Mi charla Naukas Bilbao 2019 ya está disponible en vídeo (EITB). Titulada “El abrazo dé la plata…», con 09:45 minutos de duración, presenta el problema del año: la discrepancia a más de cinco sigmas entre la constante de Hubble calculada integrando el modelo cosmológico y extrapolando la pendiente de la escalera de distancias usando supernovas Ia y cefeidas. En la charla explico las razones que me llevan a desconfiar de la estimación astrofísica, que creo está dominada por errores sistemáticos no considerados, y preferir la estimación cosmológica, aunque esté basada en un modelo teórico.

En este blog también puedes leer «El problema de la constante de Hubble», LCMF, 12 jun 2017; «El problema de la constante de Hubble crece hasta las 4.4 sigmas», LCMF, 27 abr 2019; «H0LiCOW y SH0ES elevan la tensión de la constante de Hubble a 5.3 sigmas», LCMF, 20 jul 2019; «Errores sistemáticos podrían ser la causa del problema de la constante de Hubble», LCMF,  28 may 2018; «Nueva estimación local de la constante de Hubble que apoya el valor cosmológico», LCMF, 18 jul 2019; «Nueva estimación de la constante de Hubble usando ondas gravitacionales», LCMF, 26 ago 2019; entre otras.

Yo soy doctor en matemáticas, en concreto, en análisis matemático aplicado. Y os puedo asegurar y aseguro que… los doctores en matemáticas recomiendan … no derives, integra … si tus datos tienen error. Calcular la derivada de una función parece mucho más fácil que calcular la primitiva de su integral, pero en el análisis de datos científicos con ruido ocurre todo lo contrario.

Porque calcular la derivada de una función con ruido amplifica el ruido. Fijaos en la figura que aparece arriba a la izquierda, la función seno con un 1% de ruido; casi no se ve el ruido. Su derivada es la función coseno, sin embargo, si calculamos la derivada por el método numérico más sencillo, el ruido se amplifica hasta el 200%, como se observa en la figura de arriba a la derecha. Cuando calculo la integral de la misma función seno con ruido, como se muestra en la figura que aparece arriba a la derecha, también usando el método numérico más sencillo, el error casi se mantiene constante; de hecho, solo disminuye hasta el 0.6%.

La razón es que la derivada es una operación numéricamente inestable, porque requiere restar números cercanos lo que produce diferencias cancelativas (a veces llamadas cancelaciones catastróficas). Aquí tenéis dos números de 16 dígitos decimales muy próximos. Cuando los restáis obtenéis un resultado con solo seis dígitos significativos. Pero un ordenador os devolverá un número con 16 dígitos, rellenando con ruido los 10 dígitos que faltan. Por fortuna, la integración es una operación numérica estable, que solo requiere realizar sumas. Por ello, los doctores en matemáticas recomiendan… no derives, integra… si tienes que extrapolar.

Por ejemplo, si queréis calcular la velocidad instantánea de un coche ahora mismo, podéis determinar la posición del coche en el pasado, sea hace un segundo y hace dos segundos, y restar ambas posiciones para estimar la velocidad y extrapolar dicho valor al actual. Para calcular una velocidad, en lugar de derivar la posición, es mucho mejor integrar la aceleración. De hecho, los teléfonos móviles tienen un acelerómetro para estimar su posición y orientación integrando. Por cierto, todos tenéis un maravilloso laboratorio de física en vuestro bolsillo. Vuestro teléfono tiene muchísimos sensores: acelerómetros, magnetómetros, fotómetros, sonómetros, barómetros, …

Yo recomiendo, sobre todo a los profesores de física, que aprovechéis que todos vuestros alumnos tienen teléfono móvil en vuestras clases de laboratorio. Podéis acceder a los datos de todos los sensores usando aplicaciones gratuitas como Science Journal de Google, Physics Toolbox, o muchas otras. Para realizar experimentos os recomiendo sujetar el teléfono con un soporte para las rejillas del aire acondicionado del coche. Hay muchas páginas web con ejemplos prácticos. Os recomiendo Smart Physics de mis colegas de la Universidad Politécnica de Valencia. No os arrepentiréis, vuestros alumnos disfrutarán y os lo agradecerán.

Y por favor recordadles que… los doctores en matemáticas recomiendan … no derives, integra … porque siempre se puede. Igual que la resta es la operación inversa de la suma, el teorema fundamental del cálculo afirma que la derivación es la operación inversa de la integración. Así, toda magnitud física que sea una derivada  se puede calcular como una integral adecuada.

