Sobre la supuesta demostración usando teoría de modelos de la conjetura de los primos gemelos

Por Francisco R. Villatoro, el 29 octubre, 2022. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 16

Una demostración de la conjetura de los primeros gemelos nos servirá para aprender las razones por las que hay infinitos pares de números primos separados por dos unidades. Nadie concibe que tal demostración no aporte nueva información sobre los primos gemelos o que ni siquiera use alguna nueva propiedad de dichos números. El lógico polaco Janusz Czelakowski ha publicado en la revista Studia Logica una demostración circular basada en aplicar el lema de Rasiowa–Sikorski (1950). Se escribe la conjetura como una fórmula en lógica de primer orden que se añade a los axiomas de la aritmética de Peano; se aplica el lema para obtener por forzado (forcing) un conjunto de Rasiowa–Sikorski que se interpreta como un modelo coherente (consistent) de la teoría resultante; y se concluye que existe una demostración de la conjetura de los primos gemelos en la aritmética de Peano. No se usa ninguna propiedad de los primos gemelos, más allá de su definición. Además, este argumento es circular porque para aplicar el lema de Rasiowa–Sikorski hay que comprobar que la teoría que resulta de añadir la fórmula sea coherente, lo que exige que la fórmula sea verdadera. Por ello, la supuesta demostración de Czelakowski también es válida si se usa la negación de la conjetura como fórmula. Por tanto, esta supuesta demostración es incorrecta.

De hecho, Czelakowski afirma que su supuesta demostración, cambiando la fórmula a probar, también demuestra la conjetura de Polignac (que existen infinitas parejas de números primos separados por un número par de unidades). Más aún, en un segundo artículo en Studia Logica también demuestra que hay infinitos números primos de Mersenne; la demostración es la misma, pues basta sustituir la fórmula de una conjetura por la fórmula de la otra conjetura. Y no contento que haber pasado (supuestamente) a los libros de historia de la matemática, también ha publicado dos artículos más en ResearchGate, que pronto aparecerán en Studia Logica (revista impactada en la que él es miembro del comité editorial); en uno usa la misma técnica demostración para (supuestamente) demostrar una versión generalizada del teorema de Dirichlet aplicado a los números primos; y en el otro presenta una (supuesta) demostración de la conjetura de Goldbach (que todo número par mayor de seis se puede escribir como la suma de dos números primos). Los cuatro artículos usan exactamente la misma técnica: una demostración circular usando el lema de Rasiowa–Sikorski para construir un modelo coherente bajo la hipótesis de que la conjetura es verdadera. Si nadie lo detiene es posible que Czelakowski escriba cientos de artículos con cientos de supuestas demostraciones de otras conjeturas de teoría de números.

Lo confieso, no soy experto en lógica matemática y teoría de modelos; hace muchos años estudié lógica y axiomática, y también las demostraciones de Gödel y Cohen sobre la hipótesis del continuo, pero tengo muy oxidados dichos conocimientos. Sin embargo, me he leído los seis artículos de Czelakowski y creo que puedo asegurar que en los últimos cuatro se usa un argumento circular. Si algún lector sabe suficiente lógica y teoría de modelos como para atreverse a ello, le recomiendo leer, por este orden, los artículos Janusz Czelakowski, «Rasiowa–Sikorski Sets and Forcing,» pp. 117-153 in Larisa Maksimova on Implication, Interpolation, and Definability, Springer (2018), doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-69917-2_7 (PDF); Janusz Czelakowski, «Forcing for First-Order Languages from the Perspective of Rasiowa–Sikorski Lemma,» Journal: Fundamenta Informaticae 156: 255-280 (2017), doi: https://doi.org/10.3233/FI-2017-1608 (PDF);  Janusz Czelakowski, «The Twin Primes Conjecture is True in the Standard Model of Peano Arithmetic: Applications of Rasiowa–Sikorski Lemma in Arithmetic (I),» Studia Logica (25 Oct 2022), doi: https://doi.org/10.1007/s11225-022-10017-2 (PDF); Janusz Czelakowski, «There are Infinitely Many Mersenne Prime Numbers. Applications of Rasiowa–Sikorski Lemma in Arithmetic (II),» Studia Logica (25 Oct 2022), doi: https://doi.org/10.1007/s11225-022-10015-4 (PDF); Janusz Czelakowski, «A generalization of Dirichlet’s Theorem on prime numbers. An application of Rasiowa-Sikorski Lemma in arithmetic (III),» ResearchGate, Sep 2022, doi: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.16514.56008 (PDF); y Goldbach’s Conjecture is true. Applications of Rasiowa-Sikorski Lemma in arithmetic (IV),» ResearchGate, Oct 2022, doi: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.15013.78560 (PDF).

