A bombo y platillo, a mediados de octubre de 2022, en medios de comunicación chinos se anunció la próxima publicación de un gran avance sobre la conjetura de la ausencia de ceros de Landau–Siegel. La existencia de un cero de Landau–Siegel ofrece un contraejemplo a la hipótesis de Riemann generalizada (aplicada a los ceros de las funciones L de Dirichlet). La conjetura de los ceros de Landau–Siegel afirma que no existe tal cero; para ello basta que L(1,χ) ≫ (log D)⁻¹, donde χ es el carácter real de módulo D de la función L de Dirichlet L(s,χ). El matemático Yitang (Tom) Zhang (67 años), de la Universidad de California en Santa Barbara (UCSB), dictó una charla divulgativa en Pekín donde anunció que había logrado un gran avance en el estudio de los ceros de Landau–Siegel; los medios chinos le vitorearon. El artículo apareció en arXiv ayer lunes, 7 de noviembre de 2022 (aunque había una versión en Google Drive desde el sábado 5 de noviembre). El artículo afirma demostrar que L(1,χ) ≫ (log D)⁻²⁰²² (sí, lees bien, 2022 como el año en curso). He leído la demostración de 111 páginas, pero mis conocimientos son insuficientes para saber si es correcta. Aún así, puedo afirmar que el resultado de Zhang no aporta nada relevante sobre la hipótesis de Riemann, ni sobre la conjetura de los primos gemelos.

Zhang se hizo famoso en 2013 por demostrar que existen infinitas parejas de números primos separados por un número par menor de 70 000 000 (LCMF, 24 jun 2013); el proyecto PolyMath8 redujo dicha cota superior a solo 246 (James Maynar obtuvo la Medalla Fields en 2022 por su contribución a este proyecto liderado por Terence Tao, Medalla Fields en 2006). Gracias a dicho trabajo Zhang logró en 2015 una plaza de catedrático en teoría analítica de números en la UCSB. ¿Por qué tanto revuelo con Zhang y los ceros de Landau–Siegel? Porque en 2007 publicó en arXiv una demostración, que resultó ser incorrecta, de la cota L(1,χ) ≫ (log D)⁻¹⁷ (log log D)⁻¹, donde el factor (log log D)⁻¹ parecía suprimible. Dicho resultado estaba muy lejos del deseado L(1,χ) ≫ (log D)⁻¹, pero generó bastante revuelo; Tao afirmó que tenía dudas sobre la demostración del lema 7.1; otros matemáticos encontraron problemas con el lema 2.3; ambos lemas son claves en la demostración, que hoy se considera incorrecta. El nuevo artículo de Zhang usa una técnica de demostración similar, aunque sin usar ninguno de sus lemas de 2007. Incluso si la nueva demostración es correcta, incluso si un nuevo proyecto PolyMath logra reducir el exponente 2022, parece imposible que esta línea de demostración logre alcanzar L(1,χ) ≫ (log D)⁻¹.

Quizás te preguntes por qué este tipo de cotas son relevantes. La razón de que la hipótesis de Riemann y su versión generalizada para funciones L lo sean es que hay, literalmente, miles de teoremas que la incluyen entre sus hipótesis; en muchos de estos teoremas se puede sustituir dichas hipótesis por la conjetura de la ausencia de ceros de Landau–Siegel; y en algunos casos basta una acotación del tipo L(1,χ) ≫ (log D)⁻ⁿ, con n finito. Así el nuevo resultado de Zhang, si acaba siendo correcto, supone un gran avance en teoría analítica de números, garantizando la veracidad de algunos teoremas ya publicados. El nuevo artículo es Yitang Zhang, «Discrete mean estimates and the Landau–Siegel zero,» arXiv:2211.02515 [math.NT] (04 Nov 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2211.02515. Supongo que habrá sido enviado a Annals of Mathematics, como ya hizo con su famoso Yitang Zhang, «Bounded gaps between primes,» Annals of Mathematics 179: 1121-1174 (2014), doi: https://doi.org/10.4007/annals.2014.179.3.7. El artículo incorrecto de 2007 es Yitang Zhang, «On the Landau-Siegel Zeros Conjecture,» arXiv:0705.4306 [math.NT] (29 May 2007), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1402.4849.

