El teorema de singularidad de Penrose de 1965

Por Francisco R. Villatoro, el 12 octubre, 2020. Categoría(s): Ciencia • Física • Historia • Matemáticas • Mathematics • Personajes • Physics • Relatividad • Science ✎ 28

En 1965 se cumplían 50 años del nacimiento de las ecuaciones de Einstein para la gravitación. Penzias y Wilson publicaron el descubrimiento de la radiación cósmica de fondo (Nobel 1978) y Penrose publicó su famoso teorema de la singularidad en relatividad general (Nobel 2020). Las singularidades, resultado de la existencia de curvas geodésicas incompletas, son una predicción robusta; como lo es la aparición de superficies atrapadas cerradas (compactas y sin borde) y, con ellas, los agujeros negros.

Einstein y otros pioneros de la relatividad general pusieron el énfasis en la geometría riemanniana y en la geometría diferencial, usando como conceptos fundamentales la métrica, las conexiones afines, la curvatura y las geodésicas. Penrose puso el énfasis en la estructura causal del espaciotiempo, los conos de luz, las superficies atrapadas y las singularidades, convirtiendo a la geometría lorentziana y a la topología diferencial en poderosas herramientas en relatividad general.

En esta pieza sigo el hilo del artículo de José M. M. Senovilla, David Garfinkle, «The 1965 Penrose singularity theorem,» Classical and Quantum Gravity 32: 124008 (2015), doi: https://doi.org/10.1088/0264-9381/32/12/124008arXiv:1410.5226 [gr-qc] (20 Oct 2014), que nos describe en detalle la historia del artículo de Roger Penrose, «Gravitational Collapse and Space-Time Singularities,» Physical Review Letters 14: 57-59 (1965), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.14.57; recomiendo los libros de texto de Leonor Godinho, José Natário, «An Introduction to Riemannian Geometry. With Applications to Mechanics and Relativity,» Springer (2014), y el clásico de Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis, «Large Scale Structure of Space-Time,» Cambridge University Press (1994).

[PS 22 oct 2020] Los interesados en una discusión matemática sobre los teoremas de singularidad disfrutarán con José M. M. Senovilla, «Singularity Theorems and Their Consequences,» General Relativity and Gravitation 30: 701-848 (1998), doi: https://doi.org/10.1023/A:1018801101244, arXiv:1801.04912 [gr-qc] (12 Jan 2018). [/PS]

Antes de 1955 se sabía que algunas soluciones de las ecuaciones de Einstein presentaban singularidades, pero se pensaba que su origen era accidental, debido a la existencia de demasiadas simetrías en dichas soluciones matemáticas. Nadie pensaba que existieran soluciones físicas con singularidades. Por ejemplo, la solución matemática de Schwarzschild (1916) para una distribución de masa esférica presenta sigularidades en r = 0 y r = rS = 2GM/c2 (el radio de Schwarzschild); Einstein y todos los relativistas pensaban que describía un campo gravitacional físico solo para r > rS. Tanto Eddington (1924) como Lemaître (1933) habían mostrado que la singularidad en r = rS podía ser eliminada con un cambio de sistema de coordenadas, a diferencia de la singularidad en r = 0, pero nadie entendía el significado físico de esta diferencia matemática. Lo mismo pasaba con las soluciones cosmológicas en un universo en expansión, que mostraban una singularidad en el pasado, en el instante de «creación del tiempo»; se pensaba que dicha singularidad no era física y que el universo se expandía a partir de un «átomo primordial» de tamaño finito.

Chandrasekhar (1931) demostró que existe un límite máximo para la masa de una enana blanca en equilibrio, incluso si se tienen en cuenta efectos cuánticos. Oppenheimer y Volkoff (1939) mostraron que también existe para una estrella de neutrones en equilibrio. Oppenheimer y Snyder (1939) concluyeron que una estrella de neutrones de mayor masa (el núcleo de una estrella de gran masa) no podría soportar la presión gravitacional con lo que sufriría una contracción continua, un colapso gravitacional; en tiempo finito para un observador comóvil con la materia de la estrella aparecería una singularidad. Su solución matemática predecía que la contracción pasaría por r = rS sin ningún efecto físico observable y continuaría hasta alcanzar una singularidad catastrófica en r = 0, donde toda la materia de la estrella se concentraría en un punto de densidad infinita.

