Alberto Aparici @CienciaBrujula y Antonio Rivera @MeteoLP me entrevistaron para el podcast «Oscilador Armónico» sobre mi tema de investigación, los solitones. Te recomiendo disfrutar de “Solitones: Historia de una Onda Solitaria. Oscilador Armónico 135”, Oscilador Armónico, 07 Oct 2026 [01:46:27]. En esta primera entrega recorremos la historia de los solitones desde la observación de John Scott Russell en 1834 hasta el trabajo matemático de Peter D. Lax de 1968, todo ello alrededor de la famosa ecuación de Korteweg–de Vries.
El primer solitón del que tenemos noticia se observó de forma experimental. Fue en 1834 en Escocia, en un canal, y lo generó una barca tirada por caballos. Cuéntanos qué es lo que se observó y qué experimentos se hicieron después para averiguar algo de sus propiedades.
John Scott Russell era ingeniero naval que estudiaba el diseño de las barcazas que tiradas por parejas de caballos llevaban minerales desde las minas cerca de Glasgow hasta Edimburgo usando el Union Canal. En 1834, cuando una barcaza se detuvo de forma súbita observó una una onda solitaria que se movía a unos 13-14 km/h, con unos 9 metros de anchura y unos 30-45 cm de altura. A caballo siguió a la onda durante unos 1.6 km hasta que ya no pudo seguirla más. En apariencia no cambió de forma ni de velocidad.
A Russell le sorprendió que esa “onda solitaria” no se dispersaba. ¿Por qué una onda “normal” sí se dispersa?
La dispersión de ondas en la superficie del agua la vemos cuando tiramos una piedra. El golpe genera una onda localizada, que genera una serie de ondas circulares concéntricas que se mueven a diferente velocidad en función de su anchura. El fenómeno es resultado de la dispersión de las ondas superficiales, el hecho de que la velocidad (de grupo) de una onda depende de su frecuencia. Eso es lo que Russell esperaba que le ocurriera a la onda solitaria que observó, que se dispersara formando un tren de ondas de amplitud decreciente y velocidad diferente. Que no dispersara era algo “contra natura” y requería un estudio experimental.
En el jardín de su casa Russell montó un pequeño canal experimental de 9 metros donde logró reproducir el fenómeno y estudiar sus propiedades: la velocidad c y la anchura L de la onda solitaria dependen de su amplitud a sobre la superficie y de la profundidad del agua h (en concreto, c² ≈ g(h+a), y L² ≈ h³/a. Publicó su resultados en un libro en 1845 (luego publicó otros en 1865 y póstumo en 1885).
En 1845, George Airy “demostró” que era imposible la existencia de una onda solitaria no dispersiva (usó la teoría lineal). En 1847, George Stokes desarrolló la teoría no lineal, pero puso en duda los experimentos de Russell. Varios británicos intentaron encajar sin éxito teoría y experimento. Lo lograron franceses, Joseph Boussinesq en 1871 obtuvo varias ecuaciones que describen la matemática de la onda solitaria. Lord Rayleigh (1876) fue el primer británico que aceptó la existencia de estas ondas.
La ecuación más general de Boussinesq, que es bidireccional, se llama ecuación de Boussinesq, pero la más específica, que es unidireccional, no recibió su nombre sino el de Korteweg y de Vries, tras su redescubrimiento en la tesis doctoral de Gustav de Vries supervisada por Diederik Korteweg (publicado en 1895).
¡Un buen ejemplo de la ley de eponimia de Stigler! (o de Merton) Cuéntanos cómo es esta primera ecuación de las ondas solitarias y qué nos permite aprender sobre el fenómeno.
La ecuación KdV describe una onda unidimensional resultado del equilibrio entre dos fenómenos opuestos, la no linealidad y la dispersión. El primero es un término advectivo, la derivada espacial del cuadrado de la amplitud ( 2 u u_x = (u²)_x ), y el segundo es un término dispersivo cúbico, la tercera derivada espacial de la amplitud (u_xxx). El equilibrio entre ambos da la lugar a una onda con un perfil de sech² (x−c t).
Como ya probó Boussinesq, la ecuación KdV permite explicar todas las observaciones de Russell sobre la relación entre la velocidad, amplitud y anchura de la onda solitaria, así como su relación con la altura del fluido. Fuera del ámbito hidrodinámico, la ecuación quedó en el olvido durante 70 años.
El gran avance fue computacional y está relacionado con los osciladores no armónicos. La llegada de los primeros ordenadores en la década de 1950 permitió simular numéricamente problemas con osciladores no lineales. Cuéntanos qué pasó.
En 1955, nació la física computacional con un informe técnico de Enrico Fermi, John Pasta, Stanislaw Ulam y Mary Tsingou usando el ordenador MANIAC I en Los Alamos. Estudiaron la termalización en un sistemas de osciladores no armónicos acoplados. Según las leyes de la termodinámica, un sistema de osciladores armónicos muestra un comportamiento ergódico, que da lugar a una equipartición de la energía concentrada en ciertos modos de vibración entre todos los modos. La cuestión que planteó Fermi (que falleció en noviembre de 1954) es si lo mismo ocurría con osciladores no lineales (no armónicos), si se “confirmaban las leyes de la termodinámica” o si se incumplían (de nuevo algo “contra natura”).
