Hoy 5 de julio de 2022 se han anunciado los premios de la IMU (Unión Matemática Internacional) en el ICM 2022 online (Congreso Internacional de Matemáticos), destacando las cuatro Medallas de Fields (que se conceden cada cuatro años a matemáticos de menos de 40 años). Pocos dudaban de que la matemática ucraniana Maryna Viazovska (Kiev, Ucrania; 1984) lograría el galardón, siendo la segunda mujer en recibirlo y, por desgracia, la única viva en este momento. Tampoco había dudas sobre James Maynard (Chelmsford, Inglaterra; 1987) el más conocido y reconocido de los cuatro galardonados. No estaba tan claro, aunque eran firmes candidatos, los otros dos galardonados, el estadounidense de origen coreano June Huh (California, EE UU; 1983) y el francés Hugo Duminil-Copin (Châtenay-Malabry, Francia; 1985). Sin que sirva de precedente, este cuarteto era mi predicción (LCMF, 12 jun 2022). Así que he acertado, por primera vez, y quizás por casualidad, los cuatro galardonados. Según Héctor Vives @DarkSapiens «confirmamos definitivamente que tienes máquina del tiempo».

La medalla Abacus (antiguo premio Rolf Nevanlinna) a la matemática computacional ha sido otorgada al israelí Mark Braverman (Perm, Rusia; 1984). La medalla Chern ha recaído en Barry Mazur (New York, EE UU; 1937). El premio Carl Friedrich Gauss en Elliott H. Lieb (Boston, EE UU; 1932). Y, finalmente, el premio Leelavati en Nikolai Andreev (Sarátov, Rusia; 1975). Si tengo tiempo, en los próximos días escribiré una pieza sobre estos otros galardonados.

Maryna Viazovska ha recibido la Medalla Fields por su demostración de que la red E₈ es el empaquetamiento más denso de esferas idénticas en dimensión 8, y por sus contribuciones posteriores en problemas extremales y problemas de interpolación en análisis de Fourier. El empaquetamiento de esferas se puso de moda en 1998 tras la demostración (asistida por ordenador) de la conjetura de Kepler por Hales. Cohn y Elkies en 2003 usaron la fórmula de la suma de Poisson para obtener una cota superior para la densidad de esferas en empaquetamientos de cualquier dimensión; está basada en una función de Schwartz (infinitamente diferenciable), que se suele llamar función radial de Schwartz, con propiedades muy especiales (esta función y su transformada de Fourier se anulan para las longitudes de los vectores base de los empaquetamientos óptimos en dichas dimensiones); si existía, esta función sería la solución de cierto problema de programación lineal, lo que permitía obtener aproximaciones numéricas para sus valores. Sorprendentemente la cota obtenida era muy buena para dimensiones 1, 2, 3, 8 y 24.

Muchos matemáticos pensaban que encontrar una expresión matemática cerrada para la función de Schwartz rayaba lo imposible. Pero tras 13 años de intenso trabajo, la genial Viazovska obtuvo en 2016 una expresión cerrada para la función radial de Schwartz en dimensión 8 usando la teoría de formas modulares. Lo que parecía imposible se había hecho posible en una expresión de una gran belleza y aparente simplicidad basada en formas cuasimodulares. Más aún, su técnica permitió hacer lo mismo en dimensión 24 y demostrar que la red de Leech Λ₂₄ es el empaquetamiento óptimo en dicha dimensión (artículo suyo junto a Cohn, Kumar, Miller y Radchenko). Trabajos posteriores, sobre todo con Radchenko, han demostrado muchos resultados inesperados y fascinantes sobre las propiedades funciones de Schwartz en dimensión arbitraria. La «mágica» demostración de Viazovska de la solución del problema del empaquetamiento en dimensiones 8 y 24 no nos debe cegar, la resolución de este problema en otras dimensiones sigue siendo uno de los grandes problemas abiertos de la matemática del siglo XXI. Y se trata de un problema con múltiples aplicaciones prácticas. Quizás la demostración de Viazovska contiene «secretos» que serán claves en su resolución; o quizás sea necesario un nuevo genio, quizás de nuevo una mujer, para lograrlo.