Para Einstein y otros relativistas, el colapso gravitacional era un artefacto de la simetría esférica y del uso de polvo para modelar la materia de la estrella; el polvo es una distribución de partículas sin presión ni velocidad acimutal, solo con velocidad radial. De hecho, Einstein (1939) publicó que durante el colapso si las partículas tenían velocidades acimutales se acelerarían incrementando su velocidad hasta alcanzar, en el límite, la velocidad de la luz en el vacío para r → rS; así ninguna partícula podría atravesar este horizonte causal, quedando «congeladas» antes de atravesar r = rS. Más aún, Einstein y Straus (1945) propusieron que la solución gravitacional física para un cuerpo esférico era la solución de de Schwarzschild para r > rS «pegada» a la parte exterior de una solución cosmológica de tipo Friedman–Lemaître sin singularidad para r < rS (la llamada vacuola de Einstein–Straus). Como no existía espacio vacío para r < rS no podía existir una singularidad en dicha región, sugiriendo que el límite del colapso gravitacional debía ser una «estrella congelada» que colapsa «eternamente» con un radio r → rS, en contra de la predicción de Oppenheimer y Snyder (1939).

Einstein falleció el 18 de abril de 1955, junto un mes antes de la publicación del primer teorema de singularidad de Raychaudhuri (1955). La hipótesis clave es lo que hoy llamamos condición fuerte para la energía para Λ=0, es decir, Rρνuρuν ≥ 0, donde Rρν es el tensor de Ricci y uρ es un campo vectorial geodésico (las velocidades de partículas que se mueven a lo largo de geodésicas). Bajo dicha hipótesis, una distribución de polvo irrotacional (con tensor momento-energía Tµν = ρ uµuν, donde ρ es la densidad y la presión p=0), aparece un efecto de enfoque de las geodésicas que lleva a que se alcance una densidad infinita, ρ → ∞, en el futuro (pasado) de todo punto que cumpla ∇µuµ < 0 (∇µuµ > 0). Komar (1956) y Raychaudhuri (1957) generalizaron dicho resultado para un fluido ideal con Tµν = ρ uµuν + p (gµν + uµuν).

Finkelstein (1958) usó el sistema de coordenadas de Eddington (1924) para mostrar que la singularidad en  r = rS de la solución de Schwarzschild era ficticia. Kruskal (1960) descubrió otro sistema de coordenadas que mostraba lo mismo de forma mucho más clara. Solo podía existir la singularidad en r = 0, pero el trabajo de Raychaudhuri y Komar no ofrecía un teorema de singularidad definitivo; había una vía de escape, la rotación de las partículas (recuerda que toda estrella rota con cierto momento angular). La solución cosmológica sin big bang de Gödel (1949; 1952) para un universo en rotación no presentaba ninguna singularidad; así se pensaba que una solución con rotación para una estrella podría ser suficiente para eludir la formación de singularidades. Kerr (1963) obtuvo la primera generalización de la solución de Schwarzschild para un cuerpo en rotación (lo que hoy llamamos un agujero negro con masa y momento angular).

En 1965 faltaban dos ingredientes para poder generalizar el teorema de Raychaudhuri para soluciones sin simetría esférica, la idea de superficie cerrada atrapada y la idea de incompletitud para las geodésicas. En una reciente entrevista Penrose relata que se le ocurrió la primera idea cuando viajaba  en un automóvil justo en un cruce; el conductor estaba hablando hasta que se calló mientas realizaba la maniobra, momento de silencio  que aprovechó la mente de Penrose para sugerirle la idea de que el enfoque de las geodésicas era imparable dentro de una superficie atrapada; al llegar a casa pasó todo el fin de semana trabajando en los detalles matemáticos, que condujeron al artículo que envió a la revista Physical Review Letters (que ha sido galardonado con el Premio Nobel de Física de 2020).

El teorema de singularidad de Penrose (1965) afirma que en todo espaciotiempo que contenga una hipersuperficie de Cauchy no compacta Σ y una superficie cerrada atrapada de tipo futuro, si se cumple la condición fuerte para la energía Rρνuρuν ≥ 0 para un campo vectorial nulo uν, entonces existen geodésicas nulas incompletas en el futuro. La estrategia de la demostración es asumir que todas las geodésicas nulas son completas, probando que en dicho caso el contorno del futuro de la superficie atrapada es compacto (luego tiene borde); pero este borde es una inmersión luego no tiene borde, mientras que su proyección canónica en Σ tiene que tener un borde por ser no compacta. Así se llega a una contradicción, con lo que la hipótesis original es falsa, probando el resultado por reducción al absurdo.