Pongamos un ejemplo. Todos sabéis que el universo se expande siguiendo la ley de Hubble–Lemaître. Vuestro cuerpo no se expande, ni el sistema solar, ni siquiera la distancia entre la Vía Láctea y Andrómeda, pues solo son 0.8 megapársecs, unos dos millones y medio de años luz. Para observar la expansión cósmica hay que recurrir a galaxias mucho más lejanas, al menos 200 megapársecs, la escala de los supercúmulos.

El parámetro de Hubble no es la velocidad de la expansión, sino dicha velocidad normalizada con el tamaño del universo observable. Podéis medirlo usando su radio (R) o el desplazamiento al rojo (z). Recordad que si vemos una galaxia en el cielo con cierto desplazamiento al rojo z, la vemos cuando el universo observable era zeta más una (z+1) veces más pequeño. Es decir, una galaxia con z=2 la vemos cuando el tamaño del universo observable era tres veces más pequeño que hoy.

El parámetro de Hubble es una función del tiempo, del radio del universo, o del desplazamiento al rojo. Se llama constante de Hubble al valor actual del parámetro de Hubble (z=0). Podemos calcularla integrando el modelo cosmológico [de consenso] a partir de los datos del fondo cósmico de microondas hace 13 800 millones de años. Así se obtiene una curva que indica que la expansión cósmica se está acelerando debido a la energía oscura para z < 0.5 (desde hace unos 5 mil millones de años). La curva es casi recta para z pequeño, pongamos z < 0.15.

Adam G. Riess, premio Nobel de Física en 2011 por el descubrimiento de la expansión acelerada con origen en la energía oscura, y sus colegas han estimado la constante de Hubble sin integrar el modelo cosmológica, derivando medidas astrofísicas de supernovas Ia, apoyadas en la llamada escalera de distancias. En concreto, unas 300 supernovas con desplazamiento al rojo entre 0.023 y 0.15, es decir, extrapolando las supernovas Ia desde entre hace unos 300 millones de años y hace unos 2 mil millones de años.

La escalera de distancia es necesaria para calibrar la distancia a estas supernovas Ia. Para ello se usan galaxias donde se han observado supernovas Ia y cefeidas. El grupo de Riess usa 19 de estas galaxias con z < 0.023. Pero para calibrar la distancia a las cefeidas hay que usar la técnica de la paralaje para cefeidas en galaxias cercanas. Riess usa cinco de estas galaxias, entre ellas la Vía Láctea, la Gran Nube de Magallanes y Andrómeda.

El problema de la constante de Hubble es que las medidas basadas en integrar el modelo cosmológico con datos del universo temprano y las medidas astrofísicas basadas en derivar y extrapolar los datos del universo reciente difieren a unas cinco sigmas de significación estadística. Si leéis mi blog sabréis que en mi opinión, las medidas astrofísicas podrían contener errores sistemáticos aún no desvelados. De hecho, si usamos las mismas supernovas 1a, pero calibramos la escalera de distancias usando, en lugar de las cefeidas, el pico de la rama de las estrellas gigantes rojas (TRGB) se obtiene un valor intermedio para la constante de Hubble.

Recordad… los doctores en matemáticas recomiendan… no derives, integra… aunque debas usar un modelo. Como doctor en matemáticas yo confío más en la medida cosmológica, obtenida integrando el modelo cosmológico, que en la medida astrofísica, obtenida extrapolando una derivada sin usar ningún modelo. ¿Cuándo se resolverá el problema de la constante de Hubble? En mi opinión se resolverá cuando se hayan observado con astronomía multimensajero entre 10 y 15 fusiones de estrellas de neutrones (o kilonovas). Las supernovas Ia son candelas estándar y las kilonovas o fusiones de estrellas de neutrones son sirenas estándar. Gracias a una sola sirena estándar, la primera observada con astronomía multimensajero, ya se ha logrado obtener una estimación de la constante de Hubble.

Sin lugar a dudas, el problema de la constante de Hubble será resuelto gracias al abrazo entre estrellas de neutrones que da lugar a la mayoría de la plata, el oro y otros metales preciosas en el universo. El abrazo de dos estrellas de neutrones ofreció la respuesta al origen de la plata… y también nos dará la solución al problema de la constante de Hubble. ¡Gracias!