La supuesta demostración de Michael Atiyah de la hipótesis de Riemann

El gran matemático Michael Atiyah, Medalla Fields en 1966 y Premio Abel en 2004, ofreció una charla en el Heidelberg Laureate Forum el pasado lunes, 24 de septiembre de 2018. Se anunció que presentaría una demostración (sencilla) de la hipótesis de Riemann, un problema del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas cuya solución está dotada con un millón de dólares. En paralelo se publicó un artículo de cinco páginas con la (supuesta) demostración, que se basa en un artículo previo de diecisiete páginas con un (supuesto) cálculo de la constante de estructura fina; ambos manuscritos fueron rechazados en arXiv, por lo que se han publicado vía Google Drive.

Tras leer los manuscritos tuiteé que “demostrar la hipótesis de Riemann requiere entender cómo es la función de Riemann cerca de la línea crítica, explorar su paisaje, escuchar la música de su espectro, … la supuesta demostración de Atiyah es un sinsentido formal. No prueba nada. Juega con símbolos y no dice nada”. Me costó escribirlo, pero pensé que era necesario: “Hoy siento mucha pena por Atiyah (no sabía que estuviera tan mal tras la reciente pérdida de su esposa). Todos debemos tratarle con el mayor respeto. Fue uno de los matemáticos más relevantes de nuestro tiempo”. Más aún, concluí: “Me cuesta escribir esto. Sus últimos artículos no son trabajos matemáticos, sino poemas sobre el dolor por la pérdida de la persona amada”.

El pasado 13 de marzo falleció la matemática Lily Atiyah (90 años), la mujer de Michael Atiyah (89 años), que le mantenía alejado de los focos. Sus últimos artículos publicados en revistas científicas contenían errores impropios para un matemático de su talla. Su estado mental empezaba a mostrar signos de demencia senil. Sin Lily, Michael retornó a los medios con una charla en el ICM 2018 de Río de Janeiro que introducía la llamada Física Aritmética y un (supuesto) cálculo de la constante de estructura fina. Quienes asistieron a la charla callaron, a la vista de su estado. Su charla en el HLF confirma los peores augurios. Los grandes matemáticos también son personas, y como tales padecen sus mismos problemas con la edad.

Lo único positivo de todo esto es que la charla ha servido para que muchos medios hablen de matemáticas y de la hipótesis de Riemann. Muchos lectores de este blog me han pedido que describa la (supuesta) demostración de Atiyah de la hipótesis de Riemann. No es fácil para mí; y no por que no la entienda, sino porque no se entiende. Como poema matemático que es, no está escrita para ser entendida, sino para ser sentida; su objetivo no es introducir nuevas ideas entre los matemáticos, sino inducir sentimientos en el lector del lenguaje matemático. Aún así, me permitiré una breve discusión.

La supuesta demostración se puede disfrutar en Michael Atiyah, “The Riemann hypothesis,” PDF Google Drive, y en “The fine structure constant,” PDF Google Drive. Atiyah introduce la llamada función de Todd, basada en la aplicación de Todd, basada en su propio trabajo con Friedrich Hirzebruch entre 1959 y 1961, que se resume muy bien en el libro de F. Hirzebruch, “Topological methods in algebraic geometry,” Springer (1966). La charla de Atiyah en HLF se puede disfrutar en youtube (aunque la presentación se ve muy pequeña), o mejor en el vídeo del HLF (donde se puede ampliar la presentación a pantalla completa).

Esta entrada forma parte de la edición 9.3 (#CarnaMat93) del Carnaval de Matemáticas, la septuagésima novena, organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen. Puedes participar hasta el 02 de octubre, si te apetece.

La supuesta demostración se basa en la reducción al absurdo. Se asume que existe un cero b de la función de Riemann fuera de la línea crítica, \zeta(b)=0, con \mbox{Re}(b)\ne{1/2}, y se demuestra que conduce a una contradicción (luego dicho cero no puede existir). Para ello se selecciona el rectángulo cerrado K[a] definido por |\mbox{Re}(s-1/2)|\le{1/4}, y |\mbox{Im}(s)| \le a=\mbox{Im}(b) (Atiyah pone a=b, lo que no tiene sentido porque a\in\mathbb{R}, mientras que b\in\mathbb{C}). Nótese además que K[a] no contiene ni el punto s=0, clave en la demostración, ni los puntos s=1 y s=\pi, donde se supone que se conocen los valores de la función de Todd, sean T(1)=1, y T(\pi)=1/\alpha\approx 137, siendo \alpha la constante de estructura fina.

