Daubechies, Meyer, Tao y Candès logran el Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica 2020

Por Francisco R. Villatoro, el 28 junio, 2020. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Personajes • Science ✎ 4

La teoría de ondículas (wavelets en inglés y ondelettes en francés) ha recibido el Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica 2020. En concreto, los matemáticos Yves Meyer (80 años), Ingrid Daubechies (65 años), Emmanuel Candès (50 años) y Terence Tao (44 años). No podían faltar el gran pope, Meyer, Premio Abel 2017 y Premio Gauss 2010, ni la genial Daubechies (Premio BBVA 2012); de hecho, Daubechies podría haber recibido el Premio Abel junto a Meyer si se hubiera concedido después de 2018 (LCMF, 03 abr 2017). Sin embargo, echo en falta muchos reputados matemáticos en ondículas como Stéphane Mallat o David Donoho (Premio Gauss 2018), pero así son los premios, unos ganan y otros se quedan las ganas.

Te recomiendo leer la pieza de uno de los miembros del jurado, la gran divulgadora Clara Grima (Univ. Sevilla), «Ingrid y los mosqueteros del píxel,» Next, Voz Pópuli, 24 jun 2020. Ella destaca que se usan ondículas (desarrolladas por Meyer y Daubechies, entre otros, en los 1980) en el formato de compresión de imágenes con pérdidas JPEG2000, que se desarrolló en 1992; también destaca que Candès y Tao reciben el galardón por el muestreo comprimido (también llamado detección comprimida del inglés compressed sensing) que se desarrolló en 2004 (y no se usa en JPEG2000).

En este blog te conté lo básico sobre la teoría de ondículas en «Yves Meyer logra el Premio Abel 2017», LCMF, 03 abr 2017, así que hoy me centraré en el muestreo comprimido de Candès, Tao y Donoho. El artículo galardonado más relevante sobre compressed sensing es Emmanuel Candes, Terence Tao, «Near Optimal Signal Recovery From Random Projections: Universal Encoding Strategies?» IEEE Transactions on Information Theory 52: 5406-5425 (2006), doi: https://doi.org/10.1109/TIT.2006.885507, arXiv:math/0410542 [math.CA] (25 Oct 2004).

Esta pieza es mi contribución a la nonagésima edición, Edición 11.4, del Carnaval de Matemáticas, que está organizado por Javier Cayetano Rodríguez, a través de la web Rincón Didáctico de Matemáticas, de la Consejería de Educación y Empleo de la Junta de Extremadura. Hoy es el último día para participar; si te atreves a contribuir, tienes que notificarlo por Twitter con la etiqueta #CarnaMat11_4 y mención a las cuenas de @JavierCayetan19 y @CarnaMat.

[PS 29 jun 2020] Por cierto, hay una aplicación muy curiosa inspirada en el compressed sensing que no me gustaría olvidar: determinar el modelo físico que describe ciertos datos experimentales. Recomiendo leer a los interesados en ella el artículo de Harsha Vaddireddy, Adil Rasheed, …, Omer San, «Feature engineering and symbolic regression methods for detecting hidden physics from sparse sensor observation data,» Physics of Fluids 32: 015113 (16 Jan 2020), doi: https://doi.org/10.1063/1.5136351. [/PS]

La técnica de muestreo con compresión, bautizada como compressed sensing por Candès y Tao, y como compressive sampling por Donoho, permite la reconstrucción eficiente de ciertas señales usando menos muestras que las que exige el teorema del muestreo de Shannon–Nyquist (que estable que la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la frecuencia máxima de la señal). La magia del compressed sensing (casi todo el mundo usa el término en inglés) es posible para señales dispersas (sparse), tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, que además sean incoherentes, lo que garantiza que ciertos coeficientes de la señal son muy pequeños y se pueden despreciar; para saber cuáles son se aplica el algoritmo simplex de Dantzing de optimización lineal. El algoritmo en su versión actual se desarrolló alrededor de 2004 (aunque se publicó en 2005) por Candès, Tao, Donoho y Justin Romberg, entre otros.

La idea nació en los 1970 en el campo de la sismología, pero permaneció soterrada hasta que se redescubrió en la década de los 1990, con diferentes nombres. A principios de los 2000, el uso de esta idea en el tratamiento de imágenes flotaba en el aire, por lo que muchos matemáticos e ingenieros se toparon con ella más o menos de forma simultánea. Por supuesto, ninguno tenía la habilidad matemática del genial Tao para expresarla en un lenguaje que ahora nos parece el único posible.