[PS 10 nov 2022] Hay muchos foros donde se ha discutido y se sigue discutiendo esta demostración. Los rumores de que había demostrado la conjetura de los ceros de Landau–Siegel aparecieron, entre otros, en reddit r/math; el nuevo artículo se discute en reddit r/math, y en MathOverflow. [/PS]

[PS 11 nov 2022] La noticia ha llegado a Nature gracias a Davide Castelvecchi, «Mathematician who solved prime-number riddle claims new breakthrough,» News, Nature, 11 Nov 2022, doi: https://doi.org/10.1038/d41586-022-03689-2. [/PS]

[PS 11 nov 2022] El propio Yitang Zhang ha contestado las preguntas que todo el mundo se hace. Primero, el exponente −2022 es el que le sale y coincide con este año por pura casualidad. Segundo, que ya tiene un joven doctorando trabajando en mejorar el exponente. Y lo tercero, que en su opinión, con más trabajo en su línea de demostración se podrá bajar el número del exponente en unos cientos, pero que será imposible alcanzar el exponente −1 que permita llegar, gracias a que L'(1,χ) ≪ 1/(log⁡D)², a una demostración de la conjetura de los ceros de Landau–Siegel, que exige nuevas ideas. Y bromea con que no le importa no haber logrado la Medalla Fields; de hecho, está muy orgulloso de que su nieta (de 9 años y gran talento matemático) le haya dicho que logrará una Medalla Fields para su abuelo. [/PS]

[PS 16 nov 2022] La verificación de la demostración parece que va a ser un proceso largo. John Baez se hace eco en Twitter de un comentario de Terence Tao en su blog, una de las pocas personas que tendrá que dar el visto bueno a la demostración para que se publique en Annals of Mathematics. El genial Tao destaca que el artículo tiene errores tipográficos (yo también me di cuenta de algunos de ellos, pero pensé que eran irrelevantes para la línea argumental de la prueba, de hecho, en el fichero .tex escribe de forma explícita los números de las ecuaciones, sin usar \ref{}, y como comenté en el podcast Coffee Break, dado que Zhang tiene 67 años dichas erratas son esperables y comprensibles). La opinión de Tao es que algunas de estas erratas podrían ocultar errores argumentales graves en la demostración. Zhang ha prometido corregirlos. Habrá que estar al tanto de la opinión de los expertos sobre la versión final de la demostración (con los errores ya corregidos, que tardará en ser publicada). A diferencia de la demostración de Shinichi Mochizuki  de la conjetura abc, la demostración de Zhang está escrita de forma comprensible para cualquier experto. Os mantendré informados con las novedades. [/PS]

Como supongo que ya sabrás, la función zeta de Riemann se define como ζ(s) = ∑ 1/n^s, donde n = 1, 2, …, ∞, y s ∈ ℂ es un número complejo con parte real Re(s) > 1. La función zeta se puede definir con un producto de Euler ζ(s) = ∏ 1/(1−1/p^s), donde p = 2, 3, 5, … es un número primo. Además, cumple con una ecuación funcional ξ(s) = ξ(1−s), donde ξ(s) = f(s) ζ(s), con f(s) cierta función que omito aquí. Esta ecuación funcional permite extender la función ζ(s) a todo el plano complejo (una continuación analítica posible gracias a mapear el semiplano Re(s) > 1 en el semiplano Re(s) < 1). La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros ρ de la función zeta en la banda 0 < Re(s) < 1 tienen parte real igual a 1/2, es decir,  ζ(ρ)=0 y 0 < Re(ρ) < 1 implican que Re(ρ)=1/2. Gracias a esta propiedad se simplifica la fórmula exacta de Riemann para la función logarítmica contadora de números primos ψ(x) = x − ln(2π) − ∑_ρ x^ρ/ρ.

