El sentido de la vida, el universo y todo lo demás… resuelven x³+y³+z³ = 42

Por Francisco R. Villatoro, el 7 septiembre, 2019. Categoría(s): Ciencia • Historia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 19

Los aficionados a la literatura de ciencia ficción saben que el número 42 está ligado a Douglas Adams, «The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy,» (1979). Para los matemáticos, desde marzo de 2019, este número era el único menor de 100 del que ignorábamos su suma como tres cubos enteros. El 6 de septiembre de 2019 dicha suma ha sido desvelada por Andrew R. Booker (Univ. Bristol, UK) y Andrew Sutherland (MIT, USA). El artículo aún no se ha publicado, pero Booker ha usado un método similar al que usó para desvelar la suma en tres cubos de 33 (LCMF, 15 mar 2019), pero explorando los números |x|, |y|, |z| ≤ 1017, en lugar de |x|, |y|, |z| ≤ 1016. Quizás pienses, ¿por qué dedican los matemáticos muchas horas de computación para resolver este tipo de problemas?

Te cuento la historia de forma breve. En 1825 el matemático S. Ryley demostró que todo número racional se puede representar como la suma de tres cubos de números racionales. En 1955 el matemático Louis Mordell conjeturó que todo número entero n con n (mod 9) ≠ ± 4 se puede escribir como suma de tres cubos de números enteros. En 1993, Heath-Brown, Lioen y Riele encontraron un algoritmo muy eficiente, con coste computacional lineal, para buscar soluciones enteras al problema x³+y³+z³ = n; lo aplicaron a |x|, |y|, |z| ≤ 108, logrando solución para todos los números menores de 100 excepto para 30, 33, 39, 42, 52, 74, 75, y 84. En 2000, Elkies logró optimizarlo aprovechando que basta encontrar un par (z,d) que sea solución de las ecuaciones { x+y=d , x²−xy+y²=(n−z³)/d }; lo aplicó hasta |x|, |y|, |z| ≤ 3 × 109.

Usando el algoritmo de Elkies el gran salto lo dieron Elsenhans y Jahnel en 2009 alcanzando |x|, |y|, |z| ≤ 1014, y n < 1000; obtuvieron solución para todos los números excepto 33, 42 y 74, por debajo de 100, y 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975, por debajo de 1000. En 2016 Huisham alcanzó |x|, |y|, |z| ≤ 1015, y resolvió el caso n = 74; en marzo de 2019 Booker alcanzó |x|, |y|, |z| ≤ 1016, y resolvió el caso n = 33; y, ahora, en septiembre de 2019 Booker y Sutherland tras alcanzar |x|, |y|, |z| ≤ 1017 han resuelto el caso n = 42. Por supuesto, también han obtenido nuevas soluciones a algunos números ya conocidos, pero tienen menor interés. Siguen quedando sin resolver los once números 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975, por debajo de 1000.

Los artículos citados son D. R. Heath-Brown, W. M. Lioen, H. J. J. te Riele, «On solving the Diophantine equation  x³+y³+z³=z on a vector computer,» Math. Comp. 61:235-244 (1993), doi: 10.1090/S0025-5718-1993-1202610-5; Noam D. Elkies, «Rational Points Near Curves and Small Nonzero |x³ − y²| via Lattice Reduction,»International Algorithmic Number Theory Symposium, ANTS 2000: Algorithmic Number Theory, pp. 33-63 in Lecture Notes in Computer Science (LNCS, vol. 1838), doi: 10.1007/10722028_2; Andreas-Stephan Elsenhans, Jörg Jahnel, «New sums of three cubes,» Math. Comp. 78: 1227-1230 (2009), doi: 10.1090/S0025-5718-08-02168-6; Andrew R. Booker, «Cracking the problem with 33,» arXiv:1903.04284 [math.NT]; el nuevo artículo de Booker y Sutherland aún no ha sido publicado, pero se nota que Sutherland está contento pues su página web ahora mismo es la siguiente:

Recomiendo los siguientes vídeos del canal Numberphile en youtube.



19 Comentarios

  1. Bueno, lo del sentido de la vida y todo lo demás parece un poco exagerado. Quizá la sociedad (y puede que no le falte razón) considere que vendría bien ocupar mentes tan brillantes en resolver problemas muchos mas acuciantes y graves. Corremos el riesgo de que nos pille el colapso con nuestros científicos y matemáticos dedicados al onanismo mental.

    1. O a lo mejor somos el resto de la sociedad los que deberíamos dejar de desperdiciar nuestro tiempo y fondos a cosas inútiles y dedicarlo a producir más recursos para investigación y ciencia.

    2. No se si lo has pillado o no puesto que el artículo lo comenta pero igual es una cita algo friki así que por si no te comento que lo de que el 42 es el sentido de la vida el universo y todo lo demás es del libro «guía del autoestopista galáctico», por eso la mención del artículo

      1. ¿42?…¡42!…¡#hay qu construir otro supermegacomplex-computador!

        Gracias Douglas Adams, que te vengan a decirte a ti, a estas alturas, «don’t panic!».

        Francis, era «ineludible ;-)» la referencia…Gracias.

    3. Si por ejemplo, los músicos: ¿que hacen haciendo ese montón de cosas tan inútiles? Dedicados al onanismo mental… Beethoven por ejemplo con un cerebro que es capaz de dedicarse a escribir música sordo(yo ni siquiera alcanzo a concebir la dificultad de eso) tendría que haberse dedicado a cosas más útiles…. ¿porque no escribes eso en las páginas de youtube(por ejemplo) de pintores, poetas, y demás artes y siempre es con los matemáticos, físicos y científicos?.
      Los criterios o técnicas para resolver esta ecuación pueden tener aplicación práctica para resolver otros problemas(a lo mejor más acuciantes y más graves)……¿ Pero una sinfonía? Madre de Dios: eso si que no sirve para nada….

