Publicado en PRL: Nuevo récord en el empaquetamiento aleatorio de tetraedros gracias a la ayuda de escolares y dados del juego Dragones y Mazmorras

Dados de Dragones y Mazmorras utilizados, y volumen normalizado de agua necesario para rellenar un recipiente esférico relleno de dados D4 y esferas del mismo radio. (C) PRL

Hay dados del juego de rol Dragones y Mazmorras que tienen 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Los dados D4 son tetraedros cuyas caras son triángulos equiláteros. Paul M. Chaikin, profesor de física de la Universidad de Nueva York, ha comprado 1000 dados D4 y ha puesto a varios escolares de secundaria a rellenar peceras (esféricas), bidones (cilíndricos) y otros recipientes. Gracias a este trabajo colaborativo ha batido el récord mundial en empaquetamiento aleatorio de tetraedros, alcanzando una fracción del 76±2 %, trabajo que ha publicado en Physical Review Letters. Este récord es mejor que el mejor empaquetamiento posible de esferas (74% cuando se colocan todas ordenadas como naranjas en una caja del supermercado). ¿Cómo ha medido la densidad de empaquetamiento? Rellenando el recipiente con agua para comprobar el volumen necesario para alcanzar una altura determinada. ¿Cómo están empaquetados los tetraedros? De forma completamente aleatoria, como ha mostrado utilizando imagen por resonancia magnética nuclear. ¿Se puede mejorar este rércord? En teoría sí que se puede, ya que el récord teórico es del 85’6%, encontrado por Elizabeth R. Chen, Michael Engel, y Sharon C. Glotzer, “Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra,” ArXiv, 5 Jan 2010. Aún así, y como es obvio, todo el mundo se ha hecho eco de este espectacular trabajo colaborativo. Nos lo contó Kenneth Chang, “Packing Tetrahedrons, and Closing In on a Perfect Fit,” The New York Times, January 4, 2010 (visto en Stefan, “Physics Bits and Bites,” Backreaction, May 04, 2010), y nos lo ha vuelto a contar Daan Frenkel, “The tetrahedral dice are cast … and pack densely,” Physics 3: 37, May 3, 2010, siendo el artículo técnico (de acceso gratis) Alexander Jaoshvili, Andria Esakia, Massimo Porrati, Paul M. Chaikin, “Experiments on the Random Packing of Tetrahedral Dice,” Phys. Rev. Lett. 104: 18550. 3 May 2010.

Fracción de volumen normalizada para el empaquetamiento de dados D4 cilindros en función del radio del bidón, y corte transversal por resonancia magnética nuclear mostrando la distribución de los dados D4. (C) PRL

Aristóteles se equivocó hace 2300 años. Pensaba que el empaquetamiento de tetraedros regulares idénticos era perfecto, ocupando el 100% del volumen, sin dejar ningún hueco, como en el caso del empaquetamiento de cubos idénticos. Quizás por ello, el empaquetamiento de tetraedros no ha tenido interés hasta muy recientemente. El empaquetamiento de esferas idénticas obviamente deja huecos y colocadas como naranjas en una caja del supermercado se logra una densidad del 74’05 %, como ya conjeturó Johannes Kepler en 1611. Demostrarlo costó cuatro siglos y requirió el uso de ordenadores, pero se logró en 1998 gracias al trabajo de Thomas C. Hales, matemático de la Universidad de Pittsburgh, EEUU.