Lo más sorprendente del teorema de Penrose (1965) es que evita definir el concepto de singularidad. Como las singularidades no pertenecen al espaciotiempo (que solo está formado por los puntos que son regulares) su definición es complicada; por ejemplo, definirlas como los lugares donde la curvatura se vuelve infinita tiene el problema de que los tensores de curvatura dependen del sistema de coordenadas y si solo se usan invariantes de curvatura aparece el problema de que pueden ser nulos en ciertas singularidades. De hecho, la clasificación de todas las singularidades posibles en relatividad general no se obtuvo hasta Ellis y Schmidt (1977). La idea de Penrose es esquivar la definición recurriendo a la existencia de geodésicas incompletas en el futuro, que no se pueden continuar de forma indefinida (porque acaban alcanzando una singularidad).

Una hipersuperficie de Cauchy es una sección espacial del espaciotiempo para un instante de tiempo dado que sea una buena condición inicial para resolver las ecuaciones de Einstein para todo instante de tiempo posterior; su existencia es equivalente a que el espaciotiempo es globalmente hiperbólico, con lo que existen geodésicas maximales entre cada dos puntos relacionados causalmente. En otro artículo de 1965, Penrose demostró que existen métricas del espaciotiempo para las que no existe una hipersuperficie de Cauchy (por ejemplo, las ondas gravitacionales no lineales llamadas ondas planas). La llamada conjetura fuerte del censor cósmico afirma que solo pueden existir en la Naturaleza soluciones de las ecuaciones de Einstein para las que exista una hipersuperficie de Cauchy (aún sigue siendo una conjetura).

El concepto más novedoso de Penrose es el de superficie cerrada atrapada en el futuro, como sustituto del concepto de horizonte de sucesos, el lugar donde la velocidad de escape newtoniana iguala a la velocidad de la luz en el vacío. Penrose (1965) la define como una superficie compacta sin borde (cerrada) tal que las dos familias de rayos de luz (geodésicas nulas definicas por el campo vectorial k±μ ) que emergen de forma ortogonal de dicha superficie convergen en el futuro (están atrapadas, o sea, ∇µk+μ < 0 y ∇µkμ > 0); por cierto, existe una versión en el pasado de interés para soluciones cosmológicas usada por Hawking (1965). La noción de superficie atrapada es independiente de las coordenadas y de la existencia de simetrías (sean la simetría esférica en la solución de Schwarzschild o la simetría axial en la solución de Kerr). Además, como está definida por una desigualdad, es robusta ante pequeñas perturbaciones.

El teorema de la singularidad de Penrose tuvo un enorme impacto entre la comunidad de físicos que trabajaban en relatividad general. Destaca la serie de tres artículos de Hawking (1966; 1966; 1967) sobre la ocurrencia de singularidades en cosmología, que junto al trabajo de Penrose constituyen el núcleo de todos los teoremas de singularidad posteriores. Ellis, Geroch y muchos otros físicos se pusieron a explorar el espaciotiempo en relatividad general con nuevos ojos gracias al análisis de la estructura causal del espaciotiempo (definida por los conos de luz). Un resultado clave fue el teorema de Penrose y Hawking (1970) que refinó y compendió los resultados previos. El libro de texto de Hawking y Ellis (1973) resume todos los resultados de esta época tan fértil en relatividad general. Desde entonces se ha avanzado muchísimo en múltiples líneas (imposibles de resumir en esta pieza).

La gran desventaja de los teoremas de singularidad es que ofrecen muy poca información sobre la naturaleza de las singularidades. Un trabajo que destacó Thorne en su libro sobre la ciencia de la película Interstellar (2014) son las singularidades BKL, por Belinskii, Khalatnikov y Lifschitz (1970; 1972). Para entender el entorno de las singularidades hay que usar un sistema de coordenadas adecuado en el que la coordenada del tiempo corresponda al tiempo que falta para alcanzar la singularidad (un sistema de coordenadas síncrono). Asumiendo que las derivadas respecto al tiempo dominan sobre las derivadas espaciales, resulta que la singularidad se comportan como una región donde la «materia no importa» (matter doesn’t matter), el espaciotiempo es acausal, local y oscila de forma caótica. Aunque muchos expertos han planteado objeciones a esta descripción, las simulaciones numéricas por ordenador de Berger y Moncrief (1993) parecen apoyar sus conclusiones generales, aunque aparecen «picos» (spikes) que ilustran muy bien las figuras del libro de Thorne.

