El problema de Thomson o como distribuir N cargas en una esfera con energía total mínima

El físico británico J. J. Thomson ganó el Premio Nobel en 1906 por el descubrimiento del electrón. En 1904 propuso un problema matemático muy difícil de resolver en general: ¿cuál es la configuración de mínima energía para N electrones (con una fuerza repulsiva 1/r2) en una superficie esférica? Para N pequeño obtener la solución óptima a este problema es fácil. Para 4, 6, y 12 corresponden a los vértices de un sólido platónico. Hasta N=400 se conocen las soluciones óptimas. Sin embargo, para N>400 sólo se conocen algunas pocas, el resto son sólo las mejores candidatos obtenidas por ordenador. Wales, McKay y Altschuler han obtenido por simulación las mejores configuraciones hasta el momento en el rango N de 400 a 4000. La vídeo muestra cinco de los nuevos resultados para N=400, 752, 1632, 3952, y 4352. Los tres primeros son configuraciones simétricas. Los dos últimos son configuraciones asimétricas ligeramente de menor energía que las simétricas observadas. ¿Serán óptimas? Nadie lo sabe pero la búsqueda de la demostración por ordenador continúa. Nos lo cuenta Tony Phillips, “Progress on the Thomson problem,” Take on Math in the Media, September, 2009.

Las 400 configuraciones óptimas fueron publicadas en David J. Wales, Sidika Ulker, “Structure and Dynamics of Spherical Crystals Characterised for the Thomson Problem,” Phys. Rev. B, 74, 212101 (2006) [Página con animaciones gif con los resultados óptimos]. El nuevo artículo con las soluciones cuasi-óptimas es David J. Wales, Hayley McKay, Eric L. Altschuler, “Defect motifs for spherical topologies,” Phys. Rev. B 79, 224115 (2009) [Página con animaciones gif con los resultados cuasi-óptimos].

En una configuración de mínima energía cada electrón está rodeado de 6 vecinos cercanos (hexágonos verdes en el vídeo) resultando en una carga efectiva nula, excepto ciertos electrones que están rodeados de 5 vecinos (pentágonos rojos) con una carga efectiva de +1, o de 7 vecinos (heptágonos azules) con una carga efectiva de -1. Siendo Ci el número de los vecinos cercanos al electrón i-ésimo, la red que conecta los electrones más cercanos entre sí define una triangulación de la superficie de la esfera con V=N vértices, E = (1/2) Σi Ci aristas y F = 2 E/3 caras. El teorema de Euler, V-E+F=2, aplicado a esta tringulación nos da Σi (6-Ci) = 12, es decir, la suma de las cargas efectivas debe ser igual a 12. El problema de optimización a resolver es dónde hay que colocar las cargas efectivas para minimizar la energía total.

Como se observa en el vídeo, para las configuraciones con N = 400, 752, 1632, 3952, y 4352, conforme N crece, el número de heptágonos también crece. Las tres primeras configuraciones son (aproximadamente) simétricas, con una simetría icosaédrica aproximada que en algunos casos, como para N=1632, es exacta. Lo más sorprendente es que en muchos casos, como los dos últimos ilustrados en el vídeo, las configuraciones simétricas no son siempre las de menor energía. La energía potencial se define geométricamente como P = Σi>j |ri – rj|-1, donde se ha representado el electrón i-ésimo con un vector unitario ri in R3. Por ejemplo, para N=4352 la configuración cuasi-óptima tiene energía potencial P = 9311276, mientras que la configuración con 12 rosetas colocadas simétricamente (algo parecido a la configuración con N=1632 del vídeo) sólo alcanza un valor de P = 9311299. Es decir, una configuración más simétrica cercana a la mejor es sólo ligeramente peor. Realmente sorprendente.

1 Comentario

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Carlos

Hay un problema combinatorio muy interesante y relacionado con este de las cargas en una esfera. Se trata del diseño de códigos correctores de errores: se codifican los N símbolos de un alfabeto mediante cadenas de bits más largas de lo estrictamente necesario, y en caso de de recibir una cadena desconocida se repara a la más cercana en sentido Hamming. El código óptimo es análogo a la distribución de mínima energía de N puntos en un hipercubo binario de N dimensiones. De hecho, hay enfoques heurísticos que usan la misma función de energía que en el caso de Thompson (con la distancia de Hamming en lugar de la distancia euclídea).

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