El doctor Douglas R. Hofstadter es famoso por su libro Gödel, Escher, Bach (1979). En su tesis doctoral de 1976 propuso la llamada mariposa de Hofstadter, un patrón autosemejante que aparece en el espectro de energía de electrones en un material 2D con un potencial electrostático periódico cuando se aplica un campo magnético perpendicular; los niveles de Landau del espectro se desdoblan en una estructura recursiva de tipo fractal. En 2011, Bistritzer y MacDonald predijeron su presencia en el grafeno bicapa rotado, y en 2013 se observó en grafeno sobre nitruro de boro hexagonal, otro material de moiré. En 2021 se publicó en PNAS su observación en el grafeno bicapa rotado (TBLG) usando su segundo ángulo mágico (θ_m2 ~ 0.5°); recuerda que hay infinitos ángulos mágicos de magnitud decreciente empezando por el primero (θ_m1 ~ 1.1°). La mariposa de Hofstadter está asociada a fases topológicas con número de Chern 𝐶 = 4, 8, 12, …, con lo que el TBLG es un material topológico.

En esta figura muestro a la izquierda la mariposa para el grafeno (G) sobre nitruro de boro hexagonal (hBN) y a la derecha la mariposa para el TBLG rotado con segundo ángulo mágico. La gran dificultad para la observación de la mariposa fractal de Hofstadter  en el TBLG rotado con el (primer) ángulo mágico es que se requieren campos magnéticos demasiado intensos. La gran ventaja de usar el TBLG con el segundo ángulo mágico θ_m2 es que el parámetro de la superred de moiré es de λ ~ 30 nm, mucho mayor que para θ_m1 donde se tiene λ ~ 13 nm; como resultado, se puede observar la mariposa de Hofstadter con campos magnéticos hasta ~ 6 veces menos intensos; a pesar de ello se han usando campos transversales de hasta 15 T (teslas). La observación de la mariposa ha permitido identificar estados topológicos con números de Chern de C = ±4, ±8, ±12, …, además de estados con topología trivial (C=0). Por cierto, el segundo ángulo mágico del dispositivo estudiado se ha estimado usando la mariposa de Hofstadter y una estimación del área de la celda unidad del patrón de moiré.

El estudio del TBLG con segundo ángulo mágico promete ser tan interesante como el del TBLG con (primer) ángulo mágico. El artículo en PNAS es Xiaobo Lu, …, Allan H. MacDonald, …, Dmitri K. Efetov, «Multiple flat bands and topological Hofstadter butterfly in twisted bilayer graphene close to the second magic angle,» PNAS 118: e2100006118 (23 Jul 2021), doi: https://doi.org/10.1073/pnas.2100006118, arXiv:2006.13963 [cond-mat.mes-hall] (24 Jun 2020); para el G sobre hBN se publicó en B. Hunt, …, P. Jarillo-Herrero, R. C. Ashoori, «Massive Dirac Fermions and Hofstadter Butterfly in a van der Waals Heterostructure,» Science 340: 1427-1430 (16 May 2013), doi: https://doi.org/10.1126/science.1237240, arXiv:1303.6942 [cond-mat.mes-hall] (27 Mar 2013). La figura de la mariposa de la tesis doctoral está extraída de Wei Yang, Guangyu Zhang, «Hofstadter Butterfly in Graphene,» Encyclopedia of Condensed Matter Physics (2nd edition), arXiv:2203.05821 [cond-mat.mes-hall] (11 Mar 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2203.05821. Una estimación teórica de la mariposa para el TBLG rotado con el primer ángulo mágico en Sun-Woo Kim, Sunam Jeon, …, Youngkuk Kim, «Replica Higher-Order Topology of Hofstadter Butterflies in Twisted Bilayer Graphene,» arXiv:2204.08087 [cond-mat.mes-hall] (17 Apr 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2204.08087. El artículo de Bistritzer y MacDonald que cito es R. Bistritzer, A. H. MacDonald, «Moiré butterflies in twisted bilayer graphene,» Physical Review B 84: 035440 (27 Jul 2011), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.84.035440, arXiv:1101.2606 [cond-mat.mes-hall] (13 Jan 2011).

Como curiosidad te muestro la figura original de la tesis doctoral de Hofstadter en 1976 que muestra la mariposa, que es la razón por la cual fue bautizada como mariposa. Obviamente, como muestra la figura que abre esta pieza, en un dispositivo real la forma de la mariposa se parece mucho menos a una mariposa.

En esta figura se comparan dos predicciones teóricas con sus características esquemáticas (para C=0 y C=±1); estas últimas son las que se espera poder observar en los espectros experimentales. Como siempre que se hable de fractales hay que recordar que los fractales ni existen ni pueden existir en la Naturaleza; solo pueden existir prefractales, estructuras que se asemejan a fractales en un número finito de escalas. Los fractales tienen la belleza intrínseca de las cosas perfectas que son imposibles; por ello al observar un prefractal nos deleitamos con su belleza de las imperfecciones que lo hacen posible.