Gran éxito matemático en la turbulencia de pared, deducen las leyes de escala con la teoría de simetrías de Lie

Por Francisco R. Villatoro, el 6 febrero, 2022. Categoría(s): Ciencia • Física • Noticias • Physics • Science ✎ 17

La turbulencia es el problema abierto más importante de toda la Física Clásica. El flujo turbulento solo se puede describir de forma estadística; el objetivo es obtener leyes de escala para los momentos estadísticos de la velocidad, temperatura y demás magnitudes. Se publica en Physical Review Letters  la primera aplicación exitosa de la teoría de simetrías de Lie a la turbulencia en el flujo de Poiseuille isotérmico; a partir de las ecuaciones para los momentos se han derivado las leyes de escala (o soluciones invariantes) que describen el flujo turbulento en el centro de un canal (flujo libre) y en la capa límite cerca de la pared (flujo logarítmico). Para el flujo libre todos los momentos están determinados por leyes de potencia que dependen de los dos primeros momentos. Para el flujo logarítmico se ha demostrado que la ley de potencias sugerida por von Kárman en 1930 resuelve las ecuaciones; además, se han obtenido leyes de potencia para todos los momentos, cuyos coeficientes coinciden con los del segundo momento. Los resultados se han validado con una simulación numérica con el código LISO para el mayor número de Reynolds de fricción hasta ahora, Reτ = 10 000, que ha generado 100 TB de datos y ha costado unos 50 millones de horas de CPU en 2048 procesadores.

Se ha estudiado la turbulencia en un flujo de Poiseuille en un canal formado por dos paredes planas paralelas; recuerda que este flujo está impulsado por una diferencia (gradiente) de presiones. Cerca de la pared se forma una capa límite, llamada capa logarítmica porque von Kármán (1930) propuso un perfil para la media de la velocidad (su primer momento) con la forma U(y+) = U[1](y+) = 1/κ+ log(y+) + B, donde y+ es la distancia a la pared, κ es la llamada constante de von Kármán, B es una constante y log es el logaritmo neperiano. El análisis matemático usando grupos de simetría de Lie confirma permite derivar dicha ley de forma rigurosa; además, la nueva simulación numérica presenta un plateau (no observado con claridad en simulaciones previas) que permite determinar con precisión la constantes κ = 0.394. Además, se demuestra que los momentos de mayor orden toman la forma U[n](y+) = Cn (y+)ω (n-1) − Bn, con Cn = α eβ n, y Bn = γ eδ n, para n ≥ 2, donde la simulaciones numéricas permiten estimar las constantes en esta expresión, que son independientes de n; por ejemplo, ω = 0.10.

El acuerdo entre las leyes de escala teóricas para los momentos estadísticos y las predicciones numéricas es impresionante (como ilustra la figura, donde los puntos negros corresponden a la simulación con Reτ = 10 000 y los rojos a Reτ = 5200). Por primera vez se ha conseguido una demostración matemática de estas leyes de escala a partir de primeros principios gracias a la teoría de simetrías. Todo un hito en el campo de la turbulencia. El artículo con el análisis matemático usando simetrías es Martin Oberlack, Sergio Hoyas, …, Jonathan Laux, «Turbulence Statistics of Arbitrary Moments of Wall-Bounded Shear Flows: A Symmetry Approach,» Physical Review Letters 128: 024502 (10 Jan 2022), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.128.024502; las simulaciones numéricas se han publicado en Sergio Hoyas, Martin Oberlack, …, Jonathan Laux, «Wall turbulence at high friction Reynolds numbers,»  Physical Review Fluids 7: 014602 (10 Jan 2022), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.7.014602. Por cierto, estos trabajos se enmarcan en la tesis doctoral de Francisco Alcántara-Ávila, «Study of the Thermal Field of Turbulent Channel Flows Via Direct Numerical Simulations», Universidad Politécnica de Valencia (21 dic 2021) [RiuNet UPV], dirigida por Sergio Hoyas, Catedrático de Universidad en el Departamento de Máquinas y Motores Térmicos de dicha universidad; por cierto, Hoyas fue contratado postdoctoral Juan de La Cierva (entre 2005 y 2007) en el grupo de Javier Jiménez Sendín, hoy ya emérito en la ETSI de Aeronáuticos de la Universidad Politécnica de Madrid.

