El año pasado fue noticia (LCMF, 15 abr 2023) la solución al problema de einstein, el teselado aperiódico del plano con una sola pieza (ein Stein). Aunque para recubrir todo el plano hay que combinar la monopieza con su versión quiral (reflejada en un espejo). La pieza fue bautizada como «sombrero» (hat en inglés), Tile(1, √3), por su forma no convexa con 13 lados; su versión quiral es el «antisombrero» Tile(√3, 1) y ambas son miembros de una familia biparamétrica de monopiezas Tile(a, b). Los cuasicristales (Premio Nobel de Química de 2011; LCMF, 05 oct 2011) se inspiraron en las teselas aperiódicas de Penrose. Se publicó en Physical Review Letters el estudio teórico de los cuasicristales planos (2D) de tipo Sombrero (Hat), que están basados en la monotesela sombrero (hat), mediante simulaciones con el modelo de ligadura fuerte (tight-binding), en el que las cuasipartículas de tipo electrón pueden saltar entre vértices vecinos. Este cuasicristal tiene propiedades similares a las del grafeno con defectos (porque también presenta una simetría séxtuple o hexagonal subyacente), incluyendo la existencia de conos de Dirac. Sin embargo, la quiralidad de la monotesela conlleva que el espectro sea quiral y que aparezcan estados energéticos degenerados con energía cero y un espectro de Hofstadter periódico al aplicar un campo magnético externo (en los cuasicristales los efectos de inconmensurabilidad producen un espectro de Hofstadter aperiódico). Las bandas de Hofstadter llevan aparejado un número de Chern que cuantiza la conductancia. Propiedades fascinantes, pero la realización física usando átomos del cuasicristal Sombrero está más allá de lo que permiten las técnicas de fabricación actuales. A pesar de ello, usando metamateriales se lograrán análogos físicos en los que confirmar las propiedades determinadas mediante simulaciones.

La relación entre el cuasicristal Sombrero y el grafeno con defectos puede parecer sorprendente. Sin embargo, se entiende bien cuando se observa la relación entre su forma y una malla triangular  de una red hexagonal. Por supuesto, sus vértices no corresponden a vértices de la red hexagonal, por ello se comporta como el grafeno con defectos. Te recuerdo que el descubrimiento de las teselas de einstein fue una gran sorpresa en matemáticas, pues muchos expertos habían perdido la esperanza de encontrar una monotesela. La descubrió en noviembre de 2022 el ingeniero jubilado David Smith (64 años) de Yorkshire, Inglaterra; se lo contó al informático Craig Kaplan, de la Universidad de Waterloo en Ontario, que logró una demostración de que produce un teselado aperiódico con la ayuda del informático Joseph Samuel Myers y el matemático Chaim Goodman-Strauss de la Universidad de Arkansas. Su trabajo permitió demostrar que este einstein pavimenta el plano sin espacios ni repeticiones, bautizado como «sombrero» (hat, en inglés).

El artículo con el análisis computacional del cuasicristal Sombrero es Justin Schirmann, Selma Franca, …, Adolfo G. Grushin, «Physical Properties of an Aperiodic Monotile with Graphene-like Features, Chirality, and Zero Modes,» Phys. Rev. Lett. 132: 086402 (22 Feb 2024), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.132.086402, arXiv:2307.11054 [cond-mat.mes-hall] (20 Jul 2023); un artículo previo ya hizo un análisis preliminar de este cuasicristal, Joshua E. S. Socolar, «Quasicrystalline structure of the Smith monotile tilings,» Phys. Rev. B 108; 224109 (December 2023), doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.108.224109, arXiv:2305.01174 [cond-mat.mtrl-sci] (02 May 2023). La demostración del tesalado aperiódico se publicó en David Smith, Joseph Samuel Myers, …, Chaim Goodman-Strauss, «An aperiodic monotile,» Combinatorial Theory 4: 6 (30 Jun 2024),  doi: https://doi.org/10.5070/C64163843, arXiv:2303.10798 [math.CO] (20 Mar 2023).

