La solución al misterio del metrónomo de Beethoven

Por Francisco R. Villatoro, el 1 enero, 2021. Categoría(s): Ciencia • Física • Historia • Mecánica • Noticias • Science ✎ 6

Mi pieza «El metrónomo de Beethoven», LCMF, 25 nov 2013, fue la inspiración del Trabajo Fin de Grado en Ciencias Físicas de Almudena M. Martín-Castro (UNED, 2018). Ahora, junto a Iñaki Úcar, ha publicado en la revista PLoS ONE  una sorprendente y a la vez elegante solución al misterio de los tempi musicales (casi imposibles) de algunas obras de Ludwig van Beethoven (1770−1827): el genio alemán no sabía cómo leer la marca del metrónomo que le regaló Johann Nepomuk Mälzel (1772−1838), estando sus anotaciones subidas en exactamente 12 ppm (pulsos por minuto); la razón es que el peso corredizo de dicho metrónomo tenía 15 mm de altura, una distancia igual a 12 ppm, y su forma de flecha apuntaba hacia abajo, hacia los tempi más altos. Su artículo presenta varias evidencias a favor de esta solución y en contra de otras propuestas. Como siempre en ciencia, hasta que no haya un consenso historiográfico entre los musicólogos no podemos afirmar que el problema está resuelto; a pesar de ello, auguro que Almudena e Iñaki pasarán a la historia de la música por este fascinante resultado.

La chispa de genialidad que impulsó la nueva solución de Martín-Castro y Úcar es la anotación manuscrita “108 oder 120 Mälzel” (en alemán «¿108 o 120, Mälzel?») en la partitura original de la novena sinfonía. A todas luces no es una evidencia suficiente; toda nueva solución a un problema científico tiene que acumular múltiples evidencias (como que estéticamente los directores de orquesta prefieren tempi  uniformemente menores que el marcado por Beethoven), así como refutar soluciones previas (como que el metrónomo estaba defectuoso). Para lo primero se ha extraído de forma automática el tempo de 36 grabaciones completas de las sinfonías del alemán dirigidas por diferentes directores de orquestra; los románticos, que priman la estética, prefieren tempi 13±2 ppm menores que las marcas del autor, mientras que los historicistas, que intentan seguir dichas marcas, se decantan por tempi 6±2 ppm menores y los influidos por estos últimos, eligen tempi 8±2 ppm menores. Y para lo segundo se ha desarrollado un modelo mecánico del metrónomo original de Mälzel con posibles defectos de fabricación, que predice efectos no lineales en las desviaciones de los tempi que no se observan en las interpretaciones orquestrales.

Hoy este blog cumple 13 años (nació el 1 de enero de 2008); para mí es todo un honor que haya servido de inspiración para dos apasionados de la ciencia y de la música como Almudena e Iñaki. Por ello recomiendo de forma encarecida la lectura de su artículo Almudena Martin-Castro, Iñaki Ucar, «Conductors’ tempo choices shed light over Beethoven’s metronome,» PLoS ONE 15: e0243616 (16 Dec 2020), doi: https://doi.org/10.1371/journal.pone.0243616; un ejemplo perfecto de multidisplinaridad que combina la física (modelos mecánicos del péndulo), la ingeniería de telecomunicaciones (teoría de la señal aplicada al análisis del tempo de grabaciones musicales) y la música (Almudena es pianista e Iñaki es clarinetista). Por cierto, no olvidéis visitar su blog Enchufa2 y leer de primera mano a Almudena M. Castro, «Beethoven y el metrónomo: los titubeos de un genio», Cuaderno de Cultura Científica, 17 dic 2020; además, muchos medios se hicieron eco hace dos semanas de su logro.

Extracción automática del tempo para tres grabaciones del primer movimiento de la tercera sinfonía de Beethoven. El histograma a la derecha muestra que el algoritmo detecta el tempo y varios de sus armónicos. Fuente: Almudena Martín-Castro, TFG (UNED, 2018).

Para extraer los tempi de las 36 grabaciones completas de las sinfonías de Beethoven (unos 1188 ficheros de audio, uno por cada movimiento, que totalizan más de 169 horas de música) Almudena e Iñaki han usado el algoritmo de Font y Serra (GitHub) del Grupo de Tecnología Musical de la Universitat Pompeu Fabra de Barcelona, publicado en Frederic Font, Xavier Serra, «Tempo Estimation for Music Loops and a Simple Confidence Measure,» in 17th International Society for Music Information Retrieval Conference (ISMIR 2016), New York (2016) [PDF], implementado en Marsyas, un software de código abierto para el análisis de audio (G. Tzanetakis, P. Cook, «MARSYAS: a framework for audio analysis,» Organised Sound 4: 169-175 (2000), doi: https://doi.org/10.1017/S1355771800003071). Se han analizado las primeras ocho sinfonías, que fueron anotadas con el metrónomo de Mälzel más o menos en la misma época; la novena es una obra más compleja que se anotó mucho más tarde y sus tempi son más difíciles de extraer con precisión.

Tempo normalizado relativo a las anotaciones de Beethoven para las 36 interpretaciones de sus 8 primeras sinfonías. Fuente: Almudena Martín-Castro, TFG (UNED, 2018).