Se define la función F(s)=T\{1+\zeta(s+b)\}-1. Atiyah escribe T\{\cdot\} en lugar de T(\cdot). La interpretación más sencilla es que T\{f(s)\} es la abreviatura de T\{f\}(s) , donde T\{f\} es un funcional de Todd. En dicho caso, en rigor, habría que haber escrito F(s)=T\{1+\zeta\}(s+b)-1. La (supuesta) función F(s) hereda de la función de Todd T(s) la propiedad de ser analítica débil, término con el que Atiyah dice referirse a que en cada región compacta y convexa del plano complejo es un polinomio; por supuesto, si F(s) fuera una función analítica, bajo dicha hipótesis sería un polinomio, pero al ser una función analítica débil parece que no lo es (quizás Atiyah tiene en mente una función analítica a trozos). En el artículo de Atiyah no queda claro este concepto y no creo que merezca la pena elucubrar más allá sobre él.

El siguiente paso de la demostración es que F(s) es analítica cerca de s=0, y además F(0)=0. Aunque en la charla HLF pone (creo que por error) que F(b)=0, expresión que no tiene sentido (pues no sabemos nada de \zeta(2\,b) a partir de la definición de F(s)). Que la (supuesta) analiticidad débil de F(s) en el rectángulo K[a] implique la analiticidad cerca del origen, cuando 0\notin K[a], no tiene ningún sentido. Parece que Atiyah tiene en mente un rectángulo que cubre todo la banda crítica, que estaría definido por |\mbox{Re}(s-1/2)|\le{1/2}, y |\mbox{Im}(s)| \le a=\mbox{Im}(b).

El paso crucial de la demostración se lo saca Atiyah de la manga: la función F(s) es idénticamente igual a cero, F(s)\equiv 0. En el artículo afirma que se deduce de que F(s)=2\,F(s), aunque en la charla HLF escribe F(2\,s)=2\,F(s). Según el artículo esta propiedad tiene su origen en la expresión (2.6); antes de discutir este paso podemos completar la (breve) demostración. Aparece una contradicción ya que F(s)=0 implica que, o bien T(s)=1, que contradice a T(\pi)\ne{1}, o bien \zeta(s)=0, que contradice su definición. Por tanto, no existe ningún cero fuera de la línea crítica. QED.

En el artículo de Atiyah no queda claro cuál es la expresión (2.6), habiendo dos posibilidades en contienda. Por un lado, la expresión funcional T\{[1+f(s)]\cdot[1+g(s)]\}=T\{1+f(s)+g(s)\}, que bajo la condición f=g=F, implica que T\{[1+F(s)]\cdot[1+F(s)]\}=T\{1+2\,F(s)\}. Deducir a partir de esta expresión que F(s)=2\,F(s) (o que F(2\,s)=2\,F(s)) me parece imposible. Tanto si el punto central significa la operación producto,

T\{[1+F(s)]^2\}=T\{1+2\,F(s)+F(s)^2\}= T\{1+2\,F(s)\},

como si el punto central significa composición de funciones (notación usada en los artículos de Atiyah y Hirzebruch c. 1960),

T\{[1+F(1+F(s))]\}=F\{1+2\,F(s)\}.

Por otro lado, la expresión (2.6) podría ser T(\sqrt{s})=\sqrt{T(s)}, que según (2.7) equivale a \sqrt{T(1+s)}=T(1+s/2). También parece imposible deducir a partir de estas expresiones que F(s)=2\,F(s) (o que F(2\,s)=2\,F(s)). Asumir que F(s) es un polinomio en el rectángulo K[a] no ayuda nada.

En varios foros de matemáticos se ha tratado de entender la función de Todd T(s) para darle un sentido a la demostracíon de Atiyah. En la teoría de los polinomios de Todd de Atiyah y Hirzebruch se describe la aplicación de Todd definida por T(c_1,c_2,\ldots;x) definida por la serie de potencias formal

T(c_1,c_2,\ldots;x)=1+T_1(c_1)\,x+T_2(c_1,c_2)\,x^2+T_3(c_1,c_2,c_3)\,x^3+\cdots,

cuyos coeficientes son los polinomios de Todd,

\displaystyle{}T(c_1)=\frac{c_1}{2},\qquad T(c_1,c_2)=\frac{c_1^2+c_2}{12},\qquad T(c_1,c_2,c_3)=\frac{c_1\,c_2}{24},\ldots,

que dependen de una secuencia infinita de constantes c_1,c_2,\ldots, llamadas pesos. En general, la serie de potencias T(c_1,c_2,\ldots;x) diverge salvo para secuencias de pesos que decaen suficientemente rápido, para los que puede converger con cierto radio de convergencia. Su extensión al plano complejo no es sencilla y la posibilidad de que existan extensiones analíticas y/o analíticas débiles no ha sido estudiada en detalle (hasta donde me consta). El artículo de Atiyah parece sugerir que los pesos son los coeficientes del desarrollo de potencias de una función, es decir, que T\{f\}(x)=T(c_1,c_2,\ldots;x) con f(x)=c_1\,x+c_2\,x^2+\cdots; sin embargo, no queda clara si esta es la interpretación correcta.

