En 1989 Antonio Fernández Rañada (Univ. Complutense, Madrid) introdujo una solución tridimensional de las ecuaciones de Maxwell con la topología de un nudo, a la que llamó hopfión (porque se inspiró en el fibrado de Hopf), que en 2008 se demostró de forma experimental. Hridesh Kedia (Universidad de Chicago, Illinois, EEUU) y sus colegas, entre ellos el español Daniel Peralta-Salas (contratado Ramón y Cajal en el Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC, Madrid), han encontrado una familia de soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell en forma de nudos tipo trébol (tres lazos), con cinco lazos e incluso más. Estas soluciones para un campo electromagnético clásico son de tipo campo nulo, porque los dos invariantes de las ecuaciones de Maxwell tienen valor nulo (en concreto, en todo punto el campo eléctrico es ortogonal (perpendicular) al magnético y ambos campos tienen idéntico módulo). La nueva familia de soluciones tipo nudo es estable y permite formar cadenas de nudos enlazados unos con otros. Todavía no se han verificado de forma experimental en laboratorio, pero nada parece impedir que sea posible (utilizando alguna variante de la técnica utilizada en 2008 para producir el hopfión). El artículo técnico es Hridesh Kedia, Iwo Bialynicki-Birula, Daniel Peralta-Salas, William T. M. Irvine, «Tying Knots in Light Fields,» Phys. Rev. Lett. 111: 150404, 10 Oct 2013. El artículo que introdujo el hopfión es Antonio Fernández Rañada, «A topological theory of the electromagnetic field,» Letters in Mathematical Physics 18: 97-106, Aug. 1989, y el que lo observó en laboratorio es William T. M. Irvine, Dirk Bouwmeester, «Linked and knotted beams of light,» Nature Physics 4: 716-720, Aug. 2008.

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Hacer aros de humo con un cigarrillo no es difícil, pero hacer nudos lo es, aunque no es imposible. La teoría matemática de los nudos tuvo su momento de gloria cuando Lord Kelvin a finales del siglo XIX trató de entender los átomos como nudos de éter luminífero. Hoy sabemos que los átomos no son nudos de éter, pero los nudos se utilizan en teoría cuántica de campos y otras ramas de la física teórica, como ahora en el electromagnetismo clásico. Esta figura muestra la evolución en el tiempo de tres miembros de la familia de soluciones exactas obtenidas por Hridesh Kedia y sus colegas, nudos de tres, cinco y cuatro lazos (este último es el hopfión).

En todas las soluciones de tipo nudo se cumple la propiedad llamada «nulidad» (nullness), es decir, que los campos eléctricos y magnéticos son ortogonales (perpendiculares) entre sí (Q = B·E = 0) y de igual magnitud (P = ||B||² − ||E||² = 0) en todo punto. Un teorema de Hogan (1983) afirma que todas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell con esta propiedad se pueden obtener por el método Bateman (1915). La nueva familia de soluciones se ha construido con este método. No quiero entrar en detalles matemáticas (que por cierto no son complicados, pues las nuevas soluciones son un buen ejemplo de «cómo es que a mí no se me había ocurrido»). La «nulidad» impone una restricción no lineal a la ecuaciones de Maxwell que equivale a introducir una no linealidad efectiva, en última instancia la responsable de las soluciones de tipo nudo.