El uso de números complejos para las amplitudes de probabilidad es el rasgo común de las paradojas a la intuición clásica en mecánica cuántica. A algunos físicos les desagrada que la Naturaleza exija números imaginarios (raíces cuadradas de números negativos); por ello han propuesto teorías alternativas que solo usan números reales. Se publica en Nature un experimento de intercambio de entrelazamiento para refutar dichas teorías; dos equipos independientes han realizado dicho experimento, verificando a más de cinco sigmas que la realidad cuántica requiere el uso de números complejos; ambos artículos están aceptados en Physical Review Letters. Sus resultados descartan las teorías cuánticas alternativas que usan números reales y refuerzan la idea de que los números complejos son imprescindibles para entender la naturaleza cuántica. Por supuesto, estos experimentos no son definitivos, pues pueden presentar escapatorias (loopholes); su análisis ocupará a muchos físicos durante los próximos años.

En apariencia parece fácil sustituir en las ecuaciones de la mecánica cuántica todos los números complejos por parejas de números reales e introducir un operador cuántico Ĵ² = −1 en todos los lugares donde aparezca el número imaginario i² = −1 (como propuso Stueckelberg (1960), doi: https://doi.org/10.5169/seals-113093); sin embargo, aparecen sutilezas en los sistemas cuánticos que presentan entrelazamiento multipartito, debido a las diferencias entre el productor tensorial de espacios de Hilbert complejos y reales. Gracias a ellas, en ciertos experimentos, se pueden observar diferencias entre ambas teorías. Los tres nuevos artículos usan el experimento de entrelazamiento multipartito ilustrado en la figura, que usa dos parejas de partículas entrelazadas, A–B₁ y B₂–C; la medida combinada de B₁ y B₂ (con cuatro posibles resultados) implica el entrelazamiento de A y C. En el experimento se elige de forma aleatoria entre tres medidas cuánticas para A y seis para C, cuyos resultados dependen de los cuatro resultados para la medida combinada de B₁ y B₂. El análisis es engorroso, aunque no muy complicado.

El resultado es una medida tipo Bell con una desigualdad CHSH ≤ 6 para el caso clásico, CHSH ≤ 7.66 para el caso cuántico real, y CHSH ≤ 8.49 para el caso cuántico (complejo). El experimento que usa cúbits superconductores ha estimado CHSH = 8.09 ± 0.01, que está a 43 sigmas del valor 7.66; el otro experimento, que usa fotones, estima un resultado similar pero solo a 4.7 sigmas; en ambos casos el resultado observado está de acuerdo con las expectativas según las simulaciones numéricas que tienen en cuenta la eficiencia de los detectores. Roger Penrose, premio Nobel de Física en 2020, dedica gran parte de su libro «El camino a la realidad» (2007) a justificar el uso de los números complejos para entender la Naturaleza. Sin lugar a dudas, disfrutará incluyendo estos experimentos a una futura segunda edición de su libro.

Los artículos son Marc-Olivier Renou, …, Antonio Acín, Miguel Navascués, «Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified,» Nature (15 Dec 2021), doi: https://doi.org/10.1038/s41586-021-04160-4, arXiv:2101.10873 [quant-ph] (26 Jan 2021); por cierto, Renou y Acín está afiliados al ICFO (Institut de Ciencies Fotoniques) de Barcelona). Los experimentos aparecen en Zheng-Da Li, …, Antonio Acín, …, Jingyun Fan, «Testing real quantum theory in an optical quantum network,» Phys. Rev. Lett. (In Press), arXiv:2111.15128 [quant-ph] (30 Nov 2021), y Ming-Cheng Chen, …, Adan Cabello, …, Jian-Wei Pan, «Ruling out real-number description of quantum mechanics,» Phys. Rev. Lett. (In Press), arXiv:2103.08123 [quant-ph] (15 Mar 2021); por cierto, Cabello está afiliado a la Universidad de Sevilla. Más información divulgativa en William K. Wootters, «Alternatives to standard quantum theory ruled out,» Nature 600: 607-608 (15 Dec 2021), doi: https://doi.org/10.1038/d41586-021-03678-x.

No voy a repasar todos los postulados de la mecánica cuántica, solo destacaré el postulado clave en este trabajo. Dicho postulado nos permite combinar dos sistemas espacialmente separados (como en un experimento tipo EPR): el espacio de Hilbert del sistema combinado es el producto tensorial de los espacios de Hilbert individuales (ℋ_ST = ℋ_S ⊗ ℋ_T); esto significa que si medimos el sistema S el resultado no influye en una medida del sistema T realizada antes de que una señal con el primer resultado pueda alcanzar al segundo sistema, incluso si dicha señal se propaga a la velocidad de la luz en el vacío. Este postulado es clave en la compatibilidad entre la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, por ejemplo, en teoría cuántica de campos.