Esta figura ilustra la familia infinita numerable de mosaicos de einstein, llamados Tile(a, b). El einstein sombrero tiene lados a = 1 y b = √3. Esta figura muestra 7 mosaicos de esta familia, con Tile(0, 1), Tile(1, 1) y Tile(1, 0) dando lugar a teselados periódicos, mientras que los otros cuatro a teselados aperiódicos. Con esta notación el nuevo einstein es Tile(1, √3); pues resulta que Tile(√3, 1) también es un einstein, y que los infinitos mosaicos Tile(1, k √3) y Tile(k √3, 1), para k un entero positivo impar, también son mosaicos de einstein.

La clave de la demostración matemática de que los einstein teselan el plano de forma aperiódica es un proceso llamado inflación, que se ilustra en esta figura. Las teselas se agrupan en cuatro metateselas básicas, llamadas H0 (4 teselas, 3 sombreros y 1 antisombrero), T0 (una tesela), P0 (dos teselas) y F0 (también dos teselas), como ilustra la fila de arriba de la figura. Estas metateselas se combinan usando cuatro reglas de inflación: Hn+1 = 3Hn + Tn + 3Pn + 3Fn, Tn+1 = Hn, Pn+1 = 2Hn + Pn + 2Fn, y Fn+1 = 2Hn + Pn + 3Fn, que se ilustran en la fila de abajo de la figura. El proceso se repite ad infinitum con objeto de teselar todo el plano. Este proceso es clave para la simulación del cuasicristal Sombrero; en el artículo se han simulado H2 y H3.

La figura que abre esta pieza muestra la densidad de estados (DOS), cuyo mínimo de energía está en ≈ −2.4; como es habitual en los cuasicristales, la DOS muestra una estructura de tipo (pre-)fractal, con multitud de singularidades de van Hove. La probabilidad de encontrar un estado con energía E y momento k está determinada por la función espectral, 𝒜(E, k), donde E es la energía y k el vector de onda (asociado al momento lineal de las cuasipartículas de tipo electrón), relacionados entre sí por la relación de dispersión; esta función está bien definida a pesar de la aperiodicidad del cuasicristal (en los cristales se aprovecha la invariancia traslacional debida a la periodicidad); esta función espectral se puede medir en experimentos con cuasicristales físicos usando ARPES (Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy); para el cuasicristal Sombrero la función espectral es quiral. Esta figura muestra, a la izquierda, la esctructura hexagonal de 𝒜₊(E, k), para E = −0.2; se observa que es muy parecida a la del grafeno, con puntos de Dirac para energía cero. Pero la quiralidad marca la diferencia con el grafeno; la diferencia 𝒜₊(E, k) − 𝒜₋(E, k), para E = −0.2, se ilustra en esta figura, a la derecha.

Una de las características que diferencian el cuasicristal Sombrero del grafeno con defectos es la aparición de una densidad finita de estados de energía cero (modos cero o zero modes) cuando se aplica un campo magnético (ϕ/ϕ₀). Este tipo de modos cero se han obtenido en muchos cuasicristales, incluyendo los asociados al teselado de Penrose y las bicapas de grafeno cuasicristalinas. Esta tabla (abajo) muestra el número antisombreros (AH) y el número de modos cero (ZM) para las metateselas Hn, Tn, Pn y Fn con n = 0, 1, 2, y 3. Se observa que para T3 hay 8 modos cero (ilustrado en la parte superior izquierda de la figura) y para H2 hay 22 modos (parte superior derecha), en ambos casos para campo magnético aplicado ϕ/ϕ₀ = 1/2.

En resumen, un curioso trabajo de simulación por ordenador de las propiedades electrónicas de los cuasicristales Sombrero. Quizás solo tengan interés teórico (ciencia básica no orientada). O quizás se descubra algún material exótico que se aproxime por estos cuasicristales (así ocurrió con los cuasicristales de Penrose). Pero en cualquier caso, un trabajo computacional que ha tenido tanto eco mediático como eco científico (el artículo ya ha sido citado 8 veces según Google Scholar). Como ocurre muchas veces, un avance en Matemáticas que acaba con un avance en Física.