‘Ciencia para todos’ (SER Málaga): La ciencia y la física de la Lotería de Navidad

Te recomiendo escuchar el podcast “La ciencia y la física de la Lotería de Navidad”, 20 Dic 2018 [09:50 min] del programa de radio “Ciencia para todos” en el que participo junto a Enrique Viguera @EnriqueViguera (profesor titular de genética de la Universidad de Málaga y coordinador de Encuentros con la Ciencia). Esta sección quincenal del programa “Hoy por Hoy Málaga”, presentado por Esther Luque @ELuqueDo, se emite todos los jueves en la Cadena SER Málaga (102.4 FM) entre las 13:00 y 14:00 horas (lo siento, no tiene hora fija de emisión).

Más información en «La física de la lotería de Navidad», LCMF, 22 Dic 2015; «Por qué en la lotería de Navidad se extraen bolas numeradas de un bombo», LCMF, 24 Dec 2015; Tito Eliatron, «Lotería: La esperanza no es lo último y, además, se pierde», Naukas, 17 Dic 2010; Tito Eliatron, «Sorteo Extraordinario de Navidad: las matemáticas no han fallado», Naukas, 31 Dic 2012; Miguel Ángel Morales Medina, «Lotería de Navidad 2017: mitos, probabilidad y comparación con otros sorteos», Gaussianos, 20 Dic 2017; y muchas otras fuentes.

La lotería de Navidad nació en el siglo XIX. ¿Cuál es su historia hasta nuestros días? La Lotería Nacional celebra el Sorteo Extraordinario de Navidad en España cada 22 de diciembre. El Gordo, el premio máximo, tiene un valor de 4 millones de euros al billete, 400 mil euros al décimo, o 20 mil euros por cada euro apostado.​ La Lotería Nacional, o “moderna”, llamada así para distinguirla de la llamada Lotería Real, o “primitiva”, fue aprobada el 23 de noviembre de 1811, a imagen de la creada en México en 1769, y su regulación se publicó en Cádiz el 13 de febrero de 1812. Ambas loterías convivieron hasta 1862. La Lotería Nacional fue creada en el contexto de la Guerra de Independencia, como medio de aumentar los ingresos del erario público, acuciado por la guerra contra los franceses, que no causara mayores quebrantos a los contribuyentes.

Los números premiados se extraen de bolas numeradas de un único bombo gigante, y las bolas con los premios de otro bombo más pequeño, en lugar de usar varios bombos pequeños para cada uno de los dígitos del número. ¿Por qué en la lotería de Navidad se usa este sistema? La idea de usar un único bombo con todos los números premiados la tuvo Francisco González Estéfani Vázquez, Director General de la Renta de la Lotería (entre 1804 y 1825), quien propuso al Rey cambiar el sistema de extracción de cédulas enrolladas extraídas de un saco por el de bolas de madera extraídas de un bombo. El nuevo sistema se usó por primera vez en Cádiz, en la Navidad de 1812. La primera vez que se sorteó la lotería en Navidad fue el 18 de diciembre de 1812, y la primera vez que se le llamó Sorteo de Navidad fue el 23 de diciembre de 1892, aunque no figuró impreso en los boletos hasta la Navidad de 1897. El volumen de emisión del juego ha ido creciendo desde entonces. En 1812 fueron 25.000 números, que pasaron a 40.000 en 1904, luego a 85.000 y finalmente desde 2011 a los 100.000 actuales (desde el número 00000 al 99999). Hoy en día se introducen 1807 bolas en el bombo de premios. Como desde 2017 el número de series es de 170, se emiten 3400 millones de euros en lotería. Un 70% se destina a premios (2380 millones de euros) siendo premiados un total de 14 008 números de entre los 100 000 (salvo que un mismo número puede llevarse más de un premio).

