El Puente del Milenio (Millenium Bridge) permite que los peatones crucen el río Támesis en Londres. Se inauguró el 10 de junio de 2000 y se clausuró el mismo día; el paso de los peatones producía un balanceo alarmante; se reabrió en 2002. Se suele poner como ejemplo de resonancia, en este caso inducida por la sincronización de los peatones al caminar. Se publica en Nature Communications una explicación alternativa: la inestabilidad lateral inducida por los peatones (cuya causa es la manera natural de caminar de los peatones, sin necesidad de ninguna sincronización). Basta que mucha gente se balancee al caminar para inducir un balanceo del punto; más aún, cuando los peatones ajustan sus pasos para mantener el equilibrio crece la energía del balanceo. Los profesores de Física que usan puentes como ejemplo de resonancia disfrutarán de este estudio.

La sincronización entre los peatones no es la causa de inestabilidad del puente, sino una consecuencia. Esta conclusión se ha obtenido gracias a una revisión de las observaciones, los experimentos y los modelos de este problema. La clave es la llamada inestabilidad lateral inducida por los peatones: la aparición de una realimentación positiva entre los peatones que no están sincronizados, gracias a una amortiguación que en promedio es negativa y puede iniciar la vibración lateral del puente para una amplia gama de frecuencias naturales. El artículo presenta una fórmula general que cuantifica este efecto, que se confirma con simulaciones usando modelos matemáticos. Como la amortiguación promedio es negativa, acaba siendo la causa del balanceo del puente.

El artículo es Igor Belykh, Mateusz Bocian, …, Allan McRobie, «Emergence of the London Millennium Bridge instability without synchronisation,» Nature Communications 12: 7223 (10 Dec 2021), doi: https://doi.org/10.1038/s41467-021-27568-y.

El Puente del Milenio se diseñó para que fuera muy flexible en la dirección lateral, lo que conllevó que sus frecuencias de vibración naturales fueran similares a las frecuencias típicas del paso de un peatón. Este vídeo muestra cómo vibraba el puente y cómo los peatones intentaban mantener el equilibrio balanceando su propio cuerpo; así los peatones acaban sincronizándose. La primera idea para explicar este fenómeno fue recurrir a la sincronización de Kuramoto (aunque el artículo científico más famoso con el análisis de esta idea se publicó en 2005); el modelo de Kuramoto describe la sincronización de osciladores acoplados casi idénticos y débilmente acoplados. Pero esta idea no convenció a todos; por ejemplo, el físico Brian Josephson (Premio Nobel de Física en 1973), en este vídeo la sincronización de los peatones parece consecuencia del balanceo del puente y no la causa de dicho balanceo.

El nuevo artículo se inspira en la observación de Josephson y muestra que la sincronización de Kuramoto no es responsable del balanceo del puente. Se propone en su lugar la llamada inestabilidad lateral inducida por los peatones. De hecho, en el artículo se afirma (sin detalles) que también explica los balanceos en otros puentes peatonales desde 1972 (se enumeran 30 ejemplos). Se destaca el puente colgante de Clifton en Bristol, en el que se instalaron acelerómetros para registrar las vibraciones del puente cuando era cruzado por una multitud de peatones; los datos mostraban que vibraba lateralmente a frecuencias que no estaban relacionadas con el ritmo de los pasos de los peatones.

Describir con un modelo matemático sencillo el movimiento de un peatón es muy difícil. En el artículo se presentan tres modelos diferentes, todos ellos muy sencillos, pero que conducen a resultados cualitativamente similares. En dichos modelos se estima el amortiguamiento de la fuerza lateral ejercida sobre el puente por el peatón mediante tres términos, que dependen de la velocidad del peatón y que están multiplicado por sendos coeficientes σ_i, que pueden ser positivos (amortiguamiento) o negativos (inestabilidad). En concreto, σ₁ mide el efecto de la fuerza del apoyo del pie del peatón sobre el puente (ignorando los otros dos coeficientes), σ₂ el del movimiento lateral del peatón durante su marcha, y σ₃ el del movimiento hacia adelante.

La fuerza total sobre el puente depende del valor promedio de los tres coeficientes de amortiguamiento ⟨σ_i⟩ para todos los peatones. En las simulaciones realizadas con los tres modelos estudiados se observa que ⟨σ_i⟩ > 0 para un número pequeño de peatones, pero conforme se supera cierto límite, un número crítico de peatones N_crit (que depende de los parámetros del modelo, siendo unos 150 peatones en los modelos 2 y 3 ilustrados en la figura), repito, sin necesidad de que sincronicen su marcha, el valor promedio del coeficiente se vuelve negativo, ⟨σ_i⟩ < 0. Así se produce la inestabilidad lateral inducida por los peatones. A partir de dicho momento el puente empieza a balancearse y los peatones intentan mantenerse en equilibrio mientras continúan con su marcha, con lo que acaban sincronizándose.

Sin entrar en los detalles de los modelos es difícil explicar lo que ocurre. La idea es que si el puente está quieto, cuando dos peatones apoyan su pie en el puente se promedian las fuerzas laterales que inducen sobre el puente (piernas en color azul y rojo claro). Sin embargo, si el puente se está movimiento un poquito hacia un lado, pongamos hacia la izquierda, el peatón de la izquierda apoyará su pie en una posición que tiene un ángulo menor (del que tendría para el puente en reposo) y el peatón de la derecha apoyará su pie en una posición con un ángulo mayor (piernas en color azul y rojo oscuro). El resultado es que las fuerzas laterales de los peatones al apoyar su pie es diferente y ya no se compensan la una a la otra, con lo que hay una componente en la dirección de movimiento del puente, que refuerza (como en una resonancia) dicho movimiento. Por supuesto, dicho de esta forma parece que se requiere una sincronización en la marcha de los peatones; sin embargo, las simulaciones de los modelos muestran que para un número grande peatones no es necesaria ninguna sincronización y la fuerza lateral aparece por pura estadística.

En resumen, no se sabe qué causó la inestabilidad del Puente del Milenio de Londres, sin embargo, la nueva explicación parece convincente y parece ajustarse a lo observado en los vídeos de lo que ocurrió. Como la explicación también parece ajustarse bien a lo ocurrido con otros puentes peatonales, parece que se refuerza la idea de que la inestabilidad lateral inducida por los peatones es la explicación correcta. Como siempre ante este tipo de problemas, la explicación más aceptada, la sincronización de Kuramoto, que tiene una explicación analítica muy sencilla, es demasiado bonita para ser cierta; las simulaciones apuntan a una explicación menos bella pero que parece razonable. Auguro que futuros estudios clarificarán el análisis de esta explicación y obtendrán una versión menos dependiente de las simulaciones. Hasta entonces, lo único que hay que recordar es que el Puente del Milenio de Londres ya no es el ejemplo paradigmático de la sincronización de Kuramoto.