En su artículo sobre la constante de estructura fina, Atiyah afirma sin demostración que existe una secuencia infinita de pesos, cuya expresión solo depende de cocientes de números enteros, tal que la función de Todd T(x)= T(c_1,c_2,\ldots;x) cumple que T(1)=1, y T(\pi)=1/\alpha. En su opinión, dicha expresión ofrece un cálculo analítico de la constante de estructura fina (como físico prefiero no opinar al respecto de esta nueva numerología bautizada Física Aritmética).

Atiyah balbucea en su artículo un método iterativo para determinar los pesos a partir de unos pesos semilla tal que T(\pi)=137, pero no aclara cuál es esta semilla. Tampoco queda claro cuál es dicho método de cálculo. Solo afirma que le ha permitido obtener un valor de 1/\alpha=137.025999\ldots. Debo indicar que dicho artículo incluye varias fórmulas incorrectas, como la que aprovecha Arturo Quirantes, “Física con Excel: Michael Atiyah y la constante de estructura fina”, Tutorías, 25 Sep 2018, para ilustrar cómo evaluar series de números en Excel. Dicha expresión se puede calcular de forma exacta, confirmando el cálculo numérico en Excel, y que su valor no tiene nada que ver con el de la constante de estructura fina. La memoria de Atiyah le juega malas pasadas, por lo que debe haber cometido muchos errores tipográficos.

En resumen, la (supuesta) demostración de Atiyah de la hipótesis de Riemann y su (supuesta) fórmula para la constante de estructura fina son dos poemas sobre el dolor escritos en lenguaje matemático. Como tales deben ser aceptados. Cualquier intento de darles sentido se encontrará con la barrera de la poesía. ¡Disfrutemos de la poesía de Atiyah! Y recordemos con respeto a uno de los grandes matemáticos de la segunda mitad del siglo XX.

22 comentarios

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Rafa B. Rafa B.

Con cuánta clase y respeto has escrito este artículo. Te honra.
Ojalá aprendiéramos en otros ámbitos de la sociedad a valorar el esfuerzo y la memoria tanto ( y tan bien) como se hace en la ciencia.
Un saludo.

ronnald ronnald

Habia mucha discusión sobre esto, pero yo tenia razon, no por que sea un genio ni adivino, simplemente veo los antecedentes previos a todo esto, y es muy facil, por ejemplo si dos personae se ponen a correr digamos 10km uno tiene 20años y el otro tiene 89, ademas los dos estan físicamente completos, adivina quien va a ganar? No se necesita ser un adivino ni un genio o si? Para nada. Este señor es un grande del siglo xx, y se tiene q tratar con mucho respeto , primero por ser una persona, despues por ser persona mayor y tercero por ser uno de los mejores matematicos del siglo pasado. Yo leí uffff su libro de algebra conmutativa y termine solo el primero capitulo, otro compañero me dijo despues de haber leido este libro ‘ahora puedo aprender cualquier cosa’. Grande Sir Atiya

Antonio Antonio

Gran reflexión, para no olvidar que cualquier profesional de un determinado campo es persona antes que profesional.

Javier Javier

Coincido plenamente con los comentarios anteriores. Enhorabuena.
Como todos sentí mucha curiosidad ante el anuncio de la “demostración” y, como físico, me quedé a cuadros al leer el artículo sobre la constante de estructura fina. En Twitter encontré una referencia a la entrevista que J. A. de Azcárraga, presidente de la RSEF, le hizo a Sir Michel Atiyah. Si no la has leído, te animo a hacerlo. Yo diría que Azcárraga (del que fuí alumno en sus clases de Teoría Cuántica de Campos y al que considero un gran físico-matemático ) es
, como tú, muy respetuoso con Atiyah pese a todas sus divagaciones.
Otra cosa Francis: puedes decirnos
algo sobre como va tu libro de Teoría de Cuerdas?. No sé de donde sacarás el tiempo para escribirlo, pero me imagino que estamos todos esperando por él. Son tan pocos los buenos libros de física escritos en castellano. Espero que no pase lo mismo que con la segunda parte de “Historia de la Física Cuántica” de J. M. Sánchez Ron, creo que somos muchos los que esperaremos siempre por él.
Un saludo.

