El efecto Hall cuántico fraccionario es un fenómeno contraintuitivo observado en materiales 2D bajo campos magnéticos intensos y enfriados a temperaturas criogénicas. Las cuasipartículas de tipo electrón se comportan como un líquido cuántico con fuertes correlaciones e interacciones mutuas que da lugar a nuevas cuasipartículas con carga fraccionaria, como 1/3, 1/5, o 1/7 de la carga del electrón. Además, en lugar de números cuánticos enteros o semienteros se observan valores fraccionarios, como 2/5, 4/9, 11/7, o incluso 5/23. Se publica en Science la primera simulación óptica de este efecto usando fotones en interacción. Se ha logrado simular un nivel de llenado de los niveles de Landau de 1/2 (con electrones se logran niveles de llenado 1/3, 1/5, etc.). Se ha usado una matriz de 4×4 cúbits superconductores controlados por microondas que actúan como cavidades para fotones. Como ya es habitual con las simulaciones cuánticas, los autores titulan su artículo con «realización» en lugar de «simulación». Pero que no te confunda, solo es una simulación en un ordenador cuántico analógico, cuya novedad es que promete ser escalable.

En 1879, Edwin Hall descubrió el efecto Hall en una lámina de oro. Al aplicar una corriente eléctrica (I) a la lámina con resistencia (R) se puede medir un voltaje longitudinal (V = R I). Un campo magnético transversal (B) induce una fuerza de Lorentz sobre los portadores de carga (cuasipartículas de tipo electrón), generando un gradiente de carga en la lámina en dirección transversal a la corriente aplicada. Dicho gradiente induce un campo eléctrico de Hall (E_H) y un voltaje de Hall (V_H) en la dirección perpendicular a la corriente aplicada. Se define la resistencia de Hall (R_H) como el cociente R_H = V_H/I = B/(e n), que depende del campo magnético aplicado (B) y de la densidad de electrones (la carga e del electrón y la densidad n de electrones por unidad de área). Hall observó el efecto con el campo magnético de la Tierra y luego lo estudió en detalle con imanes. La resistencia de Hall no depende de la forma de la lámina (que puede tener agujeros), con lo que se usa para determinar la densidad de electrones en materiales conductores y semiconductores (sobre todo en la industria microelectrónica).

En 1980, Klaus von Klitzing descubrió el efecto Hall cuántico (entero) en una lámina de silicio (Si) de un transistor MOSFET enfriado a temperaturas criogénicas (∼4.2 K, usando helio líquido) y bajo campos magnéticos muy intensos (∼10 T). La resistencia de Hall se cuantiza, se observan escalones R_H = h/(m e²), donde h es la constante de Planck y m es un número entero, m = 1, 2, 3, 4, … (se suele escribir la conductancia de Hall G_H = 1/R_H = m e²/h). Klitzing recibió el premio Nobel de Física en 1985 porque el efecto Hall cuántico entero (IQHE) permite medir la resistencia eléctrica de un material con hasta ocho dígitos significativos. El origen de la cuantización de la resistencia en un material bidimensional es el llenado de los niveles energéticos de Landau. Bajo el campo magnético los portadores siguen órbitas circulares (tipo ciclotrón) que están cuantizadas, cada una con una energía dada por un nivel de Landau.

En 1982, Daniel C. Tsui y Horst Störmer descubrieron el efecto Hall cuántico fraccionario en experimentos con heteroestructuras de arseniuro de galio (GaAs/AlGaAs), cuya explicación teórica fue obtenida en Robert B. Laughlin en 1983; los tres obtuvieron el premio Nobel de Física de 1998. Su idea era estudiar con intensos campos magnéticos el llenado parcial del nivel de Landau más bajo, ya que la densidad de estados del GaAs/AlGaAs era muy baja y su movilidad muy alta. En las observaciones para campos magnéticos por encima de 5 T dicho nivel estaba ocupado de forma parcial y aparecían estados de carga fraccionaria q = e/3 (Tsui exclamó ¡quarks! cuando los observó).

El campo magnético produce vórtices de carga con un flujo magnético cuantizado (cada vórtice es un cuanto de flujo). En el material hay cuasipartículas de tipo electrón cuyas cargas se repelen entre sí y vórtices de flujo magnético sin carga eléctrica. Por ello, en la configuración de mínima energía, los electrones se ven atraídos hacia los centros de los vórtices, lo que reduce la energía de interacción entre electrones. Cuando el nivel de llenado es completo, con un electrón por cada vórtice, se observa el efecto Hall cuántico entero con m = 1; también puede haber dos electrones de espín opuesto en cada vórtice, m = 2, incluso puede varios varios niveles de Landau en cada vórtice, con sus correspondientes electrones, m = 3, 4, 5, …

El origen del el efecto Hall cuántico fraccionario (FQHE) es el llenado parcial de los niveles de Landau en los vórtices para campos magnéticos muy intensos, que generan más vórtices que electrones. El estado de mínima energía asocia varios vórtices concéntricos a cada electrón, reduciendo aún más la energía electrostática repulsiva de Coulomb debida a las interacciones electrón-electrón. Los electrones revestidos de varios vórtices concéntricos se comportan como cuasipartículas de tipo bosón si el número de cuantos de flujo es impar y de tipo fermión si es par. Además, estas cuasipartículas se comportan como cargas fraccionarias.