Los artículos galardonados son Maryna Viazovska, «The sphere packing problem in dimension 8,» Annals of Mathematics 185: 991-1015 (2017), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7, arXiv:1603.04246 [math.NT] (14 Mar 2016); Henry Cohn, Abhinav Kumar, …, Maryna Viazovska, «The sphere packing problem in dimension 24,» Annals of Mathematics 185: 1017-1033 (2017), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8, arXiv:1603.06518 [math.NT] (21 Mar 2016); Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, «Fourier interpolation on the real line,» Publications Mathématiques de l’IHÉS 129: 51-81 (2019), doi: https://doi.org/10.1007/s10240-018-0101-z, arXiv:1701.00265 [math.NT] (01 Jan 2017); Andrew Bakan, …, Alfonso Montes-Rodríguez, …, Maryna Viazovska, «Fourier uniqueness in even dimensions,» PNAS 118: e2023227118 (2021), doi: https://doi.org/10.1073/pnas.2023227118, arXiv:2007.03981 [math.FA] (08 Jul 2020); entre otros. Por cierto, Alfonso Montes-Rodríguez es de la Universidad de Sevilla.

Más información en Andrei Okounkov, «The magic of 8 and 24,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/203 [PDF], nos resume en 53 páginas el trabajo de Viazovska en empaquetamiento de esferas empezando por el principio. Los que prefieran algo más resumido, pero más técnico, disfrutarán de las 24 páginas de Henry Cohn, «The work of Maryna,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/213 [PDF]. Y por supuesto del resumen de la propia Maryna Viazovska, «On discrete Fourier uniqueness sets in Euclidean space,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/207 [PDF].

Quienes prefieren algo más divulgativo pueden recurrir a Marianne Freiberger, «The Fields Medals 2022: Maryna Viazovska,» plus.maths.org, 05 Jul 2022,y «A short introduction to the work of Maryna Viazovska,» plus.maths.org, 05 Jul 2022. También recomiendo la excelente pieza de Thomas Lin, Erica Klarreich, «In Times of Scarcity, War and Peace, a Ukrainian Finds the Magic in Math. With her homeland mired in war, the sphere-packing number theorist Maryna Viazovska has become the second woman to win a Fields Medal in the award’s 86-year history,» Quanta Magazine, 05 Jul 2022. Y la entrevista de Andrei Okounkov, Andrei Konyaev, «Maryna Viazovska Interview,» 05 Jul 2022 [PDF].

James Maynard ha recibido la Medalla Fields por sus múltiples contribuciones a la teoría analítica de números, con grandes avances en nuestra comprensión de la distribución de los números primos, en concreto sobre los saltos (gaps) entre primos, generalizando el famoso resultado obtenido por Zhang en 2013 que puso una cota de 70 millones, más tarde rebajada a solo 246 por un trabajo coral liderado por Maynard y Tao. Maynard demostró que para cada natural 𝑚 ≥ 2, existe un número positivo 𝐶(𝑚) tal que hay infinitos números naturales n tales que en el intervalo [𝑛, 𝑛+𝐶(𝑚)] hay al menos 𝑚 números primos; este tipo de resultados se espera que ayuden algún día a demostrar la famosa conjetura de los primos gemelos. Erdős y Rankin demostraron en los 1930 que existe una constante 𝐶>0 se tiene que para todo 𝑝_𝑛 ≤𝑋, el max (𝑝_𝑛+1 − 𝑝_𝑛)  ≥ 𝐶 log 𝑋 (log log 𝑋) (log log log log 𝑋)/(log log log 𝑋)²; Erdős ofreció diez mil dólares a quien eliminara la potencia de dos en el denominador; en 2014, Ford, Green, Konyagin, Maynard y Tao lo lograron, probando que para todo 𝑝_𝑛 ≤𝑋, el max (𝑝_𝑛+1 − 𝑝_𝑛)  ≥ 𝐶 log 𝑋 (log log 𝑋) (log log log log 𝑋)/(log log log 𝑋).