Óscar Óscar

Ya te admiraba por tu talla científica-divulgadora y ahora lo hago por tu caridad y ternura. Gracias!

Pedro Mascarós Pedro Mascarós

Quiero sumarme a las alabanzas por haber tenido la sensibilidad de encontrar el fondo humano a los últimos trabajos de Atiyah.

Marta verdier Marta verdier

Humano, un gesto demasiado humano tu escrito, y por encima de todo, es lo que importa, aunque ahora éso se entiende mal.

Emilio Molina Emilio Molina

Me ha venido a la cabeza el gag de “Les Luthiers” sobre Yougurtu ‘Ngue por aquello de “eso es tacto”.

Casi más que en matemáticas, da que pensar en la que un referente en algo puede llegar a liar cuando deja de estar en condiciones (acordándome de gente como Montagnier y similares). Espero que tú tengas algún tipo de sistema de autocontención previsto para esos casos, que también nos la podrías liara los que te seguimos. 😉

Jose Brox Jose Brox

En principio no estoy nada de acuerdo con el “diagnóstico telemático” de demencia senil. Para empezar, es un término que está en desuso por poco científico, se recomienda usar el nombre de la enfermedad neurodegenerativa que se presente, si es que la hay (Alzheimer, Parkinson, demencia por ICVs, etc.). En segundo lugar, ¿en qué se basa dicho diagnóstico? ¿Únicamente en los papers y las charlas? ¿O hay información de primera mano más relevante? ¿Hay algún cuidador cualificado atendiendo a Atiyah? Desde mi conocimiento del tema (que no es de experto, pero algo tengo), diría que no observo los típicos síntomas de las demencias comunes, así que si la hubiere, sería extraña (y por tanto poco dada a ser diagnosticada desde los foros de internet). Aparte, me he comunicado por email con Atiyah y su respuesta ha sido coherente y lógica, todo lo contrario de lo esperable en caso de demencia, salvo que fuera tremendamente intermitente (cosa más peliculera que realista). Lo que sí podría ocurrir es que no pueda o no esté haciendo matemáticas correctamente por otras razones, psicológicas o neurológicas, como un único ICV, algún tipo de locura, o el peligro que tiene siempre cualquier científico de cualquier ámbito y a cualquier edad: caer en una suerte de megalomanía de mucho imaginar y poco verificar (lo que se viene a llamar “ser un crank”, o volverse uno). Desde la comunidad matemática hacemos un pésimo trabajo estigmatizando a la tercera edad con roles peliculeros y psicoanáliticos. Las capacidades cognitivas en general disminuyen con la edad (como la facilidad para memorizar datos nuevos), pero no de forma tan marcada como se hacen creer los matemáticos unos a otros, y hay capacidades que de hecho aumentan, como el dominio del lenguaje (capacidades cristalizadas), entre las que es factible que se encuentren algunas habilidades matemáticas.

Alénkar Martín Alénkar Martín

Gracias por tu mensaje Jose, es interesante saber que te has comunicado con el matemático.

Yo no soy matemático por lo que no estoy en posición de opinar acerca de la validez de tales argumentos, soy en lo facto neuropsicólogo (desde la rama de biología) y actual estudiante de física, y me parece importante aportar lo que tengo a este debate.

Dentro de las enfermedades degenerativas primarias encontramos las de predominio cortical y subcortical. En el primer grupo encontramos la enfermedad de Alhzeimer, las demencias fronto-temporales (cuerpos de Pick, afectación C, degeneración del lóbulo frontal, afectación de las neuronas motoras) o bien degeneraciones focales (demencia semántica, atrofia cortical posterior, afasia primaria progresiva, prosopognosia progresiva, amusia y aprosodia progresiva, apraxia primaria progresiva)

En el segundo grupo tenemos las de predominio subcortical, entre las que se cuentan la degeneracíón corticobasal, la muy común enfermedad de Cuerpos difusos de Lewy, paralisis supranuclear progresiva, parkinson con demencia, enfermedad de Huntington, atrofia multisistemática y heteroataxia progresiva. Luego podemos contar con las demencias vasculares que pueden provenir de infarto en área estratégica, multi-infarto, por hipoperfusión y hemorrágica de pequeños vasos. Finalmente las demencias secundarias (de origen bioquimico), pueden ser metabolicas, carenciales o endocrinas, y acostumbran a ser fáciles de diagnosticar debido a la presencia de síntomas más marcados y menos fluctuantes.

