Soy un gran admirador de Stephen Wolfram y su obra cumbre, Mathematica, un lenguaje matemático que ha revolucionado la manera de hacer Física y Matemáticas en el siglo XXI. Por ello me apena mucho que el estado del Modelo de Wolfram para la Física Fundamental sea en 2020 muy similar al que tenía en 2002 cuando se publicó en el libro A New Kind of Science (2002), basado en su Cellular Automata and Complexity (1994) y en su Regla 110 de (1983). En esencia, el trabajo reciente de Wolfram, ayudado por los jóvenes físicos Jonathan Gorard y Max Piskunov entre 2017 y 2020, no ha avanzado nada en estas ideas. Siguen siendo intuiciones y conjeturas apoyadas por muchos gráficos preciosos. Wolfram no ha demostrado nada de lo que intuyó en 2002; solo ha inflado un capítulo de 163 páginas con muchas figuras en blanco y negro, sin fórmulas matemáticas, a tres documentos de 573 páginas con muchas figuras en color y algunas fórmulas dispersas. Pero las afirmaciones siguen siendo las mismas y el apoyo riguroso a ellas sigue siendo el mismo, ninguno. Una pena.

El pasado 14 de abril asistí con mucha ilusión al directo en YouTube [03:50:19] donde Wolfram prometía exponer sus supuestas nuevas ideas. Aguanté un par de horas pues no había nada nuevo, salvo quizás para quien nunca hubiera leído A New Kind of Science. Esa misma noche (en paralelo) empecé a leer la pieza de su blog (unas 90 páginas en mi tablet), en la que está basada el directo, y al día siguiente el borrador de su nuevo libro (448 páginas); por cierto, ya puedes comprarlo en Wolfram Media, A Project to Find the Fundamental Theory of Physics (2020) [800 páginas]; yo no lo he hecho, y quizás nunca lo haga.

A pesar de mi bochorno por estas nuevas ideas, decidí escuchar el pasado sábado los vídeos «Math & Physics Technical Q&A,» 15 de abril [02:04:17], e «Implications for Computer Science Technical Q&A,» 17 de abril [02:00:37]. Durante dicho fin de semana me leí los dos documentos técnicos (125 páginas) de su colaborador, el joven físico Jonathan Gorard de la Universidad de Cambridge. Me ha gustado que contengan pocas figuras y muchas fórmulas matemáticas, pero me han resultado decepcionantes; me han recordado mucho al estilo de Erik Verlinde, muchas fórmulas conocidas, que son correctas, conectadas por un discurso inconexo y muchas afirmaciones débiles apoyadas por conjeturas. Me confirman que no hay nada nuevo. Debo confesar que no he sido capaz de aguantar más de una hora del vídeo «Why we Chose to do Science in the Open with Q&A on the Backstory,» 21 Apr 2020 [03:12:36]. Y que hay más vídeos, pero he preferido dedicar mi tiempo a cuestiones más valiosas.

Wolfram quiere que todos los físicos trabajen en sus ideas, que en su estado actual están vacías de contenido. El genio británico sueña con una comunidad de miles de físicos (la mayoría serán aficionados) que trabaje en estas ideas para lograr una nueva teoría de la física fundamental que revolucione nuestro conocimiento. Por desgracia, ningún físico teórico en activo perderá su tiempo en estas intuiciones dispersas repletas de bellos gráficos que no aportan nada. Si leyó A New Kind of Science observará que no hay nada nuevo y punto. Si no lo leyó quizás se atreva con alguno de los nuevos documentos, pero tras encontrar intuiciones, conjeturas y afirmaciones no fundamentadas (junto a algunas afirmaciones incorrectas) cejará en su labor y se dedicará a cuestiones más productivas para su investigación. Muchos apasionados de la obra de Wolfram caerán en su trampa, pues idolatran al genio, pero dudo mucho que puedan avanzar en una obra repleta de deseos y vacía de sustancia. Una pena.