Para su sorpresa descubrieron un fenómeno de recurrencia, un comportamiento cuasiperiódico en el que la energía retornaba a los modos iniciales. La termalización no se observaba en el sistema (que no era ergódico). Un resultado inexplicable que requería un nuevo fenómeno físico, pero que pasó desapercibido durante una década.
Y para explicar ese resultado se realizaron nuevas simulaciones que llevaron a la invención de la palabra solitón en 1965. Cuéntanos qué es lo que se descubrió en esas simulaciones.
En 1960 Martin Kruskal, experto en física de plasmas en Princeton, observó que el límite continuo de onda larga de las ecuaciones de osciladores no armónicos de FPUT era una ecuación de onda no lineal. En 1961 inició una colaboración Norman Zabusky (Bell Labs), experto en cálculo numérico, para usar ordenadores para estudiar con dicha ecuación el origen del fenómeno de recurrencia FPUT. Fue Zabusky quien reconoció que dicha ecuación era la KdV.
Entre 1963-1964 descubren que la simulación numérica de la ecuación KdV con condiciones de contorno periódicas muestra que una señal sinusoidal inicial se descompone en un tren de ondas en forma de pulso (como si estuviera formada por ellas). Estas ondas interaccionan entre sí de forma elástica y que reentran en el dominio de forma sucesiva. La recurrencia es debida a que en ciertos momentos futuros los pulsos vuelven a coincidir y reconstruyen la condición inicial. Estas ondas se comportaban como partículas por ello fueron bautizadas como solitones. Este resultado llevó a uno de los hitos matemáticos más relevantes del siglo XX, una transformada de Fourier no lineal.
Te refieres a la transformada de scattering inverso, una especie de transformada de Fourier para ecuaciones de onda no lineales. ¿Cómo se descubrió?
La historia es complicada, porque resultó en una serie de artículos publicados entre 1967 y 1973 llamada serie GGKM (por Gardner, Greene, Kruskal y Miura). En 1965 un postdoc llamado Robert Miura trabajó con Kruskal, Clifford Gardner y John Greene en las propiedades de la ecuación KdV. Miura observó que una transformación sencilla convertía la KdV en una ecuación KdV modificada (mKdV) con una nolinealidad cúbica en lugar de cuadrática, que también tenía solitones. La transformación de Miura se podía escribir como una ecuación de Schrödinger lineal con el perfil de la onda u(x,t) como potencial. Se había logrado “linealizar” la KdV.
Más aún, Kruskal sospechaba que había una jerarquía de leyes de conservación más allá de la conservación de la masa, momento lineal y energía. Miura logró construir esa jerarquía y observó que era infinita. Kruskal se dio cuenta de que implicaba que la ecuación KdV era integrable, en el sentido de Liouville (s. XIX) para ecuaciones diferenciales (con n grados de libertad y n magnitudes conservadas se puede integrar las ecuaciones obteniendo la solución general).
Greene se dió cuenta de que se podía usar un problema de scattering inverso sobre la ecuación de Schrödinger (estudiado por los rusos Gelfand, Levitan y Marchenko (GLM) en los 1950). Asumiendo que el potencial producía un scattering sin reflexión (solo transmisión) se podía construir el solitón. Se podían obtener soluciones con muchos solitones como solución del problema de scattering inverso para potenciales sin reflexión. Más aún, usando las técnicas GLM se podía lograr obtener una solución exacta en forma integral para una condición inicial general, formada por cierto número de solitones sobre un fondo de radiación de pequeña amplitud.
El trabajo de GGKM mostró que la clave era la existencia de dos problemas de autovalores, uno en espacio dado por la ecuación de Schrödinger y otro en tiempo, siendo la KdV la ecuación de compatibilidad entre ambos problemas de autovalores que garantiza que los autovalores son comunes y no dependen del tiempo. Así nació la transformada de scattering inverso (IST) o transformada espectral inversa. Para la condición inicial se resuelve un scattering directo del problema espacial (sin tiempo), los parámetros (autovalores y coeficiente de reflexión) se evolucionan en tiempo gracias al problema temporal (sin espacio), y luego se resuelve un problema de scattering inverso para obtener la solución general de la KdV para dicha condición inicial.
Ese procedimiento es análogo a cómo se resuelven ecuaciones lineales usando la transformada de Fourier. Se transforma en espacio, se evoluciona en tiempo y se aplica la transformada inversa en espacio para obtener la solución. Por ello se llama “transformada de Fourier no lineal”
Exactamente y este descubrimiento fue realmente revolucionario. Peter Lax (Premio Abel 2005) descubrió como generalizar el procedimiento usando un par de operadores de Lax, uno en espacio y otro en tiempo, que conmutan entre sí y cuya condición para garantizar que los autovalores no dependen del tiempo es una ecuación de onda no lineal que propaga solitones y se puede resolver mediante la transformada de scattering inverso.
Y el tiempo nos obligó a finalizar aquí la primera parte. Prometemos que habrá una segunda parte.