Sobre la supuesta demostración de Jackson y Richmond del teorema de cuatro colores

Por Francisco R. Villatoro, el 24 diciembre, 2022. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 3

Los matemáticos David M. Jackson y L. Bruce Richmond han publicado una (supuesta) demostración en siete páginas del teorema de los cuatro colores. En ella se aplican de forma trivial unos resultados sobre polinomios cromáticos publicados por William T. Tutte en 1962 y 1963, que aparecen en su libro de texto Graph Theory de 2001. Mi primera impresión, tras leer la introducción del artículo, fue que la demostración tiene que estar mal porque si no fuera así la habría publicado Tutte hace muchas décadas. Pero tras leer el resto del artículo me queda claro que el argumento principal (sección 4.2) es trivialmente incorrecto. No entiendo cómo dos matemáticos del prestigio de Jackson y Richmond han podido publicar en arXiv semejante despropósito. Si fuera 1 de abril (o 28 de diciembre) lo entendería, pero como artículo dedicado a Tutte me parece de mal gusto.

Permíteme presentarte el esquema de la demostración por inducción presentada en la sección 4.2. El caso base es que todo mapa con cuatro fronteras entre regiones es coloreable (con cuatro colores). La hipótesis de inducción es que todo mapa con n−1 fronteras es coloreable. Tómese un mapa Q con n fronteras y divídase en dos submapas S y T que comparten una frontera común (Q = S•T); divídanse a su vez en dos submapas que también comparten una frontera común (S=S₁•T₁, y T=S₂•T₂). Entonces S₁ es coloreable por la hipótesis de inducción, y T₁, S₂ y T₂ también. Gracias a ello Q también es coloreable, con lo queda demostrado el teorema de los cuatro colores. Creo que no hay que ser un experto en polinomios cromáticos, ni en combinatoria matemática, ni siquiera haber leído el libro de texto de Tutte, para evaluar la corrección de esta demostración trivial. Por cierto, el argumento está decorado con operaciones sobre polinomios cromáticos basados en resultados de Tutte cuyo rol en la demostración es irrelevante.

El genial Terry Tao boosteó (o retuiteó) en Mathstodon el anuncio de la demostración, pero se arrepintió tras su lectura (toot): «Tras una inspección más cercana, estoy preocupado por el argumento de la sección 4.2 del artículo; retiro mi boosteo a este resultado». Como es de esperar, tanto en reddit como en otros foros matemáticos ya se habían publicado objeciones similares sobre la sección 4.2. Si te apeteciera leer el artículo de primera mano es D. M. Jackson, L. B. Richmond, «A non-constructive proof of the Four Colour Theorem,» arXiv:2212.09835 [math.CO] (19 Dec 2022), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2212.09835.



3 Comentarios

    1. Sí, Pedro, varios matemáticos ven una lógica circular. De hecho esta parte de la demostración se enmarca en una supuesta nueva idea para demostrar el teorema de los cuatro colores usando polinomios cromáticos que no es otra cosa que la idea original de Tutte de principios de los 1960. Lo único que se puede llamar novedoso es la operación punto Q = S•T, pero su definición es ambigua; algunos matemáticos han dicho en redes sociales que ven algo nuevo en esta operación, pero yo no consigo ver nada nuevo. La verdad, no entiendo cómo dos matemáticos que llevan veinte años trabajando en combinatoria pueden haber publicado esto en arXiv. Me gustaría tener espíritu navideño y verlo con mejores ojos…

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