Mi amigo el físico Alberto Aparici lo ha resumido muy bien en el podcast Coffee Break [LCMF, 24 abr 2020]: definiciones y conjeturas, sin lemas ni teoremas. A pesar de ello, si aún estás interesado en el Modelo de Wolfram, te recomiendo leer el resumen de unas 90 páginas en el blog de Stephen Wolfram, «Finally We May Have a Path to the Fundamental Theory of Physics… and It’s Beautiful,» Writings, 14 Apr 2020; se trata de un buen resumen de las 448 páginas de Stephen Wolfram, «A Class of Models with the Potential to Represent Fundamental Physics,» Wolfram Physics Project, 14 Apr 2020 [PDF], arXiv:2004.08210 [cs.DM] (15 Apr 2020). Me han gustado mucho más los documentos técnicos (mucho menos floreados con figuras) de Jonathan Gorard, «Some Relativistic and Gravitational Properties of the Wolfram,» Wolfram Physics Project, 14 Apr 2020 (59 páginas) [PDF], y Jonathan Gorard, «Some Quantum Mechanical Properties of the Wolfram Model,» Wolfram Physics Project, 14 Apr 2020 (66 páginas) [PDF]. Por cierto, también puedes leer el capítulo de Física Fundamental del libro de Stephen Wolfram, «Chapter 9: Fundamental Physics», A New Kind of Science (2009) [web, PDF].

[PS 28 abr 2020] El final de esta pieza tenía un tono sarcástico que ha molestado a algunos lectores. He preferido cambiar dicho texto y de paso incluir referencias a los documentos  de Gorard; no aportan nada, más allá de ristras de fórmulas bien conocidas, pero presentarlos aquí me ahorra escribir piezas separadas. [/PS]

[PS 14 may 2020] Recomiendo leer a Ethan Siegel, «3 Simple Reasons Why Wolfram’s New ‘Fundamental Theory’ Is Not Yet Science,» Starts With A Bang, 13 May 2020. «Mathematica is great. Stephen Wolfram is smart. And his viral “path to a fundamental theory” paper and summary is full of interesting mathematical phenomena. But that’s not enough.» [/PS]

En el año 1992 realicé mi proyecto fin de carrera de la licenciatura de Informática en el lenguaje Mathematica 1.0 en un ordenador Macintosh Classic. Mi objetivo era desarrollar una versión mejorada de la función DSolve para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, que llamé DESolve; por cierto, la publiqué años más tarde en el I Congreso de Mathematica en España (1996) [PDF]. Poco antes de finalizar conseguí una versión de Mathematica 2.0 para un Macintosh Quadra 950, que tenía una función DSolve más poderosa que la original, y más poderosa que mi DESolve, pero tras casi un año de trabajo no podía echar marcha atrás. Aún así, mi DESolve resolvía el 86.4% de los Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Mir, 1984) de Kiseliov, Krasnov y Makarenko, que no está nada mal. Desde entonces he usado con asiduidad Mathematica en sus sucesivas versiones. No me gusta cambiar de versión y durante muchos años atesoraba las versiones más antiguas para poder ejecutar mis programas, pues muchos dejaban de funcionar bien con las nuevas versiones. Ahora uso Mathematica 12 y ya no me preocupa que mis programas antiguos dejasen de funcionar hace años. Para la experimentación en Matemáticas, el lenguaje Mathematica me resulta imprescindible, como a muchos otros investigadores. Sin esta magna obra de Stephen Wolfram mi vida científica hubiera sido muy diferente en estos últimos 30 años.

Vayamos al grano. No sé si ya lo sabes, pero toda fórmula matemática es equivalente a un algoritmo que la calcula (al menos en principio, pues hay fórmulas no calculables en el mismo sentido que hay algoritmos no computables, como consecuencia del teorema de la parada de Turing). Ya que todas las leyes de la Física Fundamental se describen usando fórmulas matemáticas, todas ellas se pueden describir usando algoritmos; más aún, se pueden describir usando autómatas celulares (basta la Regla 110, que es universal, como demostró Cook (2004) trabajando para Wolfram [PDF]). Y también con sistemas de reglas de reescritura en hipergrafos, como propone el Modelo de Wolfram. Por tanto, como ya sabía John von Neumann cuando introdujo los autómatas celulares, que popularizó John Conway, toda la Física Fundamental, tanto la Mecánica Clásica, como la Mecánica Cuántica No Relativista, la Gravitación Relativista y la Teoría Cuántica de Campos se puede describir usando sistemas de reglas de reescritura en grafos (e hipergrafos). Por supuesto, que se pueda hacer en principio, no significa que alguien lo haya hecho o que sea factible hacerlo. Entre otras razones porque sería una descripción que no aportaría nada nuevo y que ofrecería las mismas predicciones que el formalismo matemático convencional que los físicos ya estudiamos.