También se mencionan otras contribuciones de Maynard, como su teorema sobre la distribución de dígitos en números primos, en concreto, que hay infinitos números primos entre cuyos dígitos no se encuentra el dígito 7. Y su reciente demostración de la conjetura de Duffin–Schaeffer de 1941 (una generalización del teorema de Khintchine), resultado fundamental en el campo de las llamadas aproximaciones diofánticas, es decir, cómo aproximar números reales con números racionales. Hoy en día Maynard es uno de los grandes «motores» teoría analítica de números.

Los artículos galardonados son James Maynard, «Small gaps between primes,» Annals of Mathematics 181: 383-413 (2015), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2015.181.1.7, arXiv:1311.4600 [math.NT] (19 Nov 2013); K. Ford, B. Green, S. Konyagin, J. Maynard, T. Tao, «Long gaps between primes,» Journal of the American Mathematical Society. 31: 65-105 (2018), d0i: https://doi.org/10.1090/jams/876, arXiv:1412.5029 [math.NT] (16 Dec 2014); James Maynard, «Primes with restricted digits,» Inventiones Mathematicae 217: 127-218 (2019), doi: https://doi.org/10.1007/s00222-019-00865-6, arXiv:1604.01041 [math.NT] (04 Apr 2016); Dimitris Koukoulopoulos, James Maynard, «On the Duffin-Schaeffer conjecture,» Annals of Mathematics 192: 251-307 (2020), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2020.192.1.5, arXiv:1907.04593 [math.NT] (10 Jul 2019); entre otros.

Más información en Andrei Okounkov, «Rhymes in primes,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/202 [PDF]; Kannan Soundararajan, «The work of James Maynard,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/212 [PDF]; James Maynard, «Counting primes,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/206 [PDF].

Quienes prefieren algo más divulgativo pueden recurrir a Rachel Thomas, «A short introduction to the work of James Maynard,» plus.maths.org, 05 Jul 2022; «The Fields Medals 2022: James Maynard,» plus.maths.org, 05 Jul 2022 [PDF]; y a la excelente pieza de Erica Klarreich, «A Solver of the Hardest Easy Problems About Prime Numbers. On his way to winning a Fields Medal, James Maynard has cut a path through simple-sounding questions about prime numbers that have stumped mathematicians for centuries,» Quanta Magazine, 05 Jul 2022. Y la entrevista de Andrei Okounkov, Andrei Konyaev, «James Maynard Interview,» 05 Jul 2022 [PDF].

June Huh ha recibido la Medalla Fields por su aplicación de ideas de la teoría de Hodge, la geometría tropical y la teoría de singularidades que han revolucionado el campo de la geometría combinatoria. Se menciona la demostración en 2009 de la conjetura de Read de 1968 sobre la unimodularidad de los coeficientes del polinomio cromático asociado al coloreado de un grafo (el polinomio cuenta el número de formas en que se puede colorear el grafo usando cierto número de colores sin que dos vértices adyacentes tengan el mismo color); para algunos un resultado que inició una nueva era en el campo de la geometría discreta. Una matroide es una abstracción del concepto de independencia lineal en conjuntos de vectores en un espacio vectorial; asociado a una matroide hay un polinomio característico similar al polinomio cromático de un grafo. Karim Adiprasito, Eric Katz y Huh demostraron la conjetura de Heron–Rota–Welsh de 1970 (una generalización de la conjetura de Read) sobre la log-concavidad de los coeficientes del polinomio característico de una matroide, para lo que usaron ideas de la teoría de Hodge; la demostración se considera todo un tour de force y está basada en una ingeniosa generalización de las relaciones de Hodge–Riemann para matroides arbitrarias.

Además, se galardona su demostración en 2017 junto a Botong Wang de la conjetura de Dowling–Wilson de 1975 usando geometría algebraica y teoría de intersecciones; una gran sorpresa ha sido que dicho resultado se generaliza a matroides arbitrarios, como han demostrado Braden, Huh, Matherne, Proudfoot y Wang en 2020. Junto a Petter Brändén ha desarrollado la teoría de polinomios lorentzianos, que conecta el análisis convexo continuo y discreto usando la geometría tropical. También han demostrado la conjetura fuerte de Mason de 1972 para matroides. Muchos de estos resultados sobre matroides tienen aplicaciones en teoría de algoritmos, matemática física, mecánica estadística, etc. Sin lugar a dudas es sorprendente que resultados tan abstractos tengan aplicaciones que podríamos llamar «prácticas».

