Colisiones síncronas en un gas de solitones

Por Francisco R. Villatoro, el 16 agosto, 2022. Categoría(s): Ciencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Physics • Science ✎ 5

Los solitones son soluciones exactas de ecuaciones de onda no lineales que se comportan como partículas, pudiendo colisionar entre sí de forma elástica recuperando sus propiedades iniciales tras su interacción. Se habla de colisión síncrona cuando se ajustan los parámetros de los solitones para que colisionen en el mismo lugar y en el mismo momento. Se llama gas de solitones a una solución con un gran número de solitones. La ecuación modelo es la ecuación de Kortweg–de Vries (KdV), que es integrable, con lo que conoce su solución exacta con N solitones. A pesar de ello, evaluarla para N ≫ 1 presenta serias dificultades numéricas. Han aparecido en arXiv dos artículos que nos muestran colisiones síncronas con hasta 90 solitones KdV. Sus resultados apuntan a que hay una densidad crítica para el número de solitones en un gas de solitones. Un resultado curioso que me apetece contarte.

Los solitones fueron descubiertos en 1965 por Norman J. Zabusky (1929–2018) y Martin D. Kruskal (1925–2006) usando simulaciones numéricas de la ecuación KdV. En una serie de seis artículos publicados entre 1968 y 1974 por Clifford S. Gardner, John M. Greene, Martin D. Kruskal y Robert M. Miura (GGKM) se descubrió la razón de la existencia de los solitones: la ecuación KdV es integrable en el sentido de Liouville (la ecuación tiene infinitos invariantes, o leyes de conservación). Así el problema de condiciones iniciales para la KdV se puede resolver de forma exacta; para ello, GGKM desarrollaron una versión no lineal de la transformada de Fourier, llamada transformada espectral inversa (IST). Conté de forma breve la historia de los solitones en LCMF, 21 jul 2017. La solución exacta con N solitones se calcula como la segunda derivada del logaritmo del determinante wronskiano de N funciones coseno y seno hiperbólico;  la matriz wronskiana de N funciones tiene como filas dichas funciones y sus N−1 derivadas espaciales, siendo un matriz muy mal condicionada para funciones de crecimiento rápido, como las exponenciales en las funciones hiperbólicas. Para N pequeño se puede usar una evaluación simbólica, pero para N grande hay que recurrir a métodos numéricos de precisión arbitraria (números flotantes cuya mantisa tenga al menos 2N dígitos). Por esta razón el gas de solitones ha sido poco estudiado (salvo en el caso de baja densidad).

Los artículos son A.V. Slunyaev, T.V. Tarasova, «Statistical properties of extreme soliton collisions,» arXiv:2208.06220 [nlin.PS] (12 Aug 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2208.06220; y Tatiana V. Tarasova, Alexey V. Slunyaev, «Properties of synchronous collisions of solitons in the Korteweg – de Vries equation,» arXiv:2208.04762 [nlin.PS] (09 Aug 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2208.04762.

La ecuación KdV se puede escribir como u_t + 6\,u\,u_{x} + u_{xxx} = 0, donde los subíndices indican derivadas parciales. Su solución exacta u_N(x,t) con N solitones se puede escribir como

\displaystyle u_N(x,t) = 2\,\frac{\partial^2}{\partial x^2} \ln (W(\psi_{1},\psi_{2},\ldots,\psi_{N})),

donde W(\cdot) es el wronskiano de las funciones \psi_{2j-1}=\cosh ({\theta_{2j-1}}), y \psi_{2j}=\sinh({\theta_{2j}}) cuyo argumento es \theta_j = k_j\,(x-4\,k_j^2\,t-x_j),  para j=1,2,\ldots,N; los parámetros que caracterizan cada solitón son los llamados autovalores k_j^2, tales que su amplitud es A_j=2|,k_j^2 y su velocidad V_j=4\,k_j^2, siendo x_j la posición de su máximo para t=0; se puede demostrar que u_N(x,t)>0, y que asintóticamente u_N(x,t) se descompone en N solitones individuales,

u_N(x,t) \underset{t \to \pm \infty}{\longrightarrow} \sum_{j=1}^{N} A_j\,\text{sech}^2 \left(k_j\,(x-V_j\,t-x_j^{\pm}) \right),

donde omito la expresión para las posiciones x_j^{\pm}. En la figura se muestran dos ejemplos de colisiones síncronas entre dos solitones con amplitudes A_1 y A_2, siendo d = A_1/ A_2, y A_1 >A_2 (por convenio). A la izquierda se muestra una colisión de tipo «intercambio» (1 < d < 3) y a la derecha una de tipo «adelantamiento» (d > 3). Nota que los solitones se mueven desde la izquierda hacia la derecha (su velocidad es positiva), corriendo el tiempo desde la parte superior de la figura hasta la parte inferior.

