos no está bien definido (la estadística cuántica no tiene análogo clásico). Sin embargo, podemos usar la estadística de las fluctuaciones de los niveles de energía y de las funciones de onda de estos sistemas macroscópicos para estudiar en laboratorio su grado de caos («caoticidad») y la transición de comportamiento regular a caótico. Un nuevo artículo propone el estudio del caos cuántico en condensados de Bose-Einstein que presentan acoplamiento espín-órbita. Utilizando láseres se puede inducir cambios entre los dos estados del espín de cada uno de los átomos del condensado y gracias a estos cambios en espacio y tiempo se puede inducir, según la nueva propuesta, una transición entre un comportamiento cuántico regular y caótico. La propuesta, por ahora, es solo teórica y está basada en argumentos cuasiclásicos, pero parece razonable que pueda ser demostrada de forma experimental. En su caso, sería el sistema caótico cuántico ideal para estudiar en laboratorio el caos cuántico en sistemas cuánticos sin análogo clásico. Nos cuenta esta sugerente propuesta Eva-Maria Graefe, «Viewpoint: Quantum Chaos on Display,» Physics 6: 9, Jan 22, 2013, que se hace eco del artículo técnico de Jonas Larson, Brandon M. Anderson, Alexander Altland, «Chaos-driven dynamics in spin-orbit-coupled atomic gases,» Physical Review A 87: 013624, Jan 22, 2013 [PDF gratis]. Me ha enterado gracias a un tuit de Mauricio Zapata (‏@mezvan): «creo que esto es un buen trabajo para…»

Un sistema clásico caótico no es predecible porque presenta una sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, es decir, las trayectorias que comienzan en puntos cercanos del espacio de fases (posición y velocidad) divergen de forma exponencial con el tiempo (esta divergencia se mide usando los llamados exponentes de Lyapunov). En mecánica cuántica el concepto de trayectoria en el espacio de fases no tiene sentido y el concepto de exponente de Lyapunov tampoco es aplicable; por tanto, un sistema cuántico no puede ser caótico (en el sentido clásico del término).

Sin embargo, las propiedades estadísticas del espectro de un sistema cuántico cuyo análogo clásico es caótico difieren de las de uno cuyo análogo clásico es regular (no es caótico). Los trabajos pioneros de Berry (1981) y Bohigas, Giannoni y Schmit (1984) caracterizaron esta diferencia, en concreto, «el comportamiento semiclásico de los sistemas clásicos que exhiben caos determinista.» Las fluctuaciones del espectro se miden mediante estadísticos para las correlaciones de corto y largo alcance. A día de hoy se conocen muchos sistemas ópticos, acústicos, atómicos, moleculares y nucleares que presentan el llamado «caos cuántico» (aunque un nombre más adecuado sería «estocasticidad cuántica» o «caos estocástico cuántico» si nos gusta mantener la palabra «caos» en el nombre). El paradigma son los billares cuánticos.

Un billar clásico consiste en una partícula que se mueve en un dominio compacto (cerrado y acotado) de un espacio en d dimensiones y cuyas colisiones con la frontera del dominio son elásticas (la energía y el módulo del momento son constantes del movimiento). Un billar rectangular, circular o elíptico es integrable (todo lo contrario a ser caótico). Sin embargo, son caóticos el billar de Sinai, un cuadrado del que se ha extraído un círculo concéntrico, y el de Bunimovich, un rectángulo con esquinas redondeadas como un estadio de atletismo. Las fluctuaciones del espectro de la versión cuántica de estos billares depende de la frontera y permite diferenciar entre billares clásicos caóticos y regulares. Por ello, se puede hablar de billares cuánticos caóticos y regulares.

En los sistemas cuánticos no se puede hablar de sensibilidad a las condiciones iniciales de la trayectoria, pero se puede hablar de sensibilidad a las perturbaciones del hamiltoniano que describe el sistema. En este sentido, el «caos cuántico» es parecido al «caos hamiltoniano» (un mal nombre, pero muy popular, para el concepto de «estocasticidad»), que aparece en un sistema clásico no lineal, conservativo y estocástico en el que no se puede aplicar el teorema KAM, es decir, todas sus órbitas periódicas en el espacio de fases son inestables y se han destruido por completo todos los toros invariantes predichos por el teorema KAM para un sistema causiperiódico. En estos sistemas hay una sensibilidad extrema a las perturbaciones del hamiltoniano (en lugar de a las condiciones iniciales).

Por desgracia, aún carecemos de una definición matemática rigurosa del «caos cuántico» en función de la inestabilidad del hamiltoniano a pequeñas perturbaciones (las que hay sólo son aplicables a problemas modelo muy sencillos, pero nos gutaría una teoría general). Tampoco se conoce un análogo riguroso al teorema KAM para sistemas cuánticos, por lo que no hay ninguna definición rigurosa del concepto de «caos cuántico» que esté aceptada por todos los expertos (a diferencia del «caos determinista» o del «caos estocástico» para los que hay varias definiciones bien aceptadas, aunque no del todo equivalentes entre sí). Muchos expertos opinan que los avances experimentales en el caos cuántico en sistemas cuánticos sin análogo clásico serán de gran ayuda.

El nuevo trabajo de Larson et al. estudia el comportamiento de un gas de átomos difuso con acoplamiento espín-órbita en la aproximación de Born-Oppenheimer, que permite separar los grados de libertad orbitales y de espín. Gracias a esta separación se puede utilizar un análogo clásico para los grados de libertad orbitales. Dicho análogo clásico presenta una transición de régimen regular a caótico que depende de la distribución (cuántica) de los grados de libertad de espín; el régimen es regular si los espines se distribuyen de forma isótropa y es caótico si es anisótropa (depende de la dirección). Por supuesto, el análisis requiere métodos numéricos (simulaciones por ordenador) y muestra que la transición está mediada por las correlaciones a largo alcance de los espines (un fenómeno de carácter cuántico). 

En cierto sentido, el estado cáotico del condensado de Bose-Einstein corresponde a un sistema cuántico termalizado, es decir, en el que los grados de libertad se relajan a un estado en el que el valor medio esperado es constante (no cambia ni en espacio ni con el tiempo). En este estado termalizado el sistema recorre todo el espacio de fases, como corresponde a un sistema clásico estocástico (con «caos hamiltoniano»). ¿Cómo se distingue entre un estado «cuántico caótico» y un estado estocástico «no caótico»? La teoría predice que las funciones de onda cuántica interfieren de forma constructiva en ciertos lugares y destructiva en otros, con lo que aparecen «cicatrices» (scars) en las trayectorias del sistema en el espacio de fases. Estas «cicatrices» se muestran en la figura que abre esta entrada y según los autores del nuevo trabajo serían la señal inequívoca que deberían buscar los físicos experimentales para confirmar que se ha alcanzado el régimen caótico.

En resumen, la realización física del experimento propuesto por Larson et al. permitirá estudiar el «caos cuántico» en un régimen que aún no ha sido explorado y podría ayudar a resolver algunas de las incógnitas que aún están abiertas. Obviamente, lo que gustaría a los físicos es que el experimento en laboratorio muestre divergencias (aunque sean pequeñas) respecto a las predicciones teóricas y que nos guíen a la hora de entender mejor un fenómeno tan interesante como el «caos cuántico» en sistemas cuánticos sin análogo clásico.