La idea de Wolfram en A New Kind of Science  es que existe un sistema sencillo de reglas de reescritura sobre hipergrafos (que en dicho libro se llamaban hiperredes, o hypernetworks) que describe toda la Física Fundamental. Sencillo  significa que contiene muy pocas reglas (quizás solo unas decenas) que describen exactamente lo mismo que el vasto número de reglas que sugiere la aplicación de forma naïve (en español, ingenua) del teorema de equivalencia computacional que apoya la tesis de Church–Turing para estos sistemas de computación. La intuición de Wolfram no es garantía de que exista dicho sistema sencillo; aunque es cierto que muchos sistemas de reglas de reescritura se pueden simplificar en muchos casos; pero quizás el mínimo número de reglas necesario para ello sean miles o millones. Wolfram desea que sean tan pocas reglas que quepan en una serigrafía para una camiseta. Recuerda que el lagrangiano completo del Modelo Estándar cabe en unos pocas páginas de fórmulas matemáticas, pero que resumido al extremo decora tazas y camisetas. Al genio londinense le gustaría que el Modelo de Wolfram de la Física Fundamental también cupiera en unas pocas páginas, y que decorara tazas y camisetas. Aún así, los deseos no siempre se cumplen.

A Class of Models with the Potential to Represent Fundamental Physics se inicia con tres capítulos que repasan en 74 páginas los modelos computacionales basados en reglas de reescritura sobre hipergrafos. Te recuerdo que un grafo es un conjunto de nodos conectados a pares por arcos; un hipergrafo es un conjunto de nodos conectados por hiperarcos, donde un hiperarco conecta varios nodos en lugar de solo dos. Wolfram usa hipergrafos dirigidos, donde los hiperarcos tienen dirección (como las flechas). Las reglas de reescritura son la herramienta básica de programación en el lenguaje Mathematica y aplicadas a hipergrafos describen la transformación de un hiperarco sobre ciertos nodos en otro hiperarco sobre otros nodos (algunos de los originales y otros nuevos). Dado un hipergrafo inicial se pueden aplicar de forma iterativa una o varias reglas de reescritura para ir obteniendo sucesivos hipergrafos. Como ya he comentado, se puede demostrar que la programación con reglas de escritura para hiperarcos es algorítmicamente universal, como lo es la programación basada en autómatas celulares; así, gracias a la tesis de Church–Turing, permiten describir todos los algoritmos posibles y todo lo que se pueda describir con un algoritmo, lo que en rigor implica todo lo que se puede describir con fórmulas matemáticas.

Como bien sabes, los experimentos y las observaciones apoyan la idea de que el espacio es continuo; aunque las ideas de gravitación cuántica sugieren que podría emerger de un espaciotiempo discreto subyacente de naturaleza cuántica (así lo apoyan la teoría de cuerdas, la gravitación cuántica de lazos, la teoría de triangulaciones causales y otras especulaciones similares). El posible límite continuo de los sistemas de reescritura sobre hipergrafos se discute en el capítulo 4 (pp. 75-131). No se demuestra que exista, pero se sugiere que un subconjunto de estos sistemas podrían tener un límite continuo. Se puede definir una dimensión fractal para hipergrafos y estudiar su límite cuando se aplica un número muy grande reglas de reescritura. Wolfram sugiere que en algunos casos la dimensión límite es entera y pone ejemplos triviales que apuntan a una dimensión del orden de 2. Si la geometría límite de estos hipergrafos es continua, se pueden introducir en dicho límite los conceptos de curvatura y de geodésica, lo que lleva a intuir la existencia de una métrica. La definición de estos conceptos es intuitiva, sin fórmulas matemáticas rigurosas (las fórmulas que aparecen en el texto están copiadas de cualquier libro de geometría diferencial). Wolfram sugiere que quizás, usando herramientas de mecánica estadística, se podría lograr una formulación rigurosa de la existencia de la geometría emergente; pero su deseo es solo eso, un deseo. Y, además, que quizás se puedan extender estos conceptos a análogos discretos en el propio hipergrafo (como una curvatura discreta), pero le resulta imposible lograrlo. Así que se limita a conjeturar su existencia.

