IV Carnaval de Matemáticas: Demostrada la existencia y unicidad de soluciones clásicas de la ecuación de Boltzmann tras 140 años de intentos fallidos

Demostrar la existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales no lineal no es fácil, pero es uno de los logros más perseguidos por muchos analistas (matemáticos que se dedican al análisis matemático). Para las ecuaciones más famosas, ampliamente usadas en física, este tipo de demostración copa titulares en prensa y conlleva premios y fama. Sin embargo, para la mayoría de los físicos que usan dichas ecuaciones, este tipo de demostraciones tiene poco valor y aportan muy poco en la práctica. La ecuación de los gases diluidos introducida por Boltzmann en 1872 es una de estas ecuaciones. Boltzmann “demostró” de forma no rigurosa la existencia de soluciones. Para los físicos es suficiente, pero para los matemáticos su demostración no tiene valor alguno pues nadie ha sabido obtener una versión rigurosa de sus argumentos que convierta su ”idea de demostración” en una demostración de verdad. El problema no es fácil.

En 1933, Carleman probó la existencia y unicidad de soluciones con simetría radial y coeficientes constantes. Ukai generalizó dicho trabajo en 1974 a coeficientes no constantes. Illner y Shinbrot (1984), DiPerna y Lions (1989), Alexandre y Villani (2002), Guo (2003) y Liu, Yang y Yu (2004), entre otros, hicieron avances importantes (lograron demostraciones rigurosas en ciertos casos particulares). Hoy he visto en Menéame que la demostración general finalmente ha sido lograda por dos matemáticos de la Universidad de Pennsylvania, Philip T. Gressman y Robert M. Strain, noticia que ha llegado a los medios gracias a su publicación (en forma resumida) en PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences). La noticia de Jordan Reese, “Mathematicians Solve 140-Year-Old Boltzmann Equation,” News & Communications, University of Pennsylvania, May 12, 2010, nos dirige al artículo de Philip T. Gressman y Robert M. Strain, “Global classical solutions of the Boltzmann equation with long-range interactions,” PNAS 107: 5744-5749, March 30, 2010, artículo de 6 páginas a doble columna que resume las 80 páginas de la demostración, que se encuentra en detalle en Philip T. Gressman, Robert M. Strain, “Global Strong Solutions of the Boltzmann Equation without Angular Cut-off,” ArXiv, 4 Dec 2009, y “Global Classical Solutions of the Boltzmann Equation with Long-Range Interactions and Soft Potentials,” ArXiv, 18 Feb 2010. Un caso particular de este teorema ha sido demostrado de forma independiente en Radjesvarane Alexandre, Y. Morimoto, Seiji Ukai, Chao-Jiang Xu, Tong Yang, “The Boltzmann equation without angular cutoff. Global existence and full regularity of the Boltzmann equation without angular cutoff. Part I : Maxwellian case and small singularity,” ArXiv, 8 Dec 2009, quienes a posteriori también han generalizado su demostración.

La ecuación de Boltzmann es clave en la teoría cinética de los gases y describe como un gas (una distribución arbitraria de moléculas cada con una posición y velocidad dadas y que pueden colisionar entre sí de forma elástica) evoluciona hacia un estado de equilibrio que corresponde a un gas ideal. Sin entrar en detalles técnicos, ni de física estadística ni de matemáticas, la ecuación de Boltzmann describe la densidad de partículas en un gas diluido e incluye un término que depende del modelo utilizado para las colisiones entre partículas. Este modelo utiliza un potencial (con simetría esférica) repulsivo que da cuenta del cambio en la velocidad de las moléculas tras cada colisión intermolecular. Lo habitual es utilizar un potencial de tipo Maxwell (1866) que depende de la distancia entre moléculas de la forma r^{-(p-1)}, con p>2.

Para demostrar la existencia y unicidad de las soluciones hay que demostrar que una condición inicial suficientemente general para el gas evoluciona gracias a la ecuación de Boltzmann sin producir ningún tipo de singularidad que provoque que la solución se vuelva infinita en un tiempo finito, que la solución explote (técnicamente se usa el término blow up). De esta forma se demustra que toda condición inicial arbitraria (suficientemente regular, diría un matemático) evoluciona hacia un estado de equilibrio. Gressman y Strain han demostrado la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación de Boltzmann utilizando técnicas de análisis armónico y de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No han sido los únicos, ya que Alexandre et al. lo han logrado para el caso particular p=5, demostración que utiliza otras herramientas diferentes y que, parece ser, han podido generalizar (aunque a posteriori de la demostración de Gressman y Strain). En ambas demostraciones el teorema H de Boltzmann, que él utilizó para su “demostración” no rigurosa, ha sido clave, pero las herramientas matemáticas utilizadas son modernas (desarrolladas en los últimos 50 años).

Esta entrada es mi participación en la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Zurditorium. Quizás es más técnica de lo necesario. Tengo un borrador de una entrada más divulgativa, pero no sé si podré tenerla a tiempo para la fecha tope, este domingo.

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