[PS 30 oct 2022] La demostración de Czelakowski ha sido criticada por muchos en redes sociales, con múltiples argumentos. Los interesados disfrutarán de «Czelakowski’s claimed proof of the Twin Prime Conjecture,» MathOverflow, 27 Oct 2022, donde destaca el comentario de James Hanson sobre un error en el teorema 7.2, tanto en su enunciado como en su supuesta demostración; dicho teorema es clave usar el forzado para deducir un esquema de prueba por inducción. También recomiendo dos hilos en reddit: «(First-order) problems with the new Twin Prime proof?», r/math, reddit, 26 oct 2022, y «A proof of the Twin Primes Conjecture was just published in Studia Logica», r/math, reddit, 26 oct 2022; en ambos se destaca el posible error en el teorema 7.2. [/PS]

El primer artículo (https://doi.org/10.1007/978-3-319-69917-2_7) es un tutorial sobre el lema de Rasiowa–Sikorski (que hasta tiene página en la wikipedia en español) y la técnica del forzado (forcing). Te recuerdo que Helena Rasiowa y Roman Sikorski (1950) presentaron una demostración alternativa (usando álgebras booleanas) del teorema de completitud de la lógica de primer orden de Gödel (1929). La idea del forzado de Cohen (1963) es expandir un modelo de una axiomática de la forma más económica posible, añadiendo solo las propiedades que estén forzadas por los axiomas. Una manera de lograrlo es recurrir al lema de Rasiowa–Sikorski, que permite construir el modelo expandido usando el llamado conjunto de Rasiowa–Sikorski. El modelo resultante es coherente (consistent) si la expansión lo es, es decir, que si se expande añadiendo una fórmula es necesario que dicha fórmula sea verdadera; o dicho de otra forma, si la fórmula añadida no es verdadera, el modelo resultante será incoherente (inconsistent), permitiendo demostrar cualquier cosa y su negación.

El segundo artículo (https://doi.org/10.3233/FI-2017-1608) también es un tutorial sobre el lema de Rasiowa–Sikorski, pero se presentan los resultados sin recurrir a un álgebra de Lindenbaum–Tarski. En este artículo se repite múltiples veces que es necesario que la fórmula que se añade a una axiomática de la aritmética debe ser coherente. De hecho se introduce el llamado lema de la verdad (Truth Lemma). Nadie que lea este artículo pensará que Czelakowski tiene en mente sacarse de la manga demostraciones circulares de famosas conjeturas de la aritmética.