La Física describe los cambios en un sistema, su dinámica, conforme avanza el tiempo hacia adelante, es decir, de forma causal. Los sistemas de reescritura de hipergrafos tienen asociado una noción natural de tiempo discreto, el número de veces que han sido aplicados. El problema es que su aplicación no conduce a un resultado único, pues cada regla se puede aplicar en varios lugares de un hipergrafo, conduciendo a resultados diferentes. Wolfram propone usar un hipergrafo multicamino (multiway hypergraph) que representa todos los posibles resultados de la aplicación de las reglas; pero esta propuesta tiene dos problemas graves. Por un lado, la causalidad, pues un hipergrafo causal, en el que sus hiperarcos tienen un sentido bien definido, una buena flecha de tiempo, podría transformarse en uno hipergrafo acausal, con curvas cerradas de tipo tiempo, lo que destruye la causalidad y produce paradojas temporales. Wolfram propone restringir los sistemas de reglas de reescritura a los que sean invariantes causales (es decir, los que aplicados a un hipergrafo causal siempre conducen a otro hipergrafo causal).

Y, por otro lado, el no determinismo computacional, o paralelismo en el flujo, debido a que las reglas de reescritura se pueden aplicar en muchos lugares diferentes de un hipergrafo. Wolfram los denomina hipergrafos ramificables (branchial hypergraphs) y sugiere que en algunos de ellos existe una foliación causal (causal foliation), una selección causal de los nodos a modo de frente de onda que se propaga por ellos, que introduce una flecha de tiempo bien definida. Solo es capaz de ilustrarlo con hipergrafos ramificables triviales, como si los hipergrafos multicamino ramificables causales fueran muy excepcionales. Así llegamos al capítulo 6 (página 245) con una sensación de que se nos muestra un castillo de naipes ante el que tememos respirar, para evitar que se derrumbe por esa pequeña perturbación en el aire circundante. El capítulo 6 intenta ilustrar que algunos de estos hipergrafos tan excepcionales tienen un límite continuo con una dimensión fractal similar a dos; pero más allá de bellas imágenes, nos encontramos con una enorme decepción, la dimensión fractal decae hacia cero conforme el hipergrafo crece. Como si hubiera una obstrucción matemática profunda que impidiera que las ideas de Wolfram volaran libres en el mundo platónico de las matemáticas.

En el capítulo 7 se intenta que el lector vuelva a poner los pies en el suelo; se discute la posibilidad que los sistemas de reescritura en hipergrafos sean un sistema de cómputo universal. Demostrarlo parece trivial, pero Wolfram parece odiar las demostraciones y en lugar de parafrasear la de Cook para su Regla 110, acaba recurriendo a su Principio de la Equivalencia Computacional, que ya introdujo en A New Kind of Science. Como allí, recurre a él para afirmar que lo que parece obvio debe ser obvio, y punto. A pesar de ello, no tengo ninguna duda de que aparecerá un nuevo Cook que demuestre lo que a mí también me parece obvio.

Todo lo anterior, incluso si fuera correcto, no aporta nada a la Física Fundamental, campo en el que nos adentramos en el capítulo 8 (página 353). Se inicia a lo soberbio, con un glosario de conceptos básicos de física; definiciones como que el espacio es la estructura límite de los hipergrafos, el tiempo es el índice de las foliaciones casuales de sistemas de reescritura de hipergrafos, la materia son fluctuaciones locales (a modo de defectos) en el hipergrafo, la energía es el flujo de hiperarcos en los sistemas de reescritura aplicados a hipergrafos multicamino ramificables, etc. No traduciré aquí todo el glosario (páginas 355-358) que acaba con la definición de teoría de campos cuerdísticos (string field theory), como (potencial) teoría continua derivada de los sistemas de reescritura aplicados a hipergrafos. Solo me gustaría recordar a quien lea esto que el glosario es solo humo.

El capítulo 8 es difícil de leer para un físico (buen ejemplo es (Will Kinney, @WKCosmo); hay que ser irreductible cual galo de Uderzo para aguantar hasta el final. Esta figura ilustra la «deducción» wolframiana de la teoría de la relavitidad especial; la equivalencia entre estos dos grafos (que ni siquiera son hipergrafos) conduce a la transformación de Lorentz. El resto del capítulo presenta razonamientos similares para explicar cómo la relatividad general, las partículas fundamentales y la mecánica estadística se «deducen» en el Modelo de Wolfram. Y en la sección 8.11 se afirma en un solo párrafo, sin ninguna figura, que la cosmología, la expansión cósmica y la singularidad asociada al big bang también son consecuencia del modelo wolframiano. Solo aparece una figura al final de esta sección para ilustrar que el Modelo de Wolfram podría permitir los viajes en el tiempo, los agujeros de gusano y la comunicación de información a velocidades superlumínicas. Quizás Wolfram estaba pensando en Kip Thorne y en una futura película similar a Interstellar (Nolan, 2014) dedicada a sus ideas.