Los artículos galardonados son June Huh, «Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs,» Journal of the American Mathematical Society 25 : 907-927 (2012), doi: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-2012-00731-0, arXiv:1008.4749 [math.AG] (27 Aug 2010); June Huh, Eric Katz, «Log-concavity of characteristic polynomials and the Bergman fan of matroids,» Mathematische Annalen 354: 1103-1116 (2012), doi: https://doi.org/10.1007/s00208-011-0777-6, arXiv:1104.2519 [math.CO] (13 Apr 2011); Karim Adiprasito, June Huh, Eric Katz, «Hodge theory for combinatorial geometries,» Annals of Mathematics 188: 381–452 (2018), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2018.188.2.1, arXiv:1511.02888 [math.CO] (09 Nov 2015); June Huh, Botong Wang, «Enumeration of points, lines, planes, etc.,» Acta Mathematica 218: 297-317 (2017), doi: https://doi.org/10.4310/ACTA.2017.v218.n2.a2, arXiv:1609.05484 [math.CO] (18 Sep 2016); June Huh, Benjamin Schröter, Botong Wang, «Correlation bounds for fields and matroids,» Journal of the European Mathematical Society 24: 1335-1351 (2022), doi: https://doi.org/10.4171/jems/1119, arXiv:1806.02675 [math.CO] (07 Jun 2018); Tom Braden, June Huh, …, Botong Wang, «Singular Hodge theory for combinatorial geometries,» arXiv:2010.06088 (13 Oct 2020), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2010.06088; Petter Brändén, June Huh, «Hodge–Riemann relations for Potts model partition functions,» arXiv:1811.01696 [math.CO] (05 Nov 2018), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1811.01696; entre otros.

Más información en Andrei Okounkov, «Combinatorial geometry,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/201 [PDF]; Gil Kalai, «The Work of June Huh,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/211 [PDF]; June Huh, «Combinatorics and Hodge theory,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/205 [PDF].

Quienes prefieren algo más divulgativo pueden recurrir a Marianne Freiberger, «A short introduction to the work of June Huh,» plus.maths.org, 05 Jul 2022; «The Fields Medals 2022: June Huh,» plus.maths.org, 05 Jul 2022; la excelente pieza de Jordana Cepelewicz, «He Dropped Out to Become a Poet. Now He’s Won a Fields Medal. June Huh wasn’t interested in mathematics until a chance encounter during his sixth year of college. Now his profound insights connecting combinatorics and geometry have led to math’s highest honor,» Quanta Magazine, 05 Jul 2022; y la entrevista de Andrei Okounkov, Andrei Konyaev, «June Huh Interview,» 05 Jul 2022 [PDF].

Hugo Duminil-Copin ha recibido la Medalla Fields por resolver varios problemas abiertos desde hace mucho tiempo en la teoría probabilística de transiciones de fase en física estadística, en dimensiones dos, tres y cuatro. El modelo de Ising (1925) describe un conjunto de imanes (espines) en interacción con solo dos estados; este modelo tan sencillo es integrable en dimensión dos (Ising ya obtuvo su solución) y describe una transición de fase a cierta temperatura crítica. Hoy en día se considera un modelo universal de muchas transiciones de fase. En más de cuatro dimensiones el modelo de Ising presenta la propiedad de trivialidad (que a gran escala la distribución de espines sigue una distribución de probabilidad gaussiana, es decir, una teoría de campos libre), como demostraron en 1982 de forma independiente Michael Aizenman y Juerg Fröhlich. ¿Qué pasa en dimensión tres y cuatro Junto con Aizenman demostró la trivialidad en dimensión cuatro, que ya se había conjeturado en 1972. Pero sus resultados más espectaculares, por lo inesperados, son en dimensión tres. Duminil-Copin y varios colegas han demostrado que la transición de fase es abrupta, pero continua en su parámetro.