Se dice que la señal x ∈ RN, es k-dispersa (o k-sparse) en la base Ψ = {Ψi: i=1, …, N}, si a lo sumo k de sus coeficientes en dicha base son no nulos, es decir, si x = ∑ αi Ψi, entonces |{i : αi ≠ 0}| ≤ k. Así, bastan k coeficientes en dicha base para reconstruir de forma completa la señal; para muchas señales en ciertas bases, muchos coeficientes con muy pequeños y se pueden aproximar por cero sin gran pérdida en la calidad del resultado. Estas señales se denominan compresibles en la base Ψ y se caracterizan porque |αk | ≤ C k−1/q, para C y q constantes dadas.

Para la medida (detección) de la señal en compressed sensing se usa un método lineal, descrito por una matriz rectangular A de m × N, con m ⋘ N, de tal forma que se mide y = Ax + d para reconstruir x en cierta base. La clave del algoritmo es usar la norma 1 en lugar de la habitual norma 2 (que se usa en el teorema de Shannon–Nyquist); te recuerdo que ∥x∥1 = ∑ |xi|, cuando ∥x∥2 = ∑ |xi2|1/2. El teorema de Candès y Tao afirma que, siendo x compresible en la base Ψ, las medidas lineales y = A x (donde la matriz de medición A de m × N tiene que cumplir ciertas condiciones técnicas) permiten obtener una buena aproximación s-dispersa de x en dicha base tomando x = Ψ û, donde es la solución del problema de optmización lineal û = argmin ∥u ∥1, sujeto a y = A Ψ u, siempre que m ≥ C s log(N). No entraré en los detalles de la demostración.

Te recomiendo leer a Emmanuel J. Candès, Terence Tao, «Information Theory Society Paper Award: Reflections on Compressed Sensing,» IEEE Information Theory Society Newsletter (Dec 2008), pp. 14-17 [PDF], y David L. Donoho, «Information Theory Society Paper Award: Reflections on Compressed Sensing,» IEEE ITSN (Dec 2008), pp. 18-23 [PDF].

El muestreo comprimido (compressed sensing) tiene muchísimas aplicaciones, sobre todo en el tratamiento de imágenes. Muchas cámaras de teléfonos móviles usan esta técnica para grabar vídeo de supuesta alta calidad (dando un toque que desagrada a muchos fotógrafos y profesionales de la imagen). También es clave en las llamadas cámaras de un solo píxel, en especial, en las que carecen de lentes (lensless single-pixel cameras). Además se usan en holografía, reconocimiento facial, imagen en medicina (resonancia magnética), tomografía, cámaras térmicas (infrarrojas), microscopia electrónica e, incluso, en astronomía (sobre todo en radioastronomía).

En resumen, las aplicaciones de las ondículas (wavelets) de Meyer, Daubechies y muchos otros son ingentes, no solo en el análisis de señales, sino también en la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales y muchas otras áreas de las matemáticas aplicadas; también son muchas las aplicaciones del muestreo comprimido. Por cierto, el muestreo comprimido se puede combinar con ondículas y con otras técnicas de procesado de señales, pero lo habitual es combinarlo con las primeras. Sin lugar a dudas, como nos cuenta Clara Grima en Ingrid y los tres mosqueteros del píxel: «ambas líneas de trabajo, la de las ondículas y la de la detección comprimida, forman un tándem perfecto para mejorar nuestras vidas, desde permitirnos ver cine digital hasta mejorar nuestros diagnósticos médicos. Las matemáticas son, sin duda, una de las herramientas más poderosas que tenemos para hacer de este un mundo mejor, más justo, más solidario, más humano».



4 Comentarios

  1. Hola Francis,
    Los Link a «EEE Information Theory Society Newsletter (Dec 2008)» son incorrectos , te llevan a la revista de Septiembre 2018.

    Un saludo.

  2. Hola Francis

    El link al PDF «Information Theory Society Paper Award: Reflections on Compressed Sensing,» IEEE Information Theory Society Newsletter (Dec 2008), pp. 14-17 te lleva al altículo: Por qué la COVID-19 afecta más a hombres que a mujeres.

    Saludos

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