El mejor empaquetamiento posible con tetraedros no es fácil de imaginar, pero basta pensar un poco para darse cuenta de que no empaquetan de forma perfecta. En 1900, David Hilbert propuso el empaquetamiento denso de tetraedros regulares como un caso particular de su problema número 18 (en su famosa lista de 23 problemas que dictó en París). En 1972, Stanislaw Ulam conjeturó que el mejor empaquetamiento con objetos convexos idénticos era el de las esferas. En el año 2000, Betke y Henk desarrollaron un algoritmo por ordenador eficiente para el cálculo de empaquetamientos densos de cuerpos convexos y se lo aplicaron a todos los sólidos regulares arquimedianos. En el año 2006, el famoso matemático John H. Conway y el químico Salvatore Torquato, utilizaron dicho programa de ordenador para buscar teóricamente el mejor empaquetamiento posible de tetraedros asumiendo que formaban “moléculas” de 2 tetraedros (similares al icosaedro) y encontraron que podían rellenar menos del 72% del espacio (algo menos que con esferas). Lo publicaron en PNAS. Este trabajo parecía confirmar la conjetura de Ulam. Sin embargo, como Aristóteles, Conway también se equivocó.

El matemático Jeffrey C. Lagarias de la Universidad de Michigan puso a trabajar en este problema a su alumna de doctorado Elizabeth Chen quien descubrió un empaquetamiento teórico de tetraedros regulares que alcanzaba casi el 77’86 % (Chen dice que Lagarias no se lo creía). Su “molécula” estaba formada por 9 tetraedros formando dos dipirámides pentagonales que compartían un tetraedro. Lo publicó en Elizabeth R. Chen, “A Dense Packing of Regular Tetrahedra,” Discrete and Computational Geometry 40: 214-240, 2008. La carrera por la búsqueda del mejor empaquetamiento de tetraedros había dado comienzo. En pocos meses aparecieron empaquetamientos mejores alcanzando el 78’20%, 78’37%, 78’58%, 82’23 %, 83’88 %, … el año 2009, sin lugar a dudas, fue el año de los empaquetamientos de tetraedros.

Sharon C. Glotzer, ingeniera química de la Universidad de Michigan, desarrolló un nuevo programa de ordenador para simular empaquetamientos de tetraedros en cristales líquidos y cuasicristales que le permitió descubrir un empaquetamiento aún mejor, que superaba el 85’03 % (una locura, en sus propias palabras). Mientras escribía un artículo para Nature, descubrió que un grupo de Cornell usando un método diferente había logrado un empaquetamiento ligeramente mejor, alcanzando el 85’47% (Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel, “Dense periodic packings of tetrahedra with small repeating units,” Discrete and Computational Geometry, Published online 03 March 2010, como ArXiv preprint, 27 Oct 2009). Pero en diciembre de 2009, el Dr. Torquato y su estudiante de doctorado Yang Jiao, encontraron un empaquetamiento aún mejor, que alcanza el 85’55 % (S. Torquato, Y. Jiao, “Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry,” ArXiv, 21 Dec 2009). ¡Alucinante!

Sin embargo, Chen todavía no había defendido su tesis doctoral. Quería incluir el mejor empaquetamiento conocido. ¿Cómo lograrlo? Lo mejor, formar equipo con el grupo de Glotzer. Juntas lograron en enero de 2010 el actual récord, una densidad del 85’63% (como ya hemos dicho, publicado en Elizabeth R. Chen, Michael Engel, y Sharon C. Glotzer, “Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra,” ArXiv, 5 Jan 2010). El récord utiliza un “molécula” de 16 tetraedros, que se muestra con dados amarillos en la figura. Esta “molécula” se repite para obtener el empaquetamiento óptimo. Chen ya ha defendido su tesis doctoral este año. Enhorabuena, Dra. Chen, y bienvenida al club, has entrado por la puerta grande.

¿Se puede hacer mejor? Es difícil, pero quizás no es imposible, aunque yo no espero que se mejore mucho el 85’63%. ¿Se publicará en 2010 algún empaquetamiento de tetraedros mejor? Quien lo logre lo publicará en Nature o en Science. En este blog estaremos al tanto de esta interesante cuestión matemática, que tiene aplicaciones obvias en química y ciencias de los materiales.