La evaluación numérica de la fórmula para u_N(x,t) para N \gg 1 es numéricamente inestable. Por un lado, la matriz del wronskiano está mal condicionada, pues en el entorno de un solitón las contribuciones de solitones lejanos son exponencialmente pequeñas. Tarasova y Slunyaev no dicen cómo evalúan el logaritmo del wronskiano, espero que no lo hagan de forma literal; yo usaría una descomposición de valores singulares de la matriz wronskiana para evaluar el logaritmo de su determinante como la suma de los logaritmos de los valores singulares (otra posibilidad sería usar una descomposición LU con pivotaje completo, aunque es menos estable numéricamente). Para evaluar la segunda derivada espacial se puede usar la transformada discreta de Fourier, pero hay que extender de forma periódica las funciones \psi_{j}; Tarasova y Slunyaev usan un procedimiento de «ecualización» que no me gusta (yo usaría una serie imbricada que aproxima mejor la solución periódica de la KdV). Los autores usan aritmética de precisión arbitraria mediante el software Mathematica (aunque no lo mencionan de forma explícita) para evaluar la expresión u_N(x,t) con al menos 2\,N dígitos de precisión (quizás quieren evitar que en la revisión por pares les pidan que hagan público su software en GitHub). Para verificar que la expresión está bien calculada evalúan los diez primeros invariantes (o cargas conservadas) de la ecuación KdV (que tiene infinitos); en el apéndice del segundo artículo aparece el listado. Estos problemas numéricos sin lugar a dudas están detrás de lo poco que se ha estudiado el gas de solitones de la KdV.

Para diseñar una colisión síncrona de N solitones se deben usar amplitudes diferentes; los autores proponen usar una progresión geométrica para las amplitudes con un factor de escala d>1, tal que A_j = 1/d^{j-1}, con j=1, 2, \ldots, N. Esta figura muestra tres instantes de tiempo de la solución con 10 solitones para d = 1.1 arriba y  d = 1.6 abajo. Se observa que a mayor d la solución varía menos en t=0, el instante central de la colisión; esta propiedad es genérica para este tipo de colisiones. En estas figuras se observa cómo los solitones en colisión en t=0 se separan para t = 25 (fila de figuras de abajo); de hecho se puede leer dicha figura al revés, de derecha a izquierda, mostrando cómo los solitones separados t < 25 se aproximan hasta colisionar entre sí en t=0.

Esta figura muestra el instante t=0 para la colisión síncrona de 20 solitones para d = 1.001 (arriba y  d = 1.6 abajo. Se observa que a mayor d la solución varía menos en t=0, el instante central de la colisión; esta propiedad es genérica para las colisiones síncronas. La figura que abre esta pieza muestra en su parte izquierda una solución con N = 20 para d = 1.2 y en su parte derecha dos soluciones con N =20 y 50, para d = 1.05.

Por cierto, la solución con N solitones más famosa es la que evoluciona a partir de la condición inicial

u(x,0) = N\,(N+1)\,\text{sech}^2{x},

de la que emergen N solitones con parámetros k_j = N-j+1, para j = 1, \ldots, N, cuyas amplitudes cumplen con la relación

\displaystyle \frac{A_j}{A_{j+1}} = \left( 1+ \frac{1}{N-j} \right)^2 \underset{j \ll N}{\longrightarrow} 1+ \frac{2}{N} > 1,

que se aproxima a una progresión geométrica con d = 1+2/N.

Como ya te he comentado el artículo de Tarasova y Slunyaev se centra en el estudio de las propiedades estadísticas de un gas de solitones de gran densidad, de ahí que se centren en las colisiones síncronas, las que proponen como colisiones más densas entre todas. Han estimado los momentos estadísticos de la solución dados por

\mu_n (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} {u^n(x,t) dx}, \quad n =1, 2, \ldots.

Los dos primeros momentos coinciden con los dos primeros invariantes, la masa \mu_1 (t) = I_1 y el momento lineal \mu_2 (t) = I_2, mientras que los siguientes coresponden a la parte potencial (no dependiente de la derivada) de los restantes invariantes. Llamando \epsilon \sim A\,L^2, donde A es la amplitud L la longitud espacial características de la solución, se puede probar que los invariantes cumplen

\displaystyle I_m = \frac{6^m}{m}\,\mu_m\,\left(1 + O(\epsilon^{-1}) \right).

