La hipótesis de Riemann y el método de Turing para calcular sus ceros

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Mucha gente me envía correos electrónicos o usa las redes sociales para que me haga eco de sus supuestas demostraciones de la hipótesis de Riemann. La inmensa mayoría se limitan a calcular ceros en la línea crítica; su supuesta prueba se limita a intuir que existen infinitos. Esto ya lo demostró G. H. Hardy en 1914. Por supuesto, no basta para demostrar la hipótesis de Riemann. Hay que demostrar que no hay ceros muy cerca de la línea crítica. Hasta ahora nadie lo ha logrado y no parece que se vaya a lograr en las próximas décadas (pues no hay ninguna línea de ataque prometedora, hasta donde me consta).

A muchos de los que me comunican sus maravillosas “demostraciones” les pregunto si han modificado el método de Turing. La mayoría no sabe a qué me estoy refiriendo. Así confirmo que su trabajo no merece más atención. Alan Turing fue el primer matemático que usó un ordenador electrónico (“The baby“, el Manchester Mark I) para calcular los ceros de la función de Riemann en la línea crítica. Publicó en 1943 un método numérico que usó en 1953 (Turing falleció en 1954) para calcular los primeros 1104 ceros; dicho método es el que se sigue usando hoy en día (aunque con pequeñas mejoras). Usando este método David J. Platt en 2011 calculó nada menos que 103 800 788 359 ceros (se publicó en 2015), y usando una variante Xavier Gourdon calculó en 2004 diez billones de ceros.

Quien haya calculado un millón de ceros, o mil millones, o un billón, incluso quien logre un nuevo récord con mil billones de ceros, debe saber que no ha hecho nada útil; lo siento, ya sabemos que hay infinitos. Hay que demostrar que no hay ceros en un entorno de la línea crítica (siendo la línea crítica infinita, los métodos numéricos son incapaces de completar esta labor). Platt en 2017 usó sus métodos numéricos para probar que no hay ceros cerca de la línea crítica hasta una ordenada máxima de 30 610 046 000 (Gourdon no realizó ningún estudio de este tipo). Todo un hito. Pero también inútil de cara a la demostración, ya que no aporta nada. Por supuesto, el hito ha sido premiado con el paso del autor a los libros de historia de las matemáticas, que no es poco.

Lo siento, quizás soy muy duro, pero es así. Repito, calcular ceros no aporta nada a la demostración; salvo, como es obvio, que sean contraejemplos a la hipótesis (pero hay que tener mucho cuidado con los métodos numéricos que nos pueden jugar malas pasadas). Más información divulgativa sobre el método de Turing en Andrew R. Booker, “Turing and the Riemann Hypothesis,” Notices of the AMS 53: 1208-1211 (2006) [AMS – PDF]; los artículos originales son A. M. Turing, “A Method for the Calculation of the Zeta‐Function,” Proc. London Math. Soc. 2: 180-197 (1945), doi: 10.1112/plms/s2-48.1.180; “Some calculations of the Riemann zetafunction,” Proc. London Math. Soc. 3: 99–117 (1953), doi: 10.1112/plms/s3-3.1.99; y “Solvable and unsolvable problems,” Science News 31: 7–23 (1954) [ENS – PDF].

Por cierto, la demostración es G. H. Hardy, “Sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann,” C. R. Acad. Sci. Paris 158: 1012–1014, (1914). El cálculo a mano de un mayor número de ceros es de E. C. Titchmarsh, “The Zeros of the Riemann Zeta-Function;” Proc. Royal Soc. London A 151: 234-255 (1935), JSTOR: 96545 [195 ceros], y E. C. Titchmarsh, “The zeros of the Riemann zeta-function,” 157: 261-263 (1936), doi: 10.1098/rspa.1936.0192 [1041 ceros, con la ayuda de L. J. Comrie]. El récord actual es de Xavier Gourdon, “The 1013 first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height,” Technical Report (2004) [PDF]; ver también David J. Platt, “Computing π(x) analytically,” Math. Comp. 84: 1521-1535 (2015), doi: 10.1090/S0025-5718-2014-02884-6; la certeza de que no existen ceros fuera de la línea crítica alcanza una precisión de 2−102, según David J. Platt, “Isolating some non-trivial zeros of zeta,” Math. Comp. 86: 2449-2467 (2017), doi: 10.1090/mcom/3198.

Recomiendo la lectura de los libros de Kevin Broughan, “Equivalents of the Riemann Hypothesis. Volume 1: Arithmetic Equivalents,” Cambridge University Press (2017), doi: 10.1017/9781108178228, y “Volume 2: Analytic Equivalents,” Cambridge University Press (2017), doi: 10.1017/9781108178266. También de Peter Borwein, Stephen Choi, Andrea Weirathmueller, “The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso,” Springer (2007), doi: 10.1007/978-0-387-72126-2.

[PS 14 Abr 2018] Aclaración, para que nadie se confunda. En ningún caso afirmo en esta entrada que calcular ceros de la función zeta de Riemann y descartar que haya ceros en una banda alrededor de la línea crítica sean labores inútiles. Todo lo contrario, son labores de gran importancia en matemáticas, pues ayudan a demostrar ciertos resultados. En esta entrada lo único que afirmo es que calculando ceros no se puede demostrar la hipótesis de Riemann en ningún caso; por ello, critico a quienes lo afirman por ignorancia (y me hacen perder tiempo a mí y a otros matemáticos). No sé el porqué, pero algunos lectores han malinterpretado mis palabras. Lo siento por ellos, pero creo que no debo cambiarlas. [/PS]