En dimensión dos parecía que quedaba poco por hacer, pero Duminil-Copin y sus colegas han obtenido nuevos resultados para el modelo de Potts (1952), la generalización del modelo de Ising desde 2 estados hasta 𝑄>2 estados (es decir, a espín mayor de 1/2, aunque tratando el espín como una magnitud clásica discreta). En dos dimensiones el modelo de Potts con 𝑄 estados es continuo si y solo si 𝑄 ≤ 4 (se demostró la condición necesaria (el si) en 2017 y la condición suficiente (el solo si) en 2021). La demostración usa técnicas de campos cuánticos conformes en dos dimensiones, aprovechando que el modelo de Potts presenta invariancia conforme (al ser invariante ante traslaciones, rotaciones y reescalados). En dimensión dos Duminil-Copin y sus colegas también han estudiado ha estudiado la teoría de la percolación aplicada al modelo de Fortuin–Kasteleyn (FK), demostrando la universalidad de este modelo y caracterizando la continuidad (discontinuidad) de su transición de fase.

Los resultados matemáticamente rigurosos de Duminil-Copin en las teorías cuánticas de campos conformes en dos dimensiones se basan en las herramientas de la teoría constructiva de campos cuánticos descrita por los axiomas de Wightman (y usando el teorema de Osterwalder–Schrader). Los campos conformes se usan en un gran número de áres de la física teórica y fundamental, con lo que todos los resultados rigurosos, aún limitándose a dos dimensiones, tienen un gran repercusión en física matemática.

Los artículos galardonados son Michael Aizenman, Hugo Duminil-Copin, Vladas Sidoravicius, «Random Currents and Continuity of Ising Model’s Spontaneous Magnetization,» Communications in Mathematical Physics 334: 719-742 (2015), doi: https://doi.org/10.1007/s00220-014-2093-y, arXiv:1311.1937 [math-ph] (08 Nov 2013); Michael Aizenman, Hugo Duminil-Copin, «Marginal triviality of the scaling limits of critical 4D Ising and λϕ₄⁴ models,» Annals of Mathematics 194: 163-235 (2021), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2021.194.1.3, arXiv:1912.07973 [math-ph] (17 Dec 2019); Hugo Duminil-Copin, Vladas Sidoravicius, Vincent Tassion, «Continuity of the phase transition for planar random-cluster and Potts models with 1 ≤ 𝑞 ≤ 4,» Communications in Mathematical Physics 349: 47-107 (2017), doi: https://doi.org/10.1007/s00220-016-2759-8, arXiv:1505.04159 [math.PR] (15 May 2015); Hugo Duminil-Copin, Maxime Gagnebin, …, Vincent Tassion, «Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with 𝑞 > 4,» Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 54: 1363-1413 (2021), doi: https://doi.org/10.24033/asens.2485, arXiv:1611.09877 [math.PR] (29 Nov 2016); H. Duminil-Copin, A. Raoufi, and V. Tassion, «Sharp phase transition for the random-cluster and Potts models via decision trees,» Annals of Mathematics 189: 75-99 (2019), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2019.189.1.2, arXiv:1705.03104 [math.PR] (08 May 2017); entre otros.

Más información en Andrei Okounkov, «The Ising model in our dimension and our times,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/200 [PDF]; Martin Hairer, «The work of Hugo Duminil-Copin,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/210 [PDF] ; y de la mano del galardonado en Hugo Duminil-Copin, «100 Years of the (Critical) Ising Model on the Hypercubic Lattice,» Proc. Int. Cong. Math. 2022, Vol. 1, doi: https://doi.org/10.4171/ICM2022/204 [PDF].

Quienes prefieren algo más divulgativo pueden recurrir a Rachel Thomas, «A short introduction to the work of Hugo Duminil-Copin,» plus.maths.org, 05 Jul 2022; «The Fields Medals 2022: Hugo Duminil-Copin,» plus.maths.org, 05 Jul 2022; y la excelente pieza de Jordana Cepelewicz, «For His Sporting Approach to Math, a Fields Medal. With Hugo Duminil-Copin, thinking rarely happens without moving. His insights into the flow-related properties of complex networks have earned him the Fields Medal,» Quanta Magazine, 05 Jul 2022. También la entrevista de Andrei Okounkov, Andrei Konyaev, «Hugo Duminil-Copin Interview,» 05 Jul 2022 [PDF].