En resumen, espero que esta pieza te ayude a entender mejor la trascendencia del artículo de Penrose en 1965 que ha sido premiado con el Nobel de Física de 2020. Supuso toda una revolución en la relatividad general. Por supuesto, todavía hay muchas cosas que no entendemos de las singularidades en relatividad general; sin lugar a dudas no existen en la Naturaleza, ni existirán en una futura teoría cuántica de la gravitación que ofrezca una descripción detallada de su física. Si te interesa saber más sobre singularidades desde el punto de vista de la relatividad numérica te recomiendo leer a Beverly K. Berger, «Numerical Approaches to Spacetime Singularities,» Living Reviews in Relativity 5: 1 (2002), doi: https://doi.org/10.12942/lrr-1998-7.



28 Comentarios

  1. Muchas gracias por la nota, realmente me resultó entretenida y relativamente fácil de comprender, considerando que hace más de 30 años que no volví a leer algo relacionado con la relatividad.
    Cordialmente,
    Rodolfo desde Buenos Aires, Argentina

    1. Danilo, por supuesto, recuerda que la fuente de las ondas gravitacionales es la densidad de energía y momento lineal (descrita por el tensor de energía-momento), que puede estar asociada a ciertas masas y sus movimientos, pero que puede existir en ausencia de masas. En rigor, la masa es un concepto newtoniano (y por lo tanto obsoleto) que aún preservamos en Física porque facilita estudiar los límites newtonianos (o clásicos) de nuestras teorías; pero ni existe como tal en teoría cuántico de campos, ni tiene ninguna utilidad práctica en teoría general de la relatividad. Lo que pasa es que cuando podemos estudiar un sistema físico cuántico o relativista en el límite clásico resulta útil recurrir al concepto de masa. Nada más.

    2. Obviamente sí, Danilo:

      Simplemente toma como ejemplo una onda gravitacional plana sobre MInkowski o el universo temprano previo a rotura espontánea de la simetria electrodébil, las ondas gravitacionales primordiales se forman antes de la mencionada transición de fase (dónde no existe el concepto de «masa efectiva»).

  2. «[…] sin lugar a dudas no existen en la Naturaleza, ni existirán en una futura teoría cuántica de la gravitación [..]»

    Francis, ¿qué pasaría si descubriéramos que las singularidades son reales? es decir, si tuviéramos evidencias claras de que hay lugares en el espacio tiempo donde no tenemos herramienta alguna para crear modelos de esa «realidad». ¿Tendríamos que tirar abajo otros edificios de la física realmente? , ?¿es verdad que toda la física se vendría abajo como dicen algunos?

    1. Pedro, ¿qué pasaría si en una fórmula matemática descubres que tienes que dividir por cero? Pues que descartas dicha fórmula y buscas una mejor. Las singularidades en matemáticas son lo mismo que dividir por cero. No tiene sentido físico (ni matemático) dividir por cero. Por eso no tiene sentido la pregunta, ¿qué pasaría si las divisiones por cero existieran en la Naturaleza? ¿Se vendría abajo toda la física y toda la matemática? Estas preguntas no tienen sentido.

      Por alguna razón (quizás debido a los libros de divulgación sobre agujeros negros) mucha gente imagina las singularidades (incluidas las desnudas) como algo físico; han oído hablar tanto de ellas como de los agujeros negros así que les parece que tienen el mismo grado de realidad física potencial. Pero que nadie se lleve a engaño por el nombre, solo son un nombre para las apariciones de las divisiones por cero, es decir, para nuestros límites en ciertos modelos matemáticos que describen muy bien la realidad cuando no aparecen divisiones por cero.

      1. Muchas gracias, Francis.

        Y por cierto, ¿se sabe en que está o en que quedó la idea de las estrellas de Planck como posible mecanismo para evitar las singularidades y de paso los «firewalls»?