El documento de Jonathan Gorard «Some Relativistic and Gravitational Properties of the Wolfram» decora con fórmulas matemáticas la presentación de Wolfram, en apariencia dirigida a un público lego. La sección 2.1 define el espacio, el tiempo y la causalidad en hipergrafos; la definición es formal, pero no se usa para nada. Se definen los sistemas de reescritura en hipergrafos en la sección 2.2 y la propiedad de Church–Rosser (o de «confluencia»), que tampoco se usa para nada. La sección 2.3 la invariancia Lorentz discreta en una red de Minkowski (discretización de un espaciotiempo continuo); definiciones basadas en las ideas de Arnowitt–Deser–Misner (1959) y nada más.

Se afirma en la página 20, tras la definición 25, que la velocidad de la luz en el vacío se define de forma axiomática como la longitud de los arcos en los grafos causales. Y se afirma que esta definición es una «demostración» de que las transformaciones de Lorentz se deducen de dicha definición; pero en Matemáticas una definición, o un axioma, y una demostración son cosas muy diferentes. En la sección 2.4 se definen las transformaciones de Lorentz discretas, a partir de una figura que muestra el autómata celular trivial definido por la regla AB→BA. La masa de una partícula se define como un «defecto» (el cruce de arcos en esta figura) de un grafo con estructura causal. Así se concluye que toda la relatividad especial se deduce de la figura presentada por Wolfram.

La sección 3 se dedica a «deducir» la gravitación en relatividad general a partir de una supuesta geometría discreta en los hipergrafos. Los caminos aleatorios en los grafos permiten definir una distancia discreta (tipo Wasserstein). Si existe el límite continuo del grafo y es una variedad diferenciable con una métrica riemanniana, según la sección 3.2, se pueden construir en el grafo análogos discretos a la curvatura heredados de dicha estructura diferenciable; así se definen un tensor de curvatura discreto, un tensor de Ricci discreto, un escalar de curvatura discreto y un transporte paralelo discreto (conexiones afines discretas). Solo se presentan fórmulas matemáticas de geometría diferencial para variedades diferenciales; el texto sugiere que existen los análogos discretos en el hipergrafo y se habla de ellos como si existieran, pero en ningún momento se describen mediante fórmulas matemáticas.

La sección 3 se supone que introduce las ecuaciones discretas del campo de Einstein; para ello copia figuras del libro A New Kind of Science y afirma que si dichas ecuaciones se pueden aplicar en el límite continuo entonces también se pueden aplicar en el hipergrafo discreto. El autor ni siquiera se atreve a dar una definición (la última definición de todo el documento es la 34 de la página 29 de la sección 3.1); en las 25 páginas restantes no hay ninguna nueva definición. Más aún, todas las fórmulas que aparecen en el texto están copiadas de libros de geometría diferencial. Se incluyen algunas afirmaciones incorrectas como que las ecuaciones de Einstein contienen como caso particular las ecuaciones de Navier–Stokes y que de ellas se podría deducir la teoría MOND de Milgrom. Además, se sugiere que el tensor de curvatura de Weyl se puede interpretar como un tensor de esfuerzos viscosos en un fluido, lo que recuerda a ideas de Erik Verlinde sobre gravedad entrópica.

La sección 3.4 retoma el problema de la dimensión espacial del límite continuo de los hipergrafos espaciales y de los grafos causales. Se menciona que el Modelo de Wolfram podrían explicar el espaciotiempo fractal de las ideas de Laurent Nottale que se suelen llamar Relatividad de Escala (Scale Relativity). Obviamente, Gorard está sugiriendo que todas las ideas propuestas en el último siglo tienen cabida dentro del Modelo de Wolfram; solo se trata de deseos, no hay ninguna fórmula matemática, ni ningún razonamiento físico que justifique estos comentarios en el texto. Así se discute la posibilidad de que el Universo pueda tener una topología no trivial. Se menciona que el Modelo de Wolfram además de explicar el Modelo ΛCDM, también podría dar cuenta de posibles variaciones de la velocidad de la luz a escala cosmológica; así se introduce una velocidad de la luz efectiva y se presentan varias fórmulas conocidas en el marco de esta última idea.