En este blog le tenemos mucho aprecio al trabajo de Jiménez y de Hoyas en turbulencia de pared. Te recomiendo leer «Un modelo excepcionalmente simple capaz de incorporar los efectos de la turbulencia de pared», LCMF, 09 jul 2010; «Se observa la cascada hacia la turbulencia de Kolmogorov», LCMF, 23 ago 2017; «Para qué se necesita un superordenador que alcance el exaflop», LCMF, 27 ene 2012; «Jornada sobre Supercomputación en España – E.T.S.I. Aeronáuticos de Madrid», LCMF, 26 mar 2009.

[PS 16 feb 2022] Se ha publicado en arXiv una crítica de Michael Frewer a este trabajo de Oberlack et al. He comprobado que lleva una década criticando de forma sistemática los trabajos de Martin Oberlack. La comunidad científica considera sus críticas como irrelevantes y sesgadas por cuestiones personales. Por ello omito aquí más referencias a dicha crítica infundada. [/PS]

Decía Richard Feynman en el Volumen 1 de sus Lecciones de Física (Feynman Lectures on Physics): «Hay un problema físico que es común a muchos campos, que es muy viejo y que no ha sido resuelto. [Nadie] en la Física ha sido realmente capaz de analizarlo matemáticamente en forma satisfactoria a pesar de su importancia para las ciencias humanas. Es el análisis de fluidos circulantes o turbulentos» (página 3-11). Más aún, una leyenda urbana afirma que, en su lecho de muerte, Werner Heisenberg dijo que «cuando me encuentre con Dios le voy a plantear dos preguntas: ¿por qué la relatividad es tan compleja? y ¿cómo se explica la turbulencia? Creo que Dios solo tendrá una respuesta para la primera». Las leyendas urbanas también atribuyen esta frase al físico de fluidos Horace Lamb, e incluso al omnicitado Albert Einstein.

Un concepto muy básico en estadística son los momentos, que generalizan la media (el primer momento); el n-ésimo momento X[n] de una variable estadística X es la esperanza E[Xn]. A veces se usan los momentos centrales, que generalizan la varianza (el segundo momento central); el n-ésimo momento central es la esperanza E[(X−E[X])n]. La descripción estadística del flujo turbulento se puede realizar recurriendo a los momentos estadísticos de la velocidad U[n](x) en cierto punto (cuando la turbulencia se dice desarrollada se tiene que ∂U[n](x,t)/∂t = 0); también se usan los momentos multipunto, que correlacionan la velocidad en más de un punto. En ambos casos, las ecuaciones de Navier–Stokes conducen a una secuencia infinita de ecuaciones en derivadas parciales para los momentos de la velocidad (tanto monopunto, como multipunto); la ecuación para el primer momento se suele llamar ecuación RANS (Reynolds averaged Navier–Stokes, o promediado de Reynolds de las ecuaciones de Navier–Stokes).

Por cierto, los primeros estudios serios sobre la turbulencia fueron desarrollados por Reynolds (1883), quien introdujo su famoso número adimensional Re = h U/ν, donde h es la longitud característica del problema (p. ej. el diámetro del tubo), U es la velocidad media del fluido y ν es la viscosidad cinemática; este número caracteriza el cociente entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Para un Re ≳ 1000 se produce una transición gradual entre flujo laminar y turbulento. En el estudio de la turbulencia de pared en el flujo de Poiseuille se usa el número de Reynolds de fricción, Reτ = δUτ/ν, a veces llamado número de Kármán, que es el cociente entre la escala de la capa límite pegada a la pared y la escala principal asociada al flujo; en concreto, la primera escala está dada por δ, la anchura de la capa límite (la distancia a la pared a partir de la cual el flujo puede considerarse libre) y la segunda por ν/Uτ, donde ν es la viscosidad cinemática y Uτ = (τ0/ρ)1/2 es la velocidad asociada a la fricción, donde τ0 es el esfuerzo cortante medio asociada a la pared y ρ es la densidad del fluido.