El tercer artículo (https://doi.org/10.1007/s11225-022-10017-2) empieza recordando la conjetura de los primos gemelos desde el principio, con la definición de número primo y la definición de axiomática. Luego repasa el contenido de los dos artículos anteriores, con énfasis en la aplicación del forzado a la versión simplificada de los axiomas de Peano usando lógica de primer orden (la versión convencional usa lógica de segundo orden). Las primeras 7 secciones, las primeras 36 páginas, del artículo no presentan nada nuevo. Ningún matemático esperaría que en la demostración de una famosa conjetura se dediquen tantas páginas a algo tan irrelevante como contar lo que todo el mundo que pueda entenderla ya sabe. La sección 8 introduce la fórmula de primer orden para la conjetura (una trivialidad); se debería demostrar que dicha fórmula es coherente, es decir, verdadera (luego aquí debería venir la demostración de la conjetura); sin embargo, se describen propiedades de la extensión de la aritmética de Peano con dicha fórmula (no entiendo todos los detalles, pero no usan ninguna propiedad de los primos gemelos y no parece que aporten nada a la demostración de la conjetura).

La sección 9, la última del artículo, presenta la demostración circular. Se afirma que el lema de Rasiowa–Sikorski se comporta como una especie de inducción que a partir de dos ejemplos que cumplan cierta propiedad (no sirve un único ejemplo) asegura que existen infinitos ejemplos que cumplen con dicha propiedad. El resultado se basa en que el modelo extendido gracias al lema de Rasiowa–Sikorski es coherente; sin embargo, para que lo sea habría que haber demostrado la conjetura (algo que no se hace en la sección 8). Finaliza el artículo afirmando que, a raíz de lo presentado en la sección 9, es obvio que la conjetura de los primos gemelos es cierta, y que la conjetura de Polignac también lo es. Obviamente, se trata de un argumento circular en 52 páginas.

El cuarto artículo (https://doi.org/10.1007/s11225-022-10015-4) es muy cortito (9 páginas), con la primera dedicada a explicar los números de Mersenne. Tras recordar los resultados más relevantes del tercer artículo, se presenta una demostración en media página de que hay infinitos números de Mersenne. Básicamente se afirma que se obvio que los hay como resultado de la coherencia del modelo extendido de Rasiowa–Sikorski. Más fácil imposible. Una prueba de que no importa si la fórmula que se añade a la axiomática es verdadera o falsa, sencillamente se concluye que lo debe ser porque así lo dice Czelakowski y quién le va negar su palabra.

El quinto artículo (https://doi.org/10.13140/RG.2.2.16514.56008) supuestamente demuestra que si un polinomio con coeficientes positivos evaluado en dos números ofrece dos valores que son números primos, entonces dicho polinomio evaluado en todos los números positivos ofrecerá un conjunto en el que se pueden encontrar un número infinito de primos. La demostración es igual de circular que las anteriores, pero como hay que manejar polinomios tiene 31 páginas. Finalmente, el sexto artículo (https://doi.org/10.13140/RG.2.2.15013.78560) supuestamente demuestra la conjetura de Goldbach en 9 páginas, de las que una se dedica a explicar qué es; por cierto, en este caso, supuestamente, se extiende el sistema de axiomas ZFC (axiomática de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección). Se afirma que la conjetura de Goldbach en la aritmética de Peano es un problema abierto. La verdad, no entiendo muy bien por qué, pues hasta donde yo llego a entender se podría repetir todo el artículo usando dicha axiomática (quizás Czelakowski quiere publicar otro artículo sobre Goldbach con dicha demostración circular).

En resumen, he disfrutado leyendo artículos de lógica y teoría de modelos, a pesar de que no he aprendido prácticamente nada nuevo con ellos. Y no he aprendido absolutamente nada de las conjeturas que supuestamente se han demostrado. Solo he aprendido que Czelakowski ha encontrado un filón para publicar tantos artículos en la Studia Logica como le deje el editor principal; supongo que pronto le pondrá freno a este asunto que ya ha denigrado bastante a esta revista (Q2 en Lógica y Q3 en Matemáticas según el último JCR). Una pena que miembros del comité editorial de una revista aprovechen su posición para publicar artículos irrelevantes que hasta un ignorante como yo es capaz de desmontar.