Finaliza el documento en la sección 4 (página 51) afirmando que se ha «demostrado» que el Modelo de Wolfram describe la geometría discreta del espaciotiempo; solo se presentan definiciones e ideas dispersas, nada más. Finaliza el autor con una frase lapidaria: «The present work has at least revealed the Wolfram Model to be a plausible fundamental model for classical relativistic and gravitational physics». Menos mal que dice plausible. Salvo para quien nunca haya estudiado teoría de la relatividad y de la gravitación, que quizás quede cegado por las fórmulas matemáticas que contiene, el documento está vacío de contenido; 59 páginas que no dicen nada a favor del Modelo de Wolfram, y mucho en su contra. Una pena.

Volviendo al documento de Wolfram. La mecánica cuántica también se deriva del Modelo de Wolfram, como nos ilustra esta figura de la sección 8.12. En opinión de Wolfram esta figura «demuestra» que todos los conceptos básicos de la mecánica cuántica, incluido el entrelazamiento cuántico, son consecuencia de la evolución mediante sistemas de reescritura de los hipergrafos multicamino ramificables causales. Dudo que algún físico sea capaz de ver tan lejos en una figura con tan poco contenido. Wolfram dedica el resto del capítulo 8 a tratar de aclarar el porqué en su opinión esta figura contiene toda la física cuántica. Por desgracia, repito, dudo que un físico de formación pueda llegar a ver tan lejos como el genio británico.

El documento de Jonathan Gorard «Some Quantum Mechanical Properties of the Wolfram Model» decora con fórmulas la afirmación de su maestro. La sección 2 repite algunas definiciones del otro documento y menciona el teorema de Knuth–Bendix sobre la «compleción» de algoritmos descritos como sistemas de reglas de reescritura. En la sección 2.2 se sugiere que el límite continuo de los grafos multicamino que no son invariantes causales describe los sistemas cuánticos descritos por integrales de camino de Feynman; solo define así de forma informal, sin ninguna demostración, ni ningún razonamiento que apoye dicha afirmación.

Esta figura se supone que ilustra el teorema de «compleción» de Knuth–Bendix que se usa como base para varias definiciones formales. Así se llega a la sección 2.3 donde se afirma que se demostrará de forma rigurosa que conduce a un espacio de Hilbert de funciones de onda cuánticas, junto al principio de indeterminación y el axioma de la medida por colapso de la función de onda. Por desgracia dicha supuesta demostración rigurosa no aparece en el texto, que se decora con fórmulas extraídas de los libros de texto de mecánica cuántica, y con otras de libros de mecánica estadística (como la fórmula para la entropía de Boltzmann). En todo el texto se menciona de forma reiterada el teorema de Knuth–Bendix como si fuera obvio que está en la base de toda la formulación matemática de la mecánica cuántica. No negaré que las fórmulas que se presentan son correctas, pues están copiadas de libros de texto, pero el razonamiento que conecta dichas fórmulas brilla por su ausencia.

La sección 2.4 menciona el algoritmo de Buchberger, para la transformación de generadores de ideales de polinomios usando bases de Gröbner; este algoritmo es fundamental en el lenguaje Mathematica para resolver problemas tan importantes como el cálculo de primitivas de integrales indefinidas. Un algoritmo que estudié hace muchos años, pero que no entiendo bien por qué se menciona. El razonamiento de Gorard parece ser que el teorema de «compleción» de Knuth–Bendix descrito usando bases de Gröbner permite definir una máquina de Turing cuántica. No negaré, porque no puedo negarlo, que quizás defina una máquina de Turing (clásica). Pero no entiendo por qué se afirma que define una máquina de Turing cuántica.

Llegados a este punto, página 26, Gorard realiza una afirmación incorrecta, que P = BQP. Si fuera verdad esta afirmación, los ordenadores cuánticos no serían más eficientes que los clásicos; todos los algoritmos cuánticos que indican que lo son, como el algoritmo de Shor para la factorización de números primos que parece estar fuera de P, o el algoritmo de simulación de sistemas cuánticos que parece está en PSPACE (fuera de NP), tendrían asociados algoritmos (clásicos) eficientes en P. Ningún experto en complejidad computacional estaría de acuerdo con esta afirmación de Gorard. Ni siquiera sé si el propio Wolfram estará de acuerdo con ella.