Todos queremos que nos toque el Gordo. ¿Cuáles son las probabilidades de acierto? Como hay 100 000 (cien mil) números, el Gordo (con sus 20 000 €  por cada € jugado) tiene una probabilidad de 1 / 100 000 (o sea, de un 0,001 %), la misma probabilidad que el Segundo y Tercer premios. El resto de los premios, que son más numerosos, tienen probabilidades crecientes, hasta llegar al reintegro (los números cuya última cifra coincide con la del primer premio) que tiene una probabilidad de 9999 / 100 000 (o de un 10% ~ 9,999 %). Por ejemplo, tienen una probabilidad de 999 / 100 000 (de un 1% ~ 0,999 %) los números cuyas dos últimas cifras coincidan con las del primero, segundo o tercer premio (que recibirán 5€ por cada € jugado). Y la Pedrea (el conjunto de los premios menores, esos números que nadie escucha pero que luego todos comprueban a posteriori, en los que también se reciben  5€ por cada € jugado) tiene una probabilidad de 1794 / 100 000 (1,794 %). Hay un total de 15 304 premios que se asignan (ya que hay números que tienen más de un premio) a un total de 14 008 números, por ello, la probabilidad de que te toque al menos 1 premio es del 14 %. Pero lo que a todos nos interesa es que la probabilidad de ganar el primer premio es de un 0,001 %.

Siempre se habla de las matemáticas de la lotería de Navidad. ¿Qué nos puedes contar de la física de la lotería de Navidad? La física de la Lotería nos explica por qué el bombo es como es y por qué gira a la velocidad a la que lo hace. El bombo de la suerte actual fue fabricado en 2006 por la empresa chiclanera Fluidmecánica del Sur. Las bolas en el bombo se comportan como un medio granular (el bombo de la suerte se diseñó para almacenar hasta 85.000 bolas, pero desde 2011 se introducen 100.000 bolas). La rotación del bombo es lenta (15 vueltas por minuto). La aleatoriedad se logran al mezclar las bolas por un proceso de corte y arrastre (cutting & shuffling) mediante avalanchas. El proceso es parecido a como se baraja un mazo de naipes. La física de los medios granulares indica que son necesarias muchas vueltas para garantizar que la probabilidad de cada bola sea uniforme; que yo sepa, dicho número no ha sido calculado.

Si el bombo se diseñó para 85 000 bolas y ahora hay 100 000 bolas, ¿significa que ahora es más probable la aparición de ciertos números? En realidad no lo sabemos con seguridad, quizás hay un pequeño sesgo para algunos números pero que yo sepa nadie lo ha calculado aún. Como cualquiera puede imaginar, influye mucho la posición inicial de las bolas. Las bolas se colocan ordenadas en las 200 liras de hasta 500 bolas. Se cuelgan de forma ordenada en el llamado paraguas y se vierten en un recipiente llamado tolva. Luego se introducen en el bombo. Este protocolo garantiza cierto azar inicial en el rellenado del bombo, por los choques múltiples entre bolas. Pero como la rotación del bombo es lenta, el proceso de mezcla introduce poco azar adicional; por ello, el presidente de la mesa decide cuántas veces se rota el bombo de forma más o menos aleatoria, entre 5 y 10 veces cada vez que los niños rellenan todos los alambres de una tabla. Como en los sorteos los bombos se rotan pocas veces, en mi opinión, gran parte de la mezcla final de las bolas depende mucho de esta aleatoriedad inicial.

Las bolas se mezclan por un proceso de corte y arrastre por avalanchas, ¿en qué consiste exactamente este proceso? La rotación lenta del bombo hace que se inclinen las bolas y se provoque una avalancha en cuña de vez en cuando. En cada avalancha, las bolas que se encuentran en la parte superior se deslizan sobre las otras bolas cayendo. Esta avalancha provoca que una capa de bolas en forma de cuña pase de la zona elevada a la zona baja. El flujo de las bolas en el bombo en rotación está impulsado por la gravedad. La fricción entre las capas de bolas conduce a la existencia de un ángulo crítico; cuando se supera este ángulo el estado se vuelve inestable y las bolas de las capas superiores fluyen hacia abajo con una velocidad que decrece linealmente con la profundidad. Este proceso conduce a un mezclado de las partículas que introduce el azar en su distribución. Para garantizar una alta tasa de mezcla de las bolas, el nivel de las bolas no supera nunca el ecuador del bombo. Un punto clave para garantizar una buena mezcla de las bolas para una velocidad de rotación lenta es la rugosidad de la pared interior del bombo, por ello se usan varillas metálicas.

