Fermat no demostró su último teorema

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Todos los expertos en historia de las matemáticas afirman que Pierre de Fermat (1607–1665) no demostró el llamado último teorema de Fermat: la ecuación xn + yn= zn, para n > 2, no tiene soluciones enteras no triviales, con x y z ≠ 0. La nota marginal escrita alrededor de 1637 fue publicada a título póstumo por su hijo Clement-Samuel en 1670 (junto a otros textos anotados y cartas a colegas). Con toda seguridad Fermat imaginó una demostración basada en su método del descenso infinito. Pero años más tarde se dio cuenta de que era incorrecta. Por ello nunca la volvió a mencionar durante el resto de su vida.

Muchos matemáticos aficionados han intentado, y aún intentan, reconstruir la supuesta demostración que Fermat logró con unos 30 años de edad. Su labor es vacua. Tal demostración no existe (Fermat nunca la mencionó durante los restantes 30 años de su vida). Con las herramientas matemáticas conocidas por Fermat en el siglo XVII, o las desarrolladas en el siglo XVIII basadas en su trabajo, es imposible emular a Andrew Wiles.

[PS 14 Apr 2017] Recomiendo leer a Enzo Bonacci, «A Note on Fermat Equation’s Fascination,» Journal of Mathematics and System Science 6: 139-146 (2016), doi: 10.17265/2159-5291/2016.04.002. Allí se llama fermatistas a quienes pretenden demostrar el Último Teorema de Fermat usando herramientas matemáticas elementales, próximas a las que pudo usar Fermat en el siglo XVII. Muchos fermatistas afirman ser objeto de una conspiración: lograron una demostración elemental pero nadie se la quiso publicar. Como es obvio, a día de hoy, todas sus demostraciones contienen errores.

«Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet«. Pierre de Fermat (1607–1665). Publicado en 1670 por el hijo de Fermat, quien lo escribió c. 1637. [/PS]

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Para n = 2, el teorema de Pitágoras afirma que la ecuación x2 + y2 = z2, tiene infinitas soluciones, llamadas tripletas pitagóricas, como (3, 4, 5). El método del descenso infinito de Fermat permite demostrarlo fácilmente. Con toda seguridad lo sabía alrededor de 1635. Solo se conserva una demostración escrita por Fermat, el resto fueron recreadas por quienes estudiaron su correspondencia con otros matemáticos.

En 1636 Fermat afirmó tener una demostración para n=3 y retó por carta a varios matemáticos (Sainte-Croix, Frénicle, …); no se conserva, pero tuvo que ser similar a la que obtuvo Euler en 1753 usando el método del descenso infinito. Euler cometió un error (quizás Fermat también lo habría cometido) que fue resuelto por Gauss, Dirichlet y Kummer. Varios matemáticos han reconstruido lo que pudo ser su demostración.

Fermat afirmó tener una demostración para n=4 y también retó a varios matemáticos a encontrarla. Esta demostración, basada en el método del descenso infinito, es mucho más sencilla que en el caso n=3. Hoy en día disfrutamos de una reconstrucción de esta prueba. Basta probar que la ecuación x4 − y4 = z2 no tiene soluciones coprimas (recuerda que x4 + y4 = z4 implica que z4 − y4 = (x2 )2).

La historia de las demostraciones del teorema de Fermat es apasionante. Te recomiendo profundizar en ella. Pero no te recomiendo perder el tiempo en vano buscando lo que no existe. Tu tiempo estará mejor gastado si estudias el trabajo de Wiles.



16 Comentarios

  1. Aprovecho en comentar que a diferencia de la Medalla Fields, el Premio Abel sí, reconoció con la debida oportunidad a Andrew Wiles por la obtención de semejante logro.

  2. El método del descenso infinito es una pieza de arte muy singular 🙂 todos los buenos aficionados de las Matemáticas deberían encontrarla muy bonita. Comparto una entrada en Gaussianos al respecto:
    http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/

    Uno de los episodios más apasionantes de la historia del último teorema viene de la mano de un intento fallido de Lamé. Yo encuentro fascinante el evento pues (al nivel más elemental posible) la definición de ideal de un anillo fue una de las grandes ganancias que dejó la aventura del teorema de Wiles, adjunto un enlace (también de Gaussianos) maravilloso que explica un intento serio, simple y fallido de Lamé.

    Reflexionar en el fallo vale la pena pues pone en evidencia que todos los intentos injenuos de extender los racionales para factorizar el polinomio de fermat en el anillo de enteros para el campo en cuestión (qué es lo primero que se ocurriría) está destinado al fracaso por la estructura de ideales del anillo.

    Es interesantísimo el ejemplo porque es simple, porque ayuda a dar contraejemplos importantes, porque resalta la importancia de lo que es un ideal y la riqueza que pueden tener en un anillo arbitrario y porque la prueba del teorema de Fermat se puede replantear en estos términos para N=3 y N=4 … justo estos dos números son los órdenes más grandes para los cuales un polinomio de dicho grado puede ser factorizado por radicales 😉

    http://gaussianos.com/la-razon-por-la-que-el-ultimo-teorema-de-fermat-escapo-de-las-garras-de-lame/

  3. Ricard, al parecer tu pregunta esta mal formulada, no es que no exista actualmente la demostración al Ultimo Teorema de Fermat (conseguida finalmente por Andre Wiles), sino es que a la fecha no ha sido hallada la demostración atribuíble a