La sección 3 introduce la geometría ramificable (branchial geometry) y la relatividad multicamino (multiway relativity). Para ello se introduce una norma pseudoeuclídea inspirada en la relatividad especial; en analogía a los sucesos separados en el espaciotiempo por una distancia temporal (conectados causalmente) y una distancia espacial (no conectados causalmente), se definen los separados por una distancia de entrelazamiento (entanglementlike-separated). Igual que en el cono de luz hay un futuro y un pasado, se define un «entrelazamiento futuro» y un «entrelazamiento pasado».

El lector sin formación matemática o física puede creer que las definiciones en el texto, que se asemejan a las de un texto de relatividad, son correctas, pero en realidad, una revisión atenta indica que están vacías de contenido. No se cumplen las propiedades que debe tener la métrica de los espacios geométricos (los supuestos límites continuos de hipergrafos multicamino ramificables) para que estas definiciones sean coherentes (o consistentes, por el falso amigo consistent en inglés). La definición 39 (ver la figura), la supuesta «norma-multicamino de Minkowski», ni siquiera es una norma (quizás por eso es llamada norma-multicamino), pero se sugiere que podría usarse como si lo fuera.

La sección 3.2 se afirma que en el límite continuo de los sistemas multicamino infinitamente grandes se puede introducir una foliación que corresponde a un espacio de Hilbert proyectivo complejo; se cita un artículo de Ashtekar y Schilling (1999) como si allí estuviera la demostración; por desgracia, no lo está. Y se continúa con nuevas definiciones; en la definición 42 se define la «distancia de información» entre dos estados como el tamaño mínimo de una máquina de Turing universal que usando uno de ellos como entrada ofrece el otro como salida. Así se llega a la medida de la complejidad algorítmica de Kolmogorov que popularizó el genial Chaitin. Como no hay relación entre estos conceptos clásicos y la mecánica cuántica, se menciona la métrica de Fubini–Study (la métrica de Kähler natural en un  espacio de Hilbert proyectivo) y se afirma que es equivalente a una versión cuántica de la métrica de Bures (1969). Así se afirma que los grafos multicamino causales son invariantes ante transformaciones conformes; todo ello sin demostración ni razonamiento que lo justifique.

La argumentación es muy difícil de seguir, pues se toma un concepto, se introduce otro y luego otro, como si se pretendiera que ponerlos uno a continuación de otro en el texto implicara que hay un razonamiento que los une; pero dicho argumento no aparece. Este estilo recuerda mucho al de Erik Verlinde y suele estar repleto de trampas. Un nuevo salto al vacío nos lleva de John von Neumann (1936) hasta los grafos multicamino en relatividad general; sin fórmulas, solo palabras vacías. Se concluye que se ha «deducido» la superrelatividad de Leifer (1997); se copian algunas de sus fórmulas y se concluye que las ideas wolframianas les dan sentido.

La sección 3.3 trata de argumentar que la formulación de integrales de camino de Feynman para la mecánica cuántica está «relacionada de forma trivial» (trivially related to) con el Modelo de Wolfram. Así se interpreta la constante de Planck como la máxima tasa de entrelazamiento entre los estados cuánticos de un sistema; en este sentido es similar a una «velocidad límite cuántica», como la velocidad de la luz en el vacío lo es en la teoría de la relatividad. Ya que las unidades no apoyan esta afirmación, se recurre a un trabajo de Deffner y Campbell (2017) sobre el límite de velocidad implicado por el principio de indeterminación de Heisenberg y al efecto cuántico de Zenón. Como este camino argumental no lleva a ninguna parte, se cambia de tercio y se presenta la métrica de Schwarzchild para un agujero negro; se afirma que hay dos horizontes de sucesos, un horizonte de sucesos «estándar», debido al límite de la velocidad de la luz en el vacío, y un horizonte de sucesos de «entrelazamiento», debido a la constante de Planck como límite a la velocidad de entrelazamiento. Así, el Modelo de Wolfram resolvería la paradoja de la información cuántica en agujeros negros, incorporando el principio holográfico y la dualidad AdS/CFT (esto se afirma en una frase, sin más razonamiento).