En laboratorio se alcanzan valores de Reτ = 20 000, y en ciertos sistemas físicos naturales se estiman valores de Reτ > 106. Sin embargo, el análisis estadístico del fluido usando marcadores, en ambos casos, es muy complicado, siendo muy difícil obtener estimaciones precisas de los momentos estadísticos. La alternativa es el uso de simulaciones numéricas directas (DNS) de las ecuaciones de Navier–Stokes, lo que requiere el uso de supercomputadores (en ingeniería se usan códigos de simulación de fluidos comerciales, que aproximan el régimen turbulento con leyes fenomenológicas derivadas a partir de las simulaciones DNS). En el régimen turbulento las simulaciones DNS requieren valores altos del número de Reynolds de fricción; en los nuevos artículos se estudia una simulación con un valor récord de Reτ = 10 000. Como siempre, la gran ventaja de estas simulaciones numéricas es que se pueden estimar con precisión los momentos estadísticos de alto orden, así como muchas otras propiedades del flujo turbulento.

La condición inicial de las simulaciones DNS con alto Reτ se basa en simulaciones previas con menor Reτ. No pretendo entrar en detalles más técnicos sobre las simulaciones, como la relación entre el número de incógnitas y el valor de Reτ; solo quiero destacar que para la validación de las leyes de escala es necesario observar el plateau en una función de diagnóstico (ver la figura, arriba a la derecha) asociada al flujo logarítmico de von Kárman (que fue derivada bajo la condición Reτ → ∞). En las figuras (parte de arriba) se observa dicho plateau para 400 < y+ < 2500 para Reτ = 10 000 (curva negra), que permite estimar de forma precisa la constante κ de von Kármán; dicho plateau no se observa de forma tan clara para Reτ = 5 000 (curva verde) y ni siquiera se observa para valores menores Reτ.

El hito logrado en este trabajo de Alcántara-Ávila, Hoyas y sus colaboradores es la derivación matemática rigurosa de las leyes de escala para momentos de alto orden. Supongo que ya sabrás que las ecuaciones diferenciales presentan simetrías continuas, es decir, mantienen su forma cuando se realizan cambios de variable adecuados. Estas simetrías están asociadas a ciertas soluciones, llamadas soluciones invariantes, que no cambian al aplicar dichas simetrías. Sophus Lie (1881) introdujo los grupos de Lie para estudiar estas simetrías en ecuaciones diferenciales ordinarias; su trabajo de finales del siglo XIX también se pueden aplicar a ecuaciones en derivadas parciales, como las ecuaciones de Navier–Stokes (NS).

El foco en el estudio de la turbulencia son las infinitas ecuaciones de NS promedidas para los momentos estadísticos; dichas ecuaciones estacionarias (no dependen del tiempo) presentan simetrías matemáticas que no pueden ser identificadas en las ecuaciones de NS originales. La aplicación del análisis de simetrías de Lie a dichas ecuaciones en derivadas parciales permite obtener las llamadas soluciones invariantes, que en turbulencia se suelen llamar leyes de escala. El primer autor del nuevo trabajo, Martin Oberlack, junto con quien Alcántara-Ávila realizó una estancia internacional durante su tesis doctoral, lleva investigando sobre la aplicación del análisis de simetría de Lie a las ecuaciones de Navier–Stokes en régimen turbulento desde el año 2001; así, el nuevo trabajo es la culminación de una investigación que se ha prologando durante dos décadas.