En los movimientos de obras como las sinfonías de Beethoven el tempo cambia durante la ejecución de la orquestra en función de las anotaciones de la partitura y de las preferencias del director; el tempo del metrónomo solo se indica de forma explícita al principio de cada partitura. Esta figura muestra la distribución de tempi normalizados relativos a las indicaciones metronómicas (en el articulo de PLoS ONE se indican los valores relativos en ppm) para los 36 directores de orquestra analizados. Siguiendo a Lari Dianne Young («Problems regarding the metronome markings in the music of Beethoven,» Texas Tech. University (1991) [PDF]) se clasifican estos directores en historicistas (Historically Informed), bajo la influencia de los historicistas (under HI influence) y románticos (Romantics); los primeros intentan ejecutar la obra siguiendo las indicaciones metronómicas, mientras que los últimos prefieren seguir criterios estéticos, como era costumbre antes de la invención del metrónomo y de otros compositores contemporáneos a Beethoven.

Modelo simplificado de un metrónomo. Fuente: Almudena Martín-Castro, TFG (UNED, 2018).

La comparación entre el Trabajo Fin de Grado (que amablemente Almudena me envió después de su defensa) y el artículo en PLoS ONE nos muestra que la gran diferencia se encuentra en el modelo mecánico del metrónomo. Dicho modelo se usa para estudiar el efecto de los posibles defectos de fabricación en las anotaciones realizadas por el genio alemán de sus obras. La hipótesis de muchos musicólogos es que el metrónomo que Mälzel le regaló a Beethoven tenía que estar defectuoso porque algunas de sus obras parecen imposibles de ejecutar; por ejemplo, una de sus últimas sonatas para piano, la n.º 29 en Si bemol mayor Op. 106, subtitulada Hammerklavier, tiene su primer movimiento, Allegro, marcado en la partitura original con una indicación de metrónomo de Mälzel de MM=138 para una nota blanca, es decir, 552 corcheas por minuto, o sea, 9 corcheas por segundo (casi imposible de ejecutar para un pianista en un piano mecánico).

Fuente: Martín-Castro y Ucar, PLoS ONE (2020).

Los metrónomos mecánicos contemporáneos conservan el mismo diseño que el metrónomo que Mälzel le regaló a Beethoven. La frecuencia angular de oscilación, Ω, es el producto de tres términos (mostrados en la ecuación insertada en la figura): el efecto de usar ángulos grandes, fang(θ), ya que θ suele estar entre 40º y 60º, el efecto de la fricción, ffric(ϵ), que depende del par de fricción adimensionalizado 0 ≤ ϵ ≤ 0.5, y el término estándar para un péndulo ideal con dos masas. Este último tiene en cuenta las dos masas, m y M, mediante M′=M/m, que están separadas una distancia r y R, resp., del centro de giro, unidas por una varilla con masa μ, con μ′=μ/m, y longitudes l y L respecto al centro de giro (la longitud total de la varilla es de l+L); recuerda que el número de pulsos por minuto del metrónomo se ajusta cambiando la distancia r. El nuevo modelo ha sido validado ajustando sus parámetros para un metrónomo contemporáneo; la figura muestra el efecto de las correcciones del modelo con fricción y ángulos grandes respecto a un modelo estándar sin dichos efectos.

Fuente: Martín-Castro y Ucar, PLoS ONE (2020).

El nuevo modelo se ha ajustado a cuatro metrónomos, dos de ellos fechados en 1816 (TB 06 y TB 07) de la colección de Tony Bingham (véase la foto que abre esta pieza), deben ser muy similares al que usó Beethoven, uno que corresponde al diagrama de la patente original (Patent) y un metrónomo contemporáneo Neewer © NW-707 (Control). Varios parámetros no se pueden estimar con precisión a partir de fotografías de los metrónomos (por ejemplo, R (LR) no se puede medir cuando la caja oculta la masa inferior), por lo que se estimaron a partir del tamaño de la caja y de la descripción de la patente. Mediante ajuste (por regresión) de las curvas que relacionan r con la escala de pulsos por minuto se han estimado las masas adimensionales, M′ y μ′. Se estima que para el metrónomo de Beethoven M′ = 4.0±0.1 y μ′ = 0.64±0.03, con el resto de parámetros según la patente.

Fuente: Almudena Martín-Castro, TFG (UNED, 2018).

El tempo interpretado en función de las marcas del metrónomo se muestra en esta figura del TFG de Martín-Castro (el resultado es similar al del artículo de PLoS ONE, siendo la diferencia debida al modelo del metrónomo). Se observa una una relación 1:1 en el desplazamiento de las marcas, lo que sugiere que los intérpretes ralentizan las obras de Beethoven, en promedio, en una cantidad fija que es diferente para cada grupo de directores. Así, no parece que la causa de la discrepancia con las marcas de las partituras sean debidas a defectos de fabricación del metrónomo de Beethoven, que por otro lado habrían dado lugar a comportamientos anómalos que pudieran haber sido advertidos por él.

Fuente: Almudena Martín-Castro, TFG (UNED, 2018).