16 Comentarios

  1. Francis, cuando dices «Se afirma que el lema de Rasiowa–Sikorski se comporta como una especie de inducción que a partir de dos ejemplos que cumplan cierta propiedad (no sirve un único ejemplo) aseguran que existen infinitos ejemplos que cumplen con dicha propiedad.»
    ¿Tales ejemplos son de las propiedades extendidas al añadir la conjetura en los axiomas o ni siquiera eso?

  2. Hola Francis. Tengo una duda con respecto a la generación de conjuntos infinitos. En ese sentido, quería preguntarte si es posible me indicaras alguna referencia bibliográfica (accesible para un lego en la materia) donde se demuestre formalmente que se pueden generar conjuntos de cardinalidad infinita, sin provocar con ello errores y paradojas.
    Tengo un breve artículo donde expongo mi punto de vista. Es por cierto bastante naif, empleo la intuición y algunos conceptos elementales pero no logro encontrar una solución a la cuestión.
    En ese sentido me ayudaría a salir de dudas y a corregir mi punto de vista, tu visión sobre el asunto. Te dejo el enlace a mi artículo: https://filoapuntes.com/no-hay-conjuntos-infinitos-i/
    Un placer compartir y gracias de antemano, espero que esta cuestión no te robe tiempo.
    Un saludo.

    1. Jordi, para evitar «errores y paradojas» hay que usar una axiomática adecuada; necesitas un libro de axiomática de conjuntos. Hay muchos, pero ninguno está dirigido a legos en la materia. En español te recomiendo el libro de Carlos Ivorra Castillo, «Lógica y Teoría de Conjuntos» (446 páginas) https://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf. Si lo estudias con tranquilad y parsimonia verás que se entiende fácilmente; aprenderás como trabajar con conjuntos infinitos y transfinitos sin ningún tipo de «errores y paradojas».

      1. ¡Ostras! Qué buen libro, Francis. Acabo de leerme la introducción a la lógica matemática y me ha enganchado.
        «No toda la matemática necesita una fundamentación axiomática formal. Ésta es necesaria sólo porque la matemática trata con conjuntos infinitos.»

      2. Gracias Francis. Enorme el trabajo que realizas y que otros podemos disfrutar. Seguiré tu consejo, a ver si me deshago de mis prejuicios infundados. Un cordial saludo.

  3. Hola Francis. Quizá no fuese complicado partir de algún enunciado FALSO, incluso trivial (pero consistente con los axiomas de Peano, no valdría 1=2), y seguir el proceso que demostraría el enunciado, por tanto echando por tierra todo el proceso…

    Juan Carlos—
    @ApuntesCiencia

      1. Tomando como partida su argumento sobre los números de Mersenne. Si cambiamos la expresión `Pr(2^x_n-1)` por digamos `x_n<7` todos los argumentos proceden sin ningún cambio. Así que estaríamos 'probando' que hay infinitos naturales menores que 7.

  4. Francis, ¿la conjetura de los primos gemelos es un problema de decisión o puede darse un escenario más complejo?

    A- Existen infinitos primos gemelos.

    B- Existe una cantidad finita de primos gemelos.

    C- No puede ser demostrada la cantidad de primos gemelos existentes.
    (Por lo menos no basándose en los mismos axiomas que construyen el problema, tal vez con ningún conjunto de axiomas.)

      1. He leído los links que has compartido Francis, tal vez sesgado por tu opinión, pero coincido en que la forma de demostrar que utilizan es un quiero y no puedo…apaños en toda regla.

        Ninguna solución general ni conocimiento que nos permita ampliar lo más mínimo nuestras matemáticas. Comparable con MOND y la no generalización de sus soluciones.

        Con el mismo método pueden demostrar que es cierto y que es falso. Deciden asumir arbitrariamente que es cierto y mientras no aparezcan contradicciones (que tampoco tienen porque aparecer) nadie puede objetar gran cosa, salvo que llamar a eso «demostrar» es un quiero y no puedo…

        Muy interesante Francis.

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