La agencia EFE lanzó el viernes la noticia «Un matemático kazajo halla la solución parcial a la ecuación Navier-Stokes,» La Vanguardia, 10 Ene 2014. Mukhtarbay Otelbaev afirma en su artículo «Existence of a strong solution of the Navier-Stokes equations,» publicado en la revista kazaja Mathematical Journal 13: 5-104, 2013 [PDF en ruso; traducción al inglés en curso] que ha resuelto el Problema del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas sobre la regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, famoso por estar dotado con un millón de dólares. Lo siento, no sé ruso, luego no entiendo su razonamiento, pero no me creo su resultado final. ¿Por qué?
Lo primero, ¿por qué habla la noticia de una solución parcial al problema? El Problema del Milenio tiene dos partes o enunciados, la formulación del problema de valores inciales en R3, sin condiciones de contorno, y la formulación del problema de valores iniciales en T3, es decir, con condiciones de contorno periódicas. El enunciado de Otelbaev corresponde a esta última formulación, de ahí que se afirme que es una solución parcial al problema. Más detalles en «Navier–Stokes existence and smoothness,» Wikipedia, y en «Navier-Stokes equation: Official description of the problem,» Clay Math Institute.
Lo segundo, ¿por qué no me creo el resultado de Otelbaev? Porque su resultado está descrito en el espacio de Hilbert L2 (el espacio de las funciones de cuadrado integrable), en lugar de en el espacio crítico de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D, que es L3, o el espacio de Sobolev H1/2. En 2D, el espacio crítico es L2 y el resultado de Otelbaev ya fue demostrado por Jean Leray, «Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace,» Acta Mathematica 63: 193-248, 1934 (traducción al inglés en PDF). Sin embargo, en 3D un resultado en L2 no es suficiente para garantizar que la energía no explote (haga blow-up) en tiempo finito; se necesita un resultado en L3. Aunque no entiendo ruso, no veo que el artículo de Otelbaev ataque este problema. Luego no me creo su resultado.
De hecho, el artículo de Otelbaev utiliza herramientas matemáticas de espacios de Hilbert, que todo matemático estudia durante su carrera, herramientas que ya utilizó Leray en 1934 en 3D, aunque él sólo pudo demostrar la existencia de soluciones débiles, dejando abierto el problema de su unicidad (aún no resuelto) y el de las soluciones clásicas (Problema del Milenio). Dichas herramientas han sido muy estudiadas en este contexto en el último siglo y no es razonable que nadie haya sido capaz de resolver con ellas el problema de Navier-Stokes, si fuera posible hacerlo, como afirma a la ligera Otelbaev.
El problema de unicidad y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D requiere, con toda seguridad, el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas. Por ello no me creo que Otelbaev lo haya resuelto con herramientas que todo matemático (en España) estudia durante su carrera.
Si has leído hasta aquí, quizás te preguntes qué es eso del espacio crítico para las ecuaciones de Navier-Stokes. Si ya sabes que en n dimensiones es el espacio de Lebesgue Ln, o el espacio de Sobolev Hn/2-1, no tienes que seguir leyendo. En otro caso, basta sustituir en las ecuaciones de Navier-Stokes para comprobar que toda solución (u(x, t), p(x, t)) permite construir una nueva solución (λ u(λx, λ2t), λ2 p(λx, λ2t)), para una nueva condición inicial λ u0(λx). Se llaman espacios críticos de las ecuaciones de Navier-Stokes a los espacios de funciones que son invariantes ante esta simetría de las soluciones. En 3D, se tiene H1/2 ↪ L3 ↪ … (más información en, por ejemplo, Jean Bourgain, Nataša Pavlovic, «Ill-posedness of the Navier–Stokes equations in a critical space in 3D,» Journal of Functional Analysis 255: 2233–2247, 2008 [PDF gratis], y en el clásico Tosio Kato, «Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equation in Rm , with applications to weak solutions,» Mathematische Zeitschrift 187: 471-480, 1984 [PDF gratis]).
Los espacios críticos son claves en la solución del Problema del Milenio de la ecuación de Navier-Stokes porque hay varios resultados matemáticos que demuestran que en ellos las soluciones débiles pueden alcanzar dimensión de Hausdorff no entera, lo que se asocia a la aparición de la turbulencia. Para muchos expertos, entender la diferencia entre las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en L2 y en L3 es clave para atacar el Problema del Milenio. Sin embargo, Otelbaev parece que olvida lo que se ha aprendido durante el último siglo sobre este asunto y estruja las técnicas ya usadas por Leray en 1934, sin ningún alarde técnico, en apariencia.
Por todo ello, en un primer vistazo del artículo técnico en ruso, idioma que repito que no entiendo, no me creo que Otelbaev haya resuelto el problema de Navier-Stokes.
En este blog recomiendo leer «Gran charla de Diego Córdoba en las jornadas científicas “Los Problemas del Milenio” en Barcelona,» LCMF, 01 Jun 2011; las notas están disponibles gratis en la web en Diego Córdoba Gazolaz, «Las ecuaciones de Navier-Stokes,» Jornadas sobre los Problemas del Milenio, Barcelona, 1-3 Jun 2011 [PDF de las notas; PDF con las transparencias]. Sobre estas jornadas puedes leer «Cursos sobre los problemas del milenio en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011,» LCMF 31 May 2011 [Programa de las Jornadas con PDFs].