        Saludos.

          1. Muchas gracias.
            Este Lubos, jeje… no se corta un pelo a la hora de repartir «leña»… no se salva nadie 🙂

            Saludos.

        1. Pelau, hay muchas propuesta de impostores de agujeros negros; todas están en la misma situación que cuando fueron propuestas, pues es imposible saber qué hay en el interior de un agujero negro sin cruzar su horizonte de sucesos. Así la idea de las estrellas de Planck en el lugar de la singularidad están en la misma situación que el día en que fue propuesta la idea.

      2. Para los q aprendimos matematicas,cálculo diferencial,integral,matricial y física podemos entender al menos en parte.Pero sería conveniente publicitar estás cosas y necesidades pq serán los temas del futuro próximo.

  3. Acaso la constante de Planck no es de cifras por debajo de cero. Si estamos hablando del mundo cuantico, todo se considera en cifras por debajo de cero, en el cual dejamos atras la fisica y las matematicas que trataron el mundo tangible. Ahora estamos hablando otro lenguaje matematico, por encima o por debajo de cero, de tal forma que el numero infinito cambia de sentido en el mundo cuantico. Es asi? Respondanme. GRACIAS.

    1. Roberto, no entiendo qué significa «cifras por debajo de cero». Lo habitual en Física Cuántica es usar un sistema de unidades en el que la constante de Planck igual a la unidad, igual que en Relatividad se hace la velocidad de la luz en el vacío igual a la unidad. La constante de Planck tiene unidades de acción (producto de energía por tiempo), o sea, de momento angular (producto de espacio por velocidad) y solo tiene un valor muy pequeño cuando se usa un sistema de unidades útil para objetos macroscópicos.

  4. Una pregunta amigo, cuando mencionan el concepto de compacidad, se refieren a la definición matemática, de que para toda cubierta abierta del conjunto, existe una sub cubierta finita que lo contiene?

  5. Gracias por el articulo.
    Según entiendo, el tiempo antes de atravesar el horizonte de eventos medido desde un sistema de referencia que cae junto con un objeto hacia el agujero negro es finito .Pero desde un sistema de referencia alejado el tiempo sería infinito, al punto que hasta la velocidad de la luz tiende a cero al aproximarse al horizonte.
    ¿Como es que se modelizan entonces estrellas que son absorbidas, fusiones de agujeros o eventos similares?
    ¿Todos esos procesos no llevarían para nosotros , observadores alejados, un tiempo infinito?
    Saludos y gracias!

    1. Luis, para simular las fusiones de agujeros negros (sin disco de acreción) se usa la relatividad general numérica (Alcubierre tiene un libro sobre el tema); para la interacción del disco de acreción o de nubes de gas o estrellas con el agujero negro hay que añadir a la simulación la magnetohidrodinámica, lo que complica mucho los cálculos.

      Lo que observamos a nivel astrofísico son las emisiones del disco de acreción o de la materia que cae en el agujero negro antes de caer; el punto de emisión está fuera del agujero negro y se suele observar en forma de llamaradas (flares) o chorros (jets), que no se ven afectados por el horizonte del agujero negro; así que vemos lo que ocurre exterior, sin que importe lo que pase con la parte de la materia que cae en el interior.

  6. Al hilo de lo que dice Luis de Montevideo, como soy poco entendido en el tema imagino la formación de un agujero negro de una forma muy simple:
    se va acumulando masa por atracción gravitatoria en una zona y cuando hay suficiente se genera un horizonte de sucesos, a partir de aquí, la masa que va cayendo se queda como «congelada» en el horizonte de sucesos pues el tiempo no pasa.
    Parece que la masa si que atraviesa el horizonte de sucesos, pero no entiendo por qué.

  7. Está muy bien logrado este post. Felicitaciones. Muy bueno.

    Va una pregunta, tal vez descolocada pero a la vez relacionada con las publicaciones de R.Penrose, ¿alguien sabe cómo se generan los gráficos, diagramas, dibujos espectaculares que aparecen publicados en los libros de Penrose, por ejemplo, como este que está publicado en PRL? También se los encuentra en muchos libros de Penrose, … ¿Quisiera saber cómo los hace o se hacen, si hay algún editor de gráficos o graficador…? So muy buenos y muy instructivos. Gracias! 🙂

Deja un comentario