      1. Bien dicho.
        Harto estoy de que los haters de la ciencia se pasen el día diciendo que no debería invertirse en ciencia ni tecnología y tonterías así.
        Pero luego bien que van al médico, usan el ordenador y el GPS o quieren que su edificio no se caiga.
        Y bien que se gastan ellos un dineral en irse de vacaciones o en lujos.

  2. Viendo el video de numberphile he visto que en la lista de numeros < 100 algunos estan encontrados pero otros aparecen como “impossible”.

    Que resultado matematico es que demuestra cuales no pueden tener solucion x3 + y3 + z3?

    Gracias

    1. Javier:

      » Que resultado matematico es que demuestra cuales no pueden tener solucion x3 + y3 + z3?»

      Como creo que no es algo demasiado difícil, lo explicaré.
      Se trata de aritmética modular, también llamado congruencias o residuos.

      Los números «n» que no pueden ser (seguro) sumas de 3 cubos son aquellos cuyo residuo mod 9 sea o bien 4 o bien 5.
      Es decir, aquellos cuyo resto al dividir por 9 sea 4 o 5.
      Hay una propiedad conocida, aunque no la demostraré aquí, que dice que el resto de dividir por 9 un número es el mismo que el de dividir por 9 la suma de las cifras… y si la suma es mayor que 9 serán más de una cifra y se vuelven a sumar hasta que la suma sea una cifra.

      Por ejemplo, el 42: la suma de cifras es 4+2 = 6… pues si divides 42 entre 9 te dará resto igual a 6. Impresionante ¿verdad?

      Entonces, si te dicen un número más largo, como el 11111 puedes estar completamente seguro de que es imposible que sea una suma de 3 cubos de enteros, porque la suma de cifras es 5. Del mismo modo, si nos vamos a números menores que 100, los que son imposibles seguro son el 4, el 5, el 13 (1+3=4), el 14, el 22, el 23, el 31, el 32, el 40, el 41, el 49, el 50…

      ¿Por qué?
      Observemos lo que pasa al elevar al cubo un entero, pero pensemos en módulo 9.

      0*0*0 = 0
      1*1*1 = 1
      2*2*2 = 8 –> -1 mod 9
      3*3*3 = 27 –> 27 mod 9 = 0 mod 9
      4*4*4 = 64 –> 64 mod 9 = (6+4) mod 9 = 1 mod 9
      5*5*5 = 125 –> 125 mod 9 = (1+2+5) mod 9 = 8 mod 9 = -1 mod 9
      6*6*6 = 216 –> 216 mod 9 = (2+1+6) mod 9 = 0 mod 9
      7*7*7 = –> (-2 mod 9) * (-2 mod 9) * (-2 mod 9) = -8 mod 9 = 1 mod 9
      8*8*8 = 512 –> 8 mod 9 = -1 mod 9

      Como puedes observar, los 9 posibles restos al dividir por 9, los 9 valores de residuos módulo 9 al elevarlos al cubo dan residuos que son o bien 0, o bien 1, o bien -1.

      ¿Puedes llegar al 4 sumando 3 números que sean uno de esos tres?
      No, como mucho puedes llegar al 3 = 1+1+1 pero nunca al 4.

      ¿Puedes llegar al 5?
      Tampoco. El 5 mod 9 es igual que el -4 mod 9. Y ni sumando 1+1+1 llegas a 5 ni con negativos (-1) + (-1) + (-1) = -3 pero nunca llegas a -4.

      Sin embargo, todos los demás residuos no puedes asegurar que sean imposibles.
      Por ejemplo, el 6. Puedes llegar al 6 sumando 8 + 8 + 8
      ¿Cómo dices????
      Sí, hombre, el 8 mod 9 es el -1 mod.
      -1 -1 -1 = -3 mod …
      Y el -3 mod 9 es lo mismo 6 mod 9.
      Por eso el 42 –> 6 mod 9 no se puede descartar.
      De hecho, sin haberlo comprobado puedo asegurar que los 3 números de 17 cifras que han encontrado son de tipo «-1 mod 9», es decir, si son positivos darán resto 8 al dividirlos por 9 y si es negativo dará resto 1 después del quitarle el signo y dividirlo por 9 … porque no hay otra forma de llegar a un número 6 mod 9 como el 42.

    2. Javier:

      Buena pregunta de difícil respuesta. Lo mejor que se puede decir es que hay que atacar caso a caso.

      Por ejemplo X^3 + Y^3 + Z^3 = 0 es un caso particular del último teorema de Fermat y se puede demostrar por «métodos elementales» https://math.stackexchange.com/questions/662313/the-equation-x3-y3-z3-has-no-integer-solutions-a-short-proof

      Aquí podréis leer porque escribir números de la forma 9k + 4 y 9k – 1 como suma de tres cubos es imposible (y una intuición geométrica de que significa hallar soluciones en otros casos) https://ckrao.wordpress.com/2012/04/10/integers-equal-to-the-sum-of-three-cubes/

      Saludos

      1. No entiendo. (1) La web de Naukas tiene copyright, luego este blog también. ¿Qué problema hay? (2) Hay profesionales de divulgación (yo no lo soy) que ganan para su pan todos los días divulgando, escribiendo libros, dando conferencias, etc. (no es mi caso). ¿Qué problema hay? (3) Un trabajo ¿debe ser remunerado? ¿Qué problema hay? No entiendo a quien se escandaliza porque un buen trabajo sea remunerado.

  3. «Quizás pienses, ¿por qué dedican los matemáticos muchas horas de computación para resolver este tipo de problemas?»

    ahora me diste una pregunta que nunca tuve y ninguna respuesta

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