5 Comentarios

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César

Y no sólo en química o en ciencia de materiales. En mi empresa nos estamos enfrentado a un problema práctico similar. Fabricamos productos de alimentación que se comercializan, entre otros lugares, en Mercadona. Hemos realizado una enorme inversión en un nuevo sistema de pasteurización por altas presiones. Este sistema consiste en someter a una presión isostática de 6000 bar a los envases ya terminados y termosellados. Para poder someter a los envases a esa presión es necesario introducirlos en un cilindro de 308 mm de diámetro interior y 2.100 mm de alto. Dicho cilindro, por razones constructivas, debe llenarse horizontalmente y, por razones operativas, sin posicionamiento (al azar).

Nuestro actual envase es una tarrina de boca circular y cuerpo tronco cónico de 250 ml de capacidad. Medidas experimentales arrojan un coeficiente de llenado del 54%, que es el límite de lo viable económicamente. Para cuando tengamos la máquina instalada en septiembre necesitaremos un nuevo envase para mejorar ese coeficiente de llenado. ¿Qué forma tendrá? Esa es la cuestión, ya que no podemos hacer pruebas experimentales con todos los diseños imaginables (es inviable económica y temporalmente).

Todo lo anterior es para decirte, Francis, que este artículo tuyo lo he circulado a todo el departamento técnico para la reunión de esta tarde. Gracias.

emulenewsemulenews

César, te recuerdo que el artículo técnico en PRL de Paul M. Chaikin es de acceso gratuito (así que puedes recurrir a la fuente original sin problemas) y no es de difícil lectura.

César

Gracias, Francis

Una de las cosas que quiero transmitir es que siempre se puede hacer mejor, y eso lo hace mejor tu artículo.

EdiEdi

Mi primera visita al blog. Añadido a favoritos aunque no entienda mucho de ciencia. Muy buen trabajo, deberían habernos enseñado así, y no con los torros que nos han hecho comer (quitando un par de excepcionales y motivadores profesores que tuve).

César, ya que parece que estás metido en el tema de envases, me gustaría saber porqué se dejan a mitad o semi llenos determinados envases. ¿Es cuestión de viabilidad económica o por temas de conservación? Un ejemplo claro son las bolsas de patatas fritas. Digo yo que reduciendo el tamaño al contenido, se ahorraría plástico y ocuparía menos volúmen por unidad.

César

De todo hay. Esta pregunta da para una conferencia de una hora por lo menos. En lo que sigue me ciño a productos de alimentación.

En muchos casos el espacio de cabeza (que es el término técnico) se debe a condicionantes de tipo mecánico, para permitir la entrada y salida de los sistemas de llenado y asegurar un cierre limpio y garantizado. En el caso de las patatas fritas sí se juega más con la psicología del tamaño de la bolsa: solamente hay que comparar las distintas marcas.

En muchos casos el espacio de cabeza constituye un verdadero problema desde el punto de vista de la conservación del producto. Nosotros, por ejemplo, nos vemos obligados a sustituir el aire en el espacio de cabeza por una atmósfera modificada (básicamente nitrógeno y dióxido de carbono) para, basándonos en el principio de le Chateliar, ralentizar las reacciones enzimáticas que tienen lugar en el producto. ¿Por qué tenemos espacio de cabeza entonces? 1. Porque tuvimos que empezar con el envase que había disponible en el mercado; 2. Porque nuestro sistema de llenado necesita espacio operativo de entrada y salida; 3. Para dar espacio de expansión por si alguien quiere congelar el producto.

En general puedes tener una idea aproximada de los costes de un producto para una empresa determinada en función del llenado: cuanto más caro el envase y más barato el producto más lleno está. En el agua envasada, en general, lo más caro es el tapón, lo segundo la botella, lo tercero la etiqueta y lo más barato es el agua: siempre van llenas. En las patatas fritas, por mucho que brille el poliéster, son más caras las patatas procesadas (cortadas, fritas, con forma, sabor, conservantes). Si en vez de lámina de patatas, partes de masa de patatas, más fácil de manipular y que te permite hacer todas las piezas idénticas, puedes robotizar y llenar un envase rígido, termosellado y con tapa.

Lo anterior son sólo pinceladas. Si quieres saber algo más, pregunta.

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