Atención, pregunta: ¿Qué es una integral?

La respuesta depende del contexto. El término «integral» se usa como sustantivo (p. ej. integral de Lebesgue o integral de caminos) y como adjetivo (p. ej. curva integral o ecuación integral). Y en español los adjetivos se pueden sustantivar y los sustantivos se pueden adjetivar. No es lo mismo la integral como cuadratura, un simple número resultado de calcular el área bajo una curva, que la integral como primitiva (antiderivada), una familia de funciones que se diferencian en una constante (o una función que las representa sin ella). Y no es lo mismo la integral de Riemann, que la integral de Lebesgue, que la integral de Itô, que… En matemáticas se usa y abusa del término «integral» y su definición depende del contexto. Por tanto, toda discusión entre matemáticos sobre su significado debe iniciarse con una definición por ambas partes, pues quizás dichas definiciones no coincidan.

Esta entrada participa en la Edición 1 del Año X del Carnaval de Matemáticas () cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit (). Me gusta participar en el Carnaval de Matemáticas, pero en la última ocasión ni me enteré de la fecha tope y en esta ocasión me acabo de enterar de que hoy mismo es la fecha tope (aún puedes participar, hasta las 24:00 (Madrid) de hoy 28 de febrero de 2019). ¿Te animas a participar?

Esta entrada viene a cuento de este tuit que se hizo viral el pasado 25 de febrero de 2019. Una discusión entre un tal «Don Carlos» (matemático ponente en una mesa redonda) y un «caballero» del público (profesor de matemáticas o de cálculo). ¿Una integral es un número? ¿Una integral es una función? En la discusión se debate sobre si el sustantivo «integral» se refiere a una integral definida (un número) o a una integral indefinida (una «función»), y se omite toda referencia a cualquier otra posibilidad. Don Carlos afirma (sin rigor) que

\displaystyle\int x\,dx = \frac{x^2}{2},

y se queda tan pancho (por lo que el «caballero» del público decide cortar la discusión). Hay que tener mucho cuidado con esta definición (popular pero incorrecta) de integral (indefinida). ¿Por qué? Porque es fácil demostrar que 0=1 si se usa esta definición y la integración por partes (mis tuits). En matemáticas, toda «verdad» que conduce a una «mentira» es mentira, por razones obvias (por reducción al absurdo).

[PS 12 Mar 2019] Por cierto, se ha publicado una respuesta de Carlos Madrid Casado al vídeo que se hizo viral. Me parece que se hace la picha un lío. Pero, bueno, quizás alguien quede contento con su falsa erudición sobre la historia de las matemáticas (que no viene a cuento en este contexto). Podría haber sido mucho más conciso y claro. [/PS]

La «demostración» es muy conocida (pero quizás haya algún lector que aún la ignore). La integración por partes con esta definición reza

\displaystyle\int{u}\,dv=u\,v-\int{v}\,du,

que aplicada a la siguiente integral

\displaystyle\int\frac{1}{f(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx,

con u = {1}/{f(x)}, y con v=f(x), de tal forma que

\displaystyle{dv}=\frac{df(x)}{dx}\,dx,

\displaystyle{du}=-\frac{1}{f^2(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx,

nos permite obtener

\displaystyle\int\frac{1}{f(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\,dx=\frac{1}{f(x)}\,f(x)-\int{f(x)}\,\left(-\frac{1}{f^2(x)}\,\frac{df(x)}{dx}\right)\,dx,

que simplificando de forma trivial nos ofrece

\displaystyle\int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx}\,dx = 1 + \int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx} dx,

es decir, que 0 = 1, lo que es obviamente falso.

Supongo que ya te habrás dado cuenta que el problema es que la igualdad entre dos funciones de una familia de funciones módulo constantes requiere instanciar dichas constantes. Todo matemático sabe que la expresión correcta es

\displaystyle\int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx}\,dx + c_1 = 1 + \int \frac{1}{f}\,\frac{df}{dx} dx + c_2,

donde debe cumplirse que c_1=1+c_2. Por cierto, normalmente solo se pone una constante de integración c=c_2-c_1, pero he puesto dos para destacar que ambas primitivas pertenecen a la familia de funciones primitiva resultado de la integral indefinida y que, en rigor, cada primitiva tiene su propia constante de integración.

En resumen, he escrito una entrada rápida sobre una anécdota propia de redes sociales que espero que no te haya aburrido. Mi único objetivo es animarte a contribuir al Carnaval de Matemáticas. ¡Te animas!



Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 28 febrero, 2019
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science
Etiqueta(s): ,