Las funciones L de Dirichlet generalizan la función zeta de Riemann. Se definen mediante la serie de Dirichlet L(s,χ) = ∑ χ(n)/n^s, para Re(s) > 1, donde χ(n) ∈ ℂ es el llamado carácter de Dirichlet de módulo D, una función compleja de variable natural que cumple que es multiplicativa χ(n m) = χ(n) χ(m), periódica χ(n+D)=χ(n), y que χ(n)=0 si gcd(n,D)>1, donde gcd es el máximo común divisor. Una función L se puede definir mediante un producto de Euler L(s,χ) = ∏ 1/(1−χ(p)/p^s), donde p es primo. Además, cumple con una ecuación funcional ξ(s) =ε(χ) ξ(1−s), donde ξ(s) = f(s) L(s,χ), con f(s) cierta función que omito aquí. Esta ecuación funcional permite extender la función L(s,χ) a todo el plano complejo. Se llama hipótesis generalizada de Riemann a la conjetura de que todos los ceros ρ de la función L(s,χ) en la banda 0 < Re(s) < 1 tienen parte real igual a 1/2, es decir, L(ρ,χ) =0 y 0 < Re(ρ) < 1 implican que Re(ρ)=1/2.

Un cero de Landau–Siegel de la función L(s,χ) es un contraejemplo de la hipótesis generalizada de Riemann, es decir, un número real σ con 1/2 < σ < 1 tal que L(σ,χ) = 0. En realidad la definición usual impone que dicho cero debe estar suficientemente cerca de la unidad, pero omito aquí los detalles técnicos. Lo relevante es que la existencia de dicho cero se puede estudiar acotando el valor de L(1,χ) para χ real; de hecho se puede demostrar la cota superior (log D) ≫ L(1,χ), por lo que lo interesante son las cotas inferiores. La mayoría de los matemáticos, por no decir que todos, cree que la hipótesis de Riemann es cierta, con lo que no existiría ningún cero de Landau–Siegel. La conjetura de la ausencia de ceros de Landau–Siegel afirma que dicho cero no existe, para lo que basta probar que L(1,χ) ≫ (log D)⁻¹. Por ello el estudio de las cotas inferiores de L(1,χ) es un campo activo de investigación. El nuevo artículo de Zhang (si su demostración es correcta) sería un gran aporte.

¿Qué relación hay entre los ceros de Landau–Siegel y la conjetura de los primos gemelos? Hay muchos resultados matemáticos que se basan en la hipótesis de que existe un cero de Landau–Siegel; este tipo de matemática «ilusoria» (pues nadie cree que existan tales ceros) puede parecer una labor inútil, pero ha dado lugar a gran número de resultados curiosos. Uno de estos resultados está relacionado con la conjetura de los primos gemelos, que como bien sabes afirma que hay infinitos pares de primos gemelos p y p+2. Heath-Brown demostró en 1983 (https://doi.org/10.1112/plms/s3-47.2.193) que si existe al menos un cero de Landau–Siegel entonces la conjetura de los primos gemelos es cierta. O si prefieres su contrarrecíproco, si la conjetura de los primos gemelos es falsa entonces no existe ningún cero de Landau–Siegel. Este resultado de matemática «ilusoria» no nos debe confundir; que no exista ningún cero de Landau–Siegel, no nos ofrece ninguna información sobre la veracidad de la conjetura de los primos gemelos o de la hipótesis de Riemann. Recuerda que la matemática es el arte de demostrar teoremas; las demostraciones de teoremas basadas en hipótesis que la mayoría de los matemáticos creen que son falsas también son una muestra artística de las matemáticas. Y como tales pueden ser admiradas.