También se cumple para n\ge 1 que

\displaystyle \frac{\mu_n(0)}{\mu_n(\infty)} = \frac{n\,I_n}{6^n\,\mu_n(\infty)} \left( 1 + O(\epsilon^{-1}) \right) = \frac{2\,n}{2^n} \left(1 + O(\epsilon^{-1}) \right).

Este resultado implica que hay un «suavizado» de la solución en t=0 conforme N crece asociado a que los momentos {\mu_n(0)} tienden a un valor mínimo dado por 2\,n\,{\mu_n(\infty)}/2^n. Los resultados Tarasova y Slunyaev por ahora son solo conjeturas matemáticas sugeridas por los resultados numéricos y asintóticos sin una demostración matemática rigurosa. Pero no parece imposible que se pueda llega a obtener en un futuro cercano.

Tarasova y Slunyaev comentan en su artículo que el «suavizado» de la solución en t=0 para un gran número N de solitones todos del mismo signo parece algo contraintuitivo (incluso sugieren que se calificar como algo paradójico). Cuando la densidad del gas de solitones se acerca a su valor máximo (la densidad crítica) en lugar de observarse una solución en la que los solitones se colocan unos junto a otros pero bien separados (como en la figuras de más arriba para d =1.1 con N=10 y d=1.001 con N=20), se observa que se «acumulan» todos en un único pico con un perfil que presenta muy pocas oscilaciones (como en las figuras de más arriba para d =1.6 con N=10 y d=1.3 con N=20). Sin embargo, pido perdón a los autores, mi intuición no ve nada contraintuitivo o paradójico en este comportamiento. A pesar de ello, acepto que los autores enfaticen lo que les conviene para buscar una publicación de mayor impacto.

En resumen, espero no haberte aburrido con una pieza sobre solitones que me ha llamado la atención; la verdad es que he leído muy poco sobre gases de solitones y me ha gustado que haya muchas cosas aún por hacer en este tema. Hace unos veinte años estuve evaluando la solución con N solitones de la ecuación no lineal de Schrödinger cúbica que aparece en fibra óptica, para la que usé una analogía onda-partícula de cosecha propia; los dos artículos de Tarasova y Slunyaev me han recordado mis propios cálculos (aunque yo no superé los 10 solitones, que en mi caso no eran soluciones positivas, con lo que no cabía esperar nada contraintuitivo que pidiera una investigación de un mayor número de solitones). Lo siento, pero la selección de piezas para este blog está muy sesgada por mis intereses y preferencias personales (como no podría ser de otra forma).



5 Comentarios

  1. Francis, te acabo de ver en Youtube hablando de los campos cuánticos en que mencionas el vacío y que este es el estado con la menor energía posible de dichos campos y por otro lado se menciona que algunos fermiones interaccionan con el vacío del Higgs para ganar masa y que éste tiene una energía de 174 GeV, y claro, para ese estado del vacío donde existen las más débiles fluctuaciones de un campo eso es mucho .

    1. Llanero, las «débiles fluctuaciones de un campo» son excitaciones de vacío (partículas virtuales, si te gusta ese nombre); los estados de tipo partícula (las partículas) no se pueden llamar «débiles fluctuaciones de un campo».

      Todos los campos cuánticos observados en la Naturaleza, salvo el campo de Higgs, tienen un único estado de vacío al que se asigna, por convenio, la energía cero; las partículas son excitaciones sobre dicho vacío cuya energía puede ser pequeña (su masa) o enorme (tan grandes que su masa es despreciable). El campo de Higgs a alta energía tiene un único vacío (potencial parabólico), al que se asigna la energía cero, pero a baja energía tiene dos vacíos (potencial en forma de sombrero mexicano), uno inestable al que se asigna la energía cero y otro metaestable al que se asigna una energía de vacío (v = 246 GeV).

      Los campos cuánticos de fermiones con masa (como el quark top) a baja energía tienen una masa debido a su acoplamiento de Yukawa (y) con el campo de Higgs que es igual a m = y v / sqrt(2); para el quark top y ~ 1, con lo que su masa es ~ 174 GeV/c². El bosón de Higgs es una partícula, una excitación, del campo de Higgs en su vacío v = 246 GeV; el bosón de Higgs es una excitación de este vacío con una masa (su origen es la autointeracción del campo de Higgs) de 124 GeV/c².

      Saludos

      1. Mil gracias Francis por tu respuesta, entonces para precisar : el electrón es una excitación de su campo electron(ico), el fotón del campo fotónico . La luz sería una excitación del campo electromagnético?

      2. En cuanto a las excitaciones son de dos tipos? On shell, tipo partículas, que se propagan por el espacio y las off shell que su acción es solo local, como aquellas que generan atracción o repulsión entre partículas?

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