Más aún, si la discrepancia entre las marcas metronómicas de Beethoven y los tempi interpretados por los directores de orquestra fueran debidas a defectos físicos en el metrónomo se esperaría observar una correlación no lineal entre ambas. El caso más claro corresponde a un cambio en la distancia R de la masa inferior al eje de giro, que se muestra en esta figura para los directores románticos, la correlación observada es lineal en lugar de no lineal (curvas continuas predichas por el modelo en la figura). También se han analizado otros defectos, como la reducción de la masa inferior (M), una posible inclinación del metrónomo y un posible desplazamiento de la escala con respecto al eje de giro, aunque se comportamiento no lineal es menos aparente. Omito las figuras, pero en todos los casos se descarta la hipótesis de un defecto físico en el metrónomo en base a las preferencias estéticas de los directores de orquesta.

En resumen, un gran trabajo multidisplicinar de Almudena M. Martín-Castro e Iñaki Úcar que nos ofrece una sencilla solución al problema del metrónomo de Beethoven: siendo uno de los primeros usuarios de este instrumento no sabía cómo leer la marca del metrónomo y sobreestimó todas los tempi en 12 ppm. La mayoría de los directores de música que interpretan sus obras consideran que una reducción de sus marcas en un valor constante de 13±2 ppm es necesario por cuestiones puramente estéticas. La coincidencia de ambos números y la ausencia de posibles defectos físicos en el metrónomo que expliquen dicha elección apoyan la nueva solución. Sin lugar a dudas un gran aporte a la musicología desde la física y la ingeniería de telecomunicaciones.



6 Comentarios

  1. Pero hay algo que no me cuadra, si estaba apuntando en sus partituras un tempo mayor que el que él realmente quería; ¿acaso no se percataba cuando terceros interpretaban sus obras? Si un director estaba haciendo un arreglo en su ciudad de una obra suya, ¿nunca salió a colación la dificultad de tocar algunas partes? Es raro…

    1. Excelente observación, cualquier músico con suficiente recorrido, puede dar cuenta, del que el «tempo» es absolutamente subjetivo, es imposible saber a ciencia cierta, a que velocidad marchaban las composiciones, en su cabeza, con respecto a la «blanca» a 138… no esta entre las prácticas normales, indicar el tiempo de blancas, en general, se explicita el de las negras, es muy probable, que sea solo un intercambio de figuras, ahora bien, el trabajo de estos muchachos, me parece maravilloso, si acepto que hay un problema, apuesto a qué está es la respuesta correcta.

    2. Cuando anotó sus partituras, Beethoven ya estaba bastante sordo. Conocemos, por ejemplo, la anécdota del estreno de su novena sinfonía, cuando fue invitado a «dirigirla en paralelo» junto al verdadero director: después de que acabase la sinfonía, Beethoven seguía dirigiendo con los ojos cerrados imaginando la música en su cabeza, hasta que alguien lo agarró del brazo y le dio la vuelta para que viera que ya estaba todo el mundo aplaudiendo.

    3. Apenas contamos con evidencias que revelen el tempo que seguían los directores en la época del propio Beethoven. Sir George Smart (que había estado en contacto con el compositor) dejó anotada la duración de sus propias interpretaciones y, según el análisis de Temperley, dichas duraciones indican que Smart seguía tempos muy parecidos a los actuales (esto es, más lentos que los indicados por Beethoven).
      Por otra parte: el metrónomo era un invento muy nuevo (es probable que su uso entre los intérpretes no se difundiese inmediatamente) y las marcas de Beethoven se publicaron en un folleto, separado de la partitura de las propias sinfonías que ya habían sido publicadas previamente. Es decir: no sabemos si las marcas no causaron mucho revuelo en un primer momento porque, simplemente, no mucha gente las leyó o intentó interpretar.
      El primero en sugerir que había un problema con esas marcas fue Anton Felix Schindler, el primer biógrafo de Beethoven y su secretario personal durante sus últimos años. Schindler ha sido muy cuestionado porque, como (mal) historiador falsificó algunos documentos que apoyaban su propio relato acerca del compositor. Pero claro, es imposible descartar que un reconocido «falsificador» dijese alguna verdad de vez en cuando.
      Sobre la falta de «protesta» por parte de Beethoven al escuchar interpretaciones de otros directores, quizás no debería extrañarnos tanto: hacia 1814 ya estaba casi completamente sordo. Las primeras anotaciones las publicó en 1817.

  2. También resulta un poco extraño que para los músicos en general, y muchos no músicos, tenemos un sentido bastante preciso del ritmo de los segundos. Mentalmente podemos reproducir un ritmo de 60 bpm. Bastaría con tratar de calibrar este sentido con el metrónomo. Otra fuente de calibración es el propio corazón. No es muy exacto, pero una diferencia de más de 12 bpm si es bastante notable.

    1. Pero ese «sentido» de los segundos lo tenemos nosotros marcado a fuego por los relojes, en la primera mitad del siglo 19 no creo que se tuviera tan desarrollado. De hecho los relojes mecánicos de bolsillo de esos años pecaban de bastante imprecisión.

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