No creo necesario entrar en una descripción detallada de la aplicación del análisis de simetrías de Lie a las ecuaciones de los momentos. Los interesados pueden disfrutar de la tesis doctoral de Alcántara-Ávila, ya que el resumen presentado en el artículo en Physical Review Letters, en su brevedad, no hace justicia al trabajo realizado. De hecho, una de las grandes ventajas del análisis de Lie es su aparente simplicidad; como es obvio, si este problema matemático ha estado abierto durante un siglo es porque su simplicidad es solo aparente.

Las nuevas leyes de escala han sido validadas con la simulación numérica del flujo de Poiseuille para Reτ = 10 000. Esta figura ilustra el excelente acuerdo obtenido entre 400 < y+ < 2500 para los primeros cinco momentos de alto orden 2 ≤ n ≤ 6 (en nuestra notación desde U[2] hasta U[6]). A partir de esta figura podría parecer que el acuerdo también se da más allá de este intervalo, sin embargo, esto último es solo aparente; una de las muchas sutilezas que presenta el estudio de leyes de potencia es que en una escala doblemente logarítmica las pequeñas desviaciones se diluyen.

Para confirmar el buen acuerdo hay que usar una función de diagnóstico adecuada, en este caso, Γn = (y+/(U[n] + Bn)) dU[n]/dy+ = ω (n-1). Esta figura muestra la función de diagnóstico Γn para los primeros seis momentos, confirmando el buen acuerdo para 400 < y+ < 2500, con un error menor del 2.1 %. No quiero presentar toda la validación presentada, solo destacar que también se ha verificado que los coeficientes Cn y Bn tienen la forma predicha.

Sin entrar en más detalles, hay que resaltar dos conclusiones relativas a las aplicaciones prácticas en ingeniería de estos resultados. Por un lado, que las leyes de escala para los dos primeros momentos son suficientes para determinar las de todos los momentos de mayor orden; así la estimación de los coeficientes κ y ω en la región de flujo logarítmico determina el perfil turbulento del flujo. Y, por otro lado, que las simetrías estadísticas observadas en el flujo con turbulencia desarrollada deberían ser incorporadas a los modelos de turbulencia que se usan en los códigos simuladores de ingeniería computacional de fluidos; de esta forma se garantiza que dichos modelos fenomenológicos describen las leyes de escala de forma correcta.

En resumen, todo un hito en el campo de la turbulencia que seguro que será el germen de muchos otras investigaciones en las que se apliquen el análisis de simetrías de Lie a las ecuaciones de la turbulencia para otros regímenes del fluido. Espero que no hagan falta muchos años para que estas técnicas se apliquen a la turbulencia magnetohidrodinámica de enorme importancia en el campo de la astrofísica.



17 Comentarios

  1. Hola Francis, aunque no entiendo ni papa de muchas cosas, leo tus artículos y os sigo Coffee Break porque me encanta la ciencia y en especial la física. Agradezco un montón el esfuerzo que hacéis por divulgar vuestros conocimientos y las novedades que aparecen.
    Un abrazo

    1. El cuñado y amigo Pit, Joe, en la obra de Dickens Grandes esperanza, decía que nada lo hacía más feliz que un libro o un períodico en donde encontrar un J y una O y exclamar ¡oh, aqui dice Joe! Asi nos pasa algunos con artículos como este al cual tratamos de rasgarlos a ver si se nos queda algo en las uñas. Eso nos hace feliz!

      1. Qué alegría ver este artículo Francis, te sigo desde hace años tanto en el blog como en las tertulias de Coffee Break.

        Bien, Hoyas fue mi director de TFG hace poco tiempo, y trabajamos con este mismo código LISO intentando optimizarlo para el Reynolds de 10k que comentas con los 2048 cores, lo disfruté y aprendí mucho.

        Sin duda el mundo de la turbulencia y los fluidos es complejo pero apasionante.

    1. Muy interesante y de gran ayuda este artículo para mis estudios del campo magnético sobre fluidos iónicos sometidos a termoturbulencia y que no alcanzan la viscosidad plasmatica.