Antonio, convertir una idea en una demostración puede costar décadas a un equipo de expertos. Y nadie garantiza el éxito.
Por cierto, Antonio, te recomiendo leer Terence Tao, «Why global regularity for Navier-Stokes is hard,» What’s New, 18 Mar 2007.
Qué curioso. Si cambias «demostración» por «videojuego», «película» o «libro», la frase sigue siendo válida.
Antonio, hoy en día existe internet, así que yo publicaría esa idea en un foro de matemáticas con tu nombre y apellidos. Si la idea no llega a ninguna parte, todos lo olvidarán. Pero si estás acertado, alguien te encontrará en google (o tú podrás enseñar la fecha del comentario y gritar el: ¡yo lo dije primero!).
Gracias, Antonio, los resultados en L^2 (o H^1) son bien conocidos, pero son locales y no permiten una estimación global (son cotas supercríticas); se necesitan resultados en L^3 (o H^1/2), que requieren el uso de cotas críticas (o subcríticas) que no se conocen y que Oteilbaev no introduce en su artículo (al menos yo no las he visto).
Mi primera impresión (aún sin haber visto el artículo) era de puro escepticismo.
Pero una vez lo vi (a través de un tuit tuyo), mi impresión fue similar a la tuya, pero sin entrar en tantos detalles.
Las matemáticas que se veían eran «entendibles» para mí, por lo que dudaba que un problema tan profundo se pudiera solucionar así.
Por supuesto, tu análisis llega mucho más allá y, con mis parcos conocimientos sobre el tema, debo estar plenamente de acuerdo contigo.
The argument that Otelbaev works in L² instead of the Sobolev space H¹ («su resultado está descrito en el espacio de Hilbert L² (el espacio de las funciones de cuadrado integrable), en lugar de en el espacio crítico de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D») is a misunderstanding of the result : the result is stated in L² norms in space and time of the Laplacian (i.e. in L²_tH²-x norm) and this norm is a good one for strong solutions (leading to unform estimates in H¹_x) …
I don’t know whether the result is true (most probably, there is a mistake somewhere, as the tools are very elementary ones), but this is certainly not for the reason alleged in that blog.
Thanks, Lemarie-Rieusset.
Muy buen articulo.
No se mucho en lo que respecta a la Matematica, solo a nivel de ingenieria, pero hasta donde he estudiado y escuchado de otros amigos el problema necesita un cambio de paradigma radical, o sea, terrenos virgenes para siquiera empezar a tratar de resolverlo.
Ademas un paper tan importante se subiria en idioma ingles sino provoca mucha desconfianza.
Yo pienso lo mismo. Lo que ha escrito el Dr. Otolbaev no es suficiente para comprobar el problema. O sea que hacen falta ecuaciones en L3 no L2. Y hay otras personas que han publicado estos mismos resultados mucho mas antes que Otolbaev.
Well, I see from his http://enu.kz/repository/repository2013/articlemmf1.pdf, that he’s made improvements. I see where he comes from Hilbert (Banach) and Cauchy problem and uses Sobolev and Galerkins, still he makes the case for weak solutions, and then reiterates to claim strong solution. However, if he’s relying on boundedness and trilinears a,b to find optimal boundedness using strong-weak uniqueness using Serrin criterion and norms this was done by Lemarie already. Paraproduct issues aside Serrin criteria assumes Navier Stokes does not blow up, however, that is based on log inequalities from Wong which obtained them for earlier scholars.
I used Navier Stokes (NS) during my MSc thesis at Rice. At NASA-JSC though we applied different corrections to Navier Stokes though.
So I’d care to see merely a strong solution not just a Strong-Weak Uniqueness as other arguments have been claiming for years.
Which by the way Magnetohydrodynamic work with embedded theory, very much published already proves. Littlewood-Paley conjecture and Soboloev Embedding, Young’s Inequalities, all these do break down you know! So then the key is has he solved the remaining open problem???? If so where are those answers.
What was provided is a repeat of all the MHD and electrolyte theory already in publication since 2004.
I mean in that case other groups have obtained prior answers that run around the same lines.
Is there an English translation as there are Chinese and Americans and myself (Mexican) that have similar findings from a Physics perspective.
Betty Rostro, PhD
See
Gala, S: Extension criterion on regularity for weak solutions to the 3D MHD equations. Math. Methods Appl. Sci.. 33, 1496–1503 (2010)
Gala, S, Lemarié-Rieusset, PG: Multipliers between Sobolev spaces and fractional differentiation. J. Math. Anal. Appl.. 322, 1030–1054 (2006). Publisher Full Text OpenURL
Lemarié-Rieusset, PG: Recent Developments in the Navier-Stokes Problem, Chapman & Hall, London (2002)
Por favor leer, y mirar en pagina 89.
http://www.ima.umn.edu/prob-pde/reprints-preprints/cannone/handbook.pdf