Para un nivel de llenado de 1/3 del nivel de Landau más bajo, hay tres veces más cuantos de flujo que electrones, con los que los electrones revestidos de tres vórtices se comportan como bosones (compuestos) y pueden condensarse a baja temperatura en un estado de Bose–Einstein que se comporta como un superconductor; hay un salto de energía (bandgap) entre el estado FQHE no condensado y el condensado. Desde el punto de vista del campo magnético, estos electrones revestidos se comportan como si tuvieran una carga fraccionaria de 1/3. Estas cuasipartículas pueden moverse por el plano 2D y transportar corriente eléctrica dando lugar a la resistencia de Hall fraccionaria. De manera análoga hay estados con cargas fraccionarias 1/5, 1/7, etc. asociadas 5, 7, etc. vórtices alrededor de cada electrón. Incluso hay estados con más de un electrón y muchos vórtices que dan lugar a cargas 2/3, 4/5, 6/7, 11/3, 11/5, etc.

Los estados con carga fraccionaria 1/2, 5/2, etc. se comportan como fermiones (compuestos) y requieren una explicación diferente. No forman un condensado y se comportan como un líquido de Fermi para los electrones sin campo eléctrico, formando una estructura de bandas, pero con carga efectiva fraccionaria.

En la simulación publicada en Science se usan las llamadas cajas de fotones (photon boxes) Plasmonium que consisten en un oscilador superconductor acoplado a una unión Josephson. Su oscilación es anarmónica, pero tiene dos niveles bien separados que permiten usarlo como un cúbit. En concreto se usa una red de 4 × 4 (16) cajas de fotones con 24 acopladores superconductores. Los fotones pueden saltar de una caja a otra gracias a los acopladores entre cajas adyacentes. Para programar este ordenador analógico se programan las amplitudes y las fases de los acopladores. Gracias a ello se puede simular un campo magnético efectivo que actúa sobre esta red, lo que simula un hamiltoniano similar al que representa un estado FQHE.

El algoritmo cuántico (protocolo experimental) se inicia preparando un estado con 2 o 3 fotones en el centro de la red. Este estado es topológicamente trivial. Controlando los acoplamientos se ejecutan una serie de operaciones que simulan la evolución lenta (adiabática) del hamiltoniano del sistema hasta que se alcanza cierto estado final, que es topológicamente no trivial (está descrito por una función de onda de Laughlin con factor de llenado 1/2). Por supuesto, la evolución cuántica es reversible y se puede someter a este estado final a las mismas operaciones pero en orden inverso para recuperar el estado inicial (se recupera con una fidelidad del 60 %, aunque en las simulaciones numéricas clásicas, sin decoherencia, se alcanza un 96 %).

Esta figura compara los resultados experimentales y simulados (ideales) para el estado normal con bajo campo magnético efectivo φ/2π = 0.15 (izquierda) y para el estado FQHE con alto campo magnético efectivo φ/2π = 0.30 (derecha). Las flechas de colores representan la densidad quiral simulada de los estados fermiónicos simulados. En el estado topológico, la corriente de densidad interna (color naranja) tiene un sentido contrario a la corriente del borde (color verde); a diferencia del estado normal (no topológico) en el que ambas tienen el mismo sentido (flechas verdes).

La simulación cuántica realizada con fotones permite estudiar la transición entre ambos estados a nivel experimental en este sistema tan sencillo. Por cierto, dado que se usa una red de 16 cajas de fotones, todo este ordenador cuántico analógico se puede simular en un ordenador clásico sin ningún problema (basta tu PC). Gracias a ello se presentan simulaciones clásicas que confirman los resultados experimentales (que tienen mucho ruido comparados con los clásicos simulados).

La gran novedad de este trabajo es que, según los autores del artículo, este sistema es escalable y se podrán usar redes mucho más grandes, que conduzcan a simulaciones cuánticas que ofrezcan una ventaja cuántica. Pero, cuidado, en contra de lo que afirman los autores, como la fidelidad es muy baja (un 60 % para una red de 4×4), en mi opinión será muy difícil lograr la ventaja cuántica en poco tiempo (para una red mayor de 8×8 se requieren grandes avances en la fidelidad de las cajas de fotones Plasmonium).