    2. Hola Francis
      Siempre me pareció extremadamente compleja la mecánica de fluidos. No tuve la oportunidad de estudiarla en la U pero si tuve el curso básico que se les imparte a todos los que estudian ingeniería. Te agradezco el esfuerzo de compartir con la comunidad este espectacular avance.
      Quería consultar tu impresión si este gran desarrollo tendría alguna aplicación en el estudio del comportamiento del plasma en los reactores nucleares de Fusión tales como los del tipo Tokamac o Stellarator(que tengo entendido tienen uno en España.
      Saludos desde Chile

      1. Iván, la turbulencia de pared no tiene aplicaciones en el estudio de los plasmas en reactores de fusión (tokamaks o stellerators). En tokamaks como ITER se observará microturbulencia, fluctuaciones de los campos electromagnéticos en el plasma que afectan al transporte de iones en el plasma, una fuente de pérdidas que debe ser tenida en cuenta. Su estudio requiere simulaciones magnetohidrodinámicas, que en este contexto se suelen realizar usando un modelo giroquinético (muy alejado de los modelos usados en turbulencia de pared). Por supuesto, la aplicación de la teoría de simetrías de Lie a este tipo de flujo podría tener impacto en el campo de la energía de fusión; pero no me consta que haya investigadores trabajando en ello.

  2. Una pregunta que no tiene nada que ver con este magnífico artículo y sobre los fotones que emergen del Sol. Quería saber porque los fotones tardan tanto tiempo en salir del centro del Sol como rayos gamma y chocando yendo a la superficie perdiendo energía tardando cientos de millones años y en cambio, cuando se describe la fotosíntesis desde el punto de vista cuántico, parece que el tránsito dentro de la planta es eficaz en rapidez porque transita como onda. ¿ Por qué no pasa lo mismo dentro del Sol? Gracias

    1. Khinecapa, cuidado, la física cuántica de la fotosíntesis está en el transporte de electrones, tras la recepción de un fotón; no hay transporte de ningún fotón. En cuanto al Sol, la densidad del plasma de electrones y núcleos es tan grande que los fotones solo pueden recorrer de forma libre algo así como un centímetro antes de interaccionar con un electrón, que lo absorbe y lo reemite en una dirección aleatoria; así se produce el largo camino aleatorio que recorren los fotones para escapar del plasma solar. Las dos cuestiones que comentas no están relacionadas en ningún sentido.

  3. Sin menospreciar para nada el paper y la increíble simulación numérica, el hecho de que elijan la fricción velocity u_tau como parámetro donde se rompe la simetría parece «trampa», ya que para definir dicha velocidad hay que asumir que la velocidad cerca de la pared no depende del espesor de la capa límite. Así que ya están introduciendo el escalado de forma empírica y no sale directamente de las ecuaciones estadísticas (pero si de análisis dimensional de las NS). Aunque seguramente esté equivocado y no haya entendido todo!

  4. Aúpa Francis,
    Que opinión tienes en la aplicación de las turbulencias de la sangre en las arterias y venas y sobre todo en las importantes turbulencias en la arteria aórtica.
    Un saludo muy cordial.

    1. Andoni, como bien sabrás la sangre es un fluido no newtoniano en régimen forzado, con un caudal pulsátil por el ritmo cardíaco. La hipótesis habitual es que la turbulencia en el flujo sanguíneo está limitada al entorno de las bifurcaciones de los vasos sanguíneos y a condiciones patológicas, como las estenosis; así, la turbulencia sería transitoria siendo el flujo típico laminar.

      Algunos trabajos han puesto en duda la hipótesis de flujo laminar (como Khalid M. Saqr et al., «Physiologic blood flow is turbulent,» Scientific Reports 10: 15492 (23 Sep 2020), doi: https://www.nature.com/articles/s41598-020-72309-8), pero no me consta que haya un consenso sobre la relevancia de la la aplicación de la turbulencia al flujo sanguínea (salvo en los transitorios ya indicados).

Deja un comentario