Los niveles de cisteína, cobalamína, lipoprotenía y proteína tau son marcadores bioquímicos relacionados a la demencia, tanto primaria como secundaria. La presencia del alelo E4 en el gen de la apoipoproteína E4 parece estar relacionado con el plegamiento de proteínas por parte de los complejos microtubulares MAP y la consecuente propagación de priones. El marcador definitivo que prueba el desarrollo de una demencia es la presencia de cuerpos anómalos como Cuerpos de Hirano (estructuras de actina en las neuronas piramidales del hipocampo), acumulación de beta amiloide a nivel vascular (angiopatía amiloidea), acumulación de beta amiloide en la substancia gris (placas seniles) y ovillos neurofibrilares (por disfunción de proteínas TAU)

Todo parece señalar que Atiyah padece un deterioro cognitivo de la memoria asociado a la edad, común en todos los mortales, que quizás evolucione hacia un estado preclínico de demencia; sin embargo para concretar tal diagnostico es necesario una rigurosa batería de pruebas.

Con esto pretendo decir, que acusar a Atiyah de demencia senil es un despropósito que nadie no especializado en el tema debería atreverse a sugerir, es cruzar esa linea donde la ciencia deja de ser ciencia y se convierte en el prejuicio rápido más propio del prefijo pseudo. No creo que sea cuestión de poesía sino un intento de plasmar sus intuiciones antes de que sea demasiado tarde, y las capas de empatía dadas no quitan que una acusación de demencia sea una falta de respeto y de seriedad que reduce todo el argumento a una opinión de trasfondo subjetivo.

Respeto tu intachable profesionalidad Francisco, pero me parece legitimo decir que hoy el poeta no ha sido Atiyah.

Rolando Manzanilla Rolando Manzanilla

Esta triste situación que relatas recuerda a la película de 2005 “La prueba” (Proof) con Anthony Hopkins y Gwyneth Paltrow, lo que confirma que a veces la realidad supera la ficción.

JoRoPi JoRoPi

Francis, leo con regularidad todos tus post en este blog, aunque muy a mi pesar y por mi ignorancia entiendo muy poco de lo que escribes.
Este sí que lo he entendido. Por supuesto no la parte matemática, pero sí la clase maestra que has impartido.
Muchas gracias de verdad por haber escrito esta entrada.

(Y otra lágrima por tu no-libro, … vaya día …)

Marcos Marcos

Veréis, yo creo que os perdéis en cuestiones técnicas. Naturalmente, Atiyah no dio los pasos detallados de la demostración porque no era su intención, sino hacer el problema accesible. Yo creo que esta es una tendencia que se viene repitiendo con la globalización. Hasta no hace mucho la Hipótesis de Riemann, como tantos otros problemas impirtantes, solo se sabía de ellos en los departamentos de las grandes universidades. Por el prestigio que ostentaba resolverlo la información se guardaba celosamente. Hoy con internet es casi impisoble, además de que ese carácter hermítico del saber no tiene mucho sentido. Al margen de los errores técnicos, lo que dice Atiyah es una genialidad. Estoy seguro que muchos de los que lo ponen a parir están bucando una función auxiliar, similar a F(s), que relaciona Todd con Riemann, y que les permita obtener una contradición suponiendo la Hipótesis falsa. Creo que la intención de Atiyah era globalizar el problema. Sacarlo de sus cerrados departamentos para que el mundo supiese cómo están afrontando el problema. Personalmente creo que se hizo un harakiri. En cuanto a su salud mental, muchos que se les presupone cuerdos no se acercarían a una idea de esa genialidad. Porque aunque hata errores técnicos, la idea en sí es una genialidad.

Ramiro Hum-Sah Ramiro Hum-Sah

Marcos:

No diría que la idea es una genialidad, pero me intriga profundamente que hay cosas … que son muy interesantes.

A pesar de todo y si Atiyah dibuja sin sentidos completos, es desconcertante porque hay algunas ideas interesantes en el fondo 🙂

Ramiro Hum-Sah Ramiro Hum-Sah

Para mi el asunto es mucho más interesante de lo que parece; durante años se ha especulado que la vía de ataque más prometedora contra la hipótesis de Riemann es una vía geometro-algebraica, se habla generalmente sobre tener objetos más flexibles sobre los cuales hacer geometría, lo que me intriga de Atiyah es el enfoque analítico 🙂

Hay algo interesante en el fondo, hasta fuera de sus mejores tiempos tiene un gran estilo.

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