Llegados a este punto (página 50) no le queda otro remedio a Gorard que seguir desviando la atención del lector lego; así se menciona la teoría de twistors de Penrose y se afirma que conecta las ideas de Wolfram con los campos de Yang–Mills sin masa. La mención a la cohomología de haces  (sheaf cohomology) en esta figura aparenta un rigor del que carece el texto; con toda seguridad, Gorard no sabe de lo que está hablando, por ello, cambia de tema. La sección 3.4 define las partículas fundamentales como defectos localizados en la estructura de los grafos y presenta nuevas definiciones. Tras hacer una nueva referencia al libro A New Kind of Science, se presenta la desigualdad CHSH (una desigualdad tipo Bell). Sin ningún tipo de discusión se afirma que la nueva interpretación wolframiana de la mecánica cuántica explica esta desigualdad; el autor parece asumir como obvio que hay una realidad clásica subyacente descrita por una teoría de variables ocultas en el formalismo wolframiano, algo que por desgracia es falso según las evidencias observacionales.

Y como si tal cosa vuelve a cambiar de tema, presentando el concepto de laplaciano discreto y una versión discreta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Afirma que gracias a ella se pueden extender las ideas de Wolfram a la teoría cuántica de campos; así de fácil. Y finaliza con las conclusiones en la sección 4 (página 56), dejando claro que queda mucho trabajo por hacer, pero prometiendo futuras publicaciones.

Volvamos al texto de Wolfram, en concreto, a la  sección 8.17 donde se «demuestra» que el Modelo de Wolfram logra unificar la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Se muestra este grafo multicamino causal (página 402) y se discute cómo, en apariencia, contiene dicha unificación. Se considera un ejemplo realista de las primeras etapas de la evolución del grafo correcto («a more realistic example of the very beginning of such a graph«), pero se afirma que aún así este grafo captura las ideas clave de la unificación (this «multiway causal graph in a sense captures in one graph both relativity and quantum mechanics«). Wolfram dedica las tres siguientes páginas a aclarar esta cuestión. Más aún, afirma que este grafo también contiene la naturaleza cuántica de los horizontes de sucesos de los agujeros negros; eso sí, sin mencionar la entropía de Hawking–Bekenstein.

Quizás quien lee estas líneas se pregunta por la teoría cuántica de campos y las teorías gauge  locales del Modelo Estándar de la Física de Partículas. Wolfram las «deduce» de su modelo usando, como no, un grafo. En concreto, este grafo multicamino causal que aparece en la página 411. Los físicos que hayan estudiado algún libro de texto de teoría cuántica de campos estarán sorprendidos por una descripción tan gráfica, tan bella y tan sencilla de este campo de conocimiento tan fructífero como difícil. Para un físico la lectura del capítulo 8 de Wolfram se hace muy difícil. En mi modesta opinión es una gran pérdida de tiempo.

La guinda del pastel es el apartado 8.20 sobre las unidades y la escalas de la física descrita por el Modelo de Wolfram. Sus ideas no describen el universo a la escala de Planck, sino a una escala subplanckiana. Se introduce una escala de energía ℏ / Ξ  supuestamente asociada a los hiperarcos en los hipergrafos y se estima un valor enorme para Ξ (ver esta tabla, arriba a la izquierda); así aparece una escala extremedamente pequeña (ver diferentes magnitudes en esta tabla). Por desgracia, esta escala no se justifica en el texto. El gran problema de una escala tan pequeña es que no parece posible explorarla en los próximos siglos, o incluso milenios; así el Modelo de Wolfram podrá ser criticado como imposible de refutar, o de confirmar, algo que molestará mucho a los seguidores del falsacionismo popperiano.

Finaliza el capítulo 8 y el documento «técnico» de Wolfram recordando que su modelo está en construcción y que quizás los hipergrafos que describen nuestro universo serán un poco más complicados que los mostrados hasta aquí; así nos presenta un par de ejemplos.

En resumen, si eres de los que creen que Wolfram tiene razón, porque lo admiras, adelante, eres libre de seguir sus pasos y disfrutar de sus vídeos donde está desvelando todos los secretos del universo wolframiano. Si como yo admiras a Wolfram por su magna obra, Mathematica, puedes olvidar estos escarceos como crackpot del genio británico de 60 años. A veces es mejor obviar los hechos, que aceptar lo obvio.