El refrán dice que “La esperanza es lo último que se pierde”, pero se dice que “la lotería es un impuesto voluntario para el que no sabe matemáticas”. ¿Cuánto dinero perdemos al jugar a la lotería? El cálculo de la esperanza matemática de la ganancia (la media) requiere calcular la suma de los productos Probabilidad*Ganancia. Para un juego justo este resultado debe salir 0; el juego es beneficioso para el jugador, si la esperanza es positiva, y será beneficioso para el Estado si la esperanza es negativa. Un cálculo matemático muestra que para la Lotería de Navidad la esperanza es de – 0,30€ (menos cero coma tres euros), es decir, que por cada euro que juegas a la Lotería, vas a perder 30 céntimos de euro. Por supuesto, los más optimistas lo ven al revés, por cada euro jugado vamos a ganar 0,70€. Aunque si el premio supera los 2500 € habrá que pagar un 20% como impuesto a Hacienda. Por cada 100 euros que gastemos en la lotería, esperamos ganar 70 euros, luego vamos a perder 30 euros; así que “de media” esperamos perder dinero (lo normal es ganar 14 euros por cada 20 invertidos). Por ello, matemáticamente es mejor no participar ni en este sorteo ni en ninguna lotería. Todas ellas están diseñadas para ser desfavorables para el jugador y favorables para el Estado. Pero hay que pensar siempre que al participar contribuimos con nuestros impuestos al mantenimiento del Estado, algo muy importante.

Mucha gente juega siempre a los mismos números. ¿Cuál es la probabilidad de que un número premiado con El Gordo vuelva a ser premiado? Hoy hay 100.000 números, pero no siempre fue así. Si para simplificar imaginamos que siempre fueron 100.000 los números del sorteo, y teniendo en cuenta que llevamos poco más de 200 sorteos, la probabilidad de que en dos de ellos saliera el mismo número es de, aproximadamente, 0,18 (18%), lo que indica que no es un suceso tan raro. Pero lo que todos deben saber es que no hay números bonitos ni números feos: todos tienen la misma posibilidad de ganar cualquiera de los premios. Para estar seguro que nos toque algo, tenemos que jugar con 10 números distintos, uno con cada terminación, así la probabilidad de ganar el gordo se multiplica por 10 y sube a 1 entre 10.000. Pero seguro que al menos nos toca un reintegro.

Mucha gente hace enormes colas para comprar sus números en las administraciones más conocidas, porque dicen que da suerte comprar allí, porque allí siempre toca. ¿De verdad en dichas administraciones tocan más premios que en otras? Por supuesto, ¿cómo no va a tocar más veces en esas administraciones si venden muchos más números que otras? Las matemáticas básicas nos dicen que si tienes a la venta más números hay mayor probabilidad de vender el Gordo de la Lotería de Navidad que si tienes disponibles menos números para vender. Por tanto, se trata de una leyenda urbana que ciertas administraciones den más suerte que otras… nada de nada. La única ventaja que tienen dichas administraciones es que venden más números. Si queremos comprar un comprar un número concreto, quizás esté allí, pero lo mejor es comprarlo por internet (aunque el precio sea algo mayor) y ahorrarse las colas. Hay muchos mitos asociados a la lotería, como quien compra el décimo terminado en un número en concreto porque da suerte, o que no compra números bajos porque nunca salen. Ninguna de estas supersticiones tiene sentido, pues todos los números tienen la misma probabilidad de salir premiados. Una curiosidad es que es más probable que salga un número de cinco cifras con alguna cifra repetida, pues hay 69 760 números con esta propiedad en los primeros 100 000 números, es decir, hay más del doble de números con algún dígito repetido que con todos distintos. Lo importante que deben recordar los oyentes es que la Lotería de Navidad es mucho más beneficiosa que otros juegos del estilo que tenemos en España. Se reparte el 70% de las ganancias en premios. Y además, el 30% restante se lo llevan las arcas del Estado en beneficio de todos nosotros. Tanto si ganamos o perdemos, todos salimos ganando con el Gordo de Navidad.

¡Qué disfrutes del audio! ¡Y felices fiestas!



2 Comentarios

  1. Hola,Interesante ¿dónde va el dinero que se pierde en la lotería?,estoy de acuerdo.
    Pero, que pensaría las Matemáticas si alguien sabe el numero antes del sorteo,
    o es un tramposo (sinvergüenza) o es muy (extremada mente) rápido.

    Feliz Navidad a todas (os).

    Un saludo y gracias.
    P.D.: espero que no me toque.

  2. Saludos. Me han recomendado su blog, así a primeras lo poco que le he leído tiene muy buena pinta, quien me hizo la recomendación no exageró en absoluto. Espero aprender mucho por aquí, gracias por publicarlo.

    PD: no juego a la lotería.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 21 diciembre, 2018
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