En la formulación de Dirac y von Neumann de la mecánica cuántica los espacios de Hilbert ℋ_S y ℋ_T son complejos, y el producto tensorial ⊗ = ⊗_ℂ es compatible con su estructura compleja. En las teorías alternativas a la mecánica cuántica formuladas usando números reales, los espacios de Hilbert ℋ_S y ℋ_T son reales (con mayor dimensión que los complejos), y el producto tensorial ⊗ = ⊗_ℝ es compatible con su estructura real; por sorprendente que parezca estos productos tensoriales son diferentes ⊗_ℂ ≠ ⊗_ℝ. La idea del nuevo experimento propuesto por Antonio Acín (ICFO, Barcelona) y sus colegas en Nature es aprovechar esta sutil diferencia.

Para que el postulado de la separación espacial muestre una diferencia hay que considerar un experimento de tipo Bell, en el que se realizan tres experimentos espacialmente separados con dos parejas de partículas entrelazadas (como ilustra esta figura). El estado de estas partículas es medido por tres observadores que usan tres bases diferentes, sean x para Alice que mide la partícula A, y para Bob que mide B₁ y B₂, y z para Charlie que mide C; Alice puede realizar tres medidas diferentes en la base x, Charlie puede realizar seis medidas diferentes en la base z, mientras Bob solo puede realizar una medida posible de los dos cúbits que recibe. Bob obtendrá cuatro posibles resultados, mientras Alice y Charlie obtendrán solo dos posibles resultados (que dependerán del resultado que haya obtenido Bob). Como Alice y Charlie realizan elecciones aleatorias en las entradas de sus medidores, hay dieciocho posibles medidas. El análisis de todas estas posibilidades es engorroso y se detalla en la información suplementaria del artículo en Nature (donde se cita como teorema).

No voy a entrar en una discusión matemática de las medidas de tipo Bell usando una desigualdad de tipo CHSH que se usan en el nuevo experimento. Aún así, te recuerdo que el experimento CHSH estándar con dos cúbits entrelazados medidos en dos lugares espacialmente separados conduce a la desigualdad CHSH(2) = CHSH(1,2;1,2) ≤ 2 para una teoría clásica de variables ocultas; siendo el resultado cuántico CHSH(2) > 2. En el nuevo artículo se usa una versión con dos parejas de cúbits entrelazados medidos en tres lugares que conduce a la expresión CHSH(3) ≤ 6 para el caso clásico, con CHSH(3) = CHSH(1,2;1,2) + CHSH(1,3;3,4) + CHSH(2,3;5,6), donde los dos primeros números entre 1 y 3, y los dos segundos números entre 1 y 6 corresponden a las posibles medidas de Alice y Charlie. En el caso cuántico (complejo) se cumple que CHSH(3) ≤ 6 √2 = 8.485, sin embargo, cuando se opera usando el producto tensorial real se obtiene para el caso cuántico real la desigualdad CHSH(3) ≤ 7.661 para el caso cuántico real.

En el experimento firmado por Adán Cabello (Univ. Sevilla) y sus colegas chinos se usan cúbits superconductores de muy alta fidelidad, lo que permite realizar el experimento con un resultado de gran eficiencia. El resultado obtenido CHSH(3) = 8.09 ± 0.01, se encuentra a  (8.09 − 7.66)/0.01 = 43 desviaciones estándares (que equivalen a tantas sigmas de significación estadística contra la hipótesis nula, es decir, que CHSH(3) ≤ 7.66). Obviamente este experimento presenta un buen número de escapatorias (loopholes), que se tratarán de resolver en futuras implementaciones; por ello, hay que coger con una pizca de sal el número de 43 sigmas. Aún así, podemos afirmar sin rubor que se han superado las 5 sigmas.

En el experimento óptico firmado por Antonio Acín (ICFO) y sus colegas se usa la polarización de fotones entrelazados como cúbits. En lugar de estimar CHSH(3) se estima un coeficiente de correlación de tipo Bell llamado W (no entraré en su definición), que para la mecánica cuántica (compleja) es W(ℂ) ≤ (6 √2 − 4)/5 = 0.8971, y para la cuántica real es W(ℝ) ≤ 0.7486.

El resultado experimental observado es W(EXP) = 0.8508 ± 0.0218, que excede a W(ℝ) en  (0.8508 − 0.7486)/0.0218 = 4.69 desviaciones estándares (casi cinco sigmas). Si bien puede parecer mucho menos que en el otro experimento, como la limitación es la tecnología usada, lo más relevante es que ambos resultados se complementan reforzándose mutuamente. Además, hay diferencias entre las escapatorias (loopholes) en ambos experimentos, lo que refuerza la confianza en el resultado proclamado.

Para acabar, me gustaría recordar que la futura internet cuántica permitirá realizar este tipo de experimentos usando muchos más pares de cúbits entrelazados; aunque los cálculos se vuelven mucho más engorrosos, no dejan de ser directos. Así se podrán esquivar muchas de las escapatorias asociadas a los experimentos de tipo Bell. Sin lugar a dudas en los próximos años se publicarán nuevos experimentos que refuercen la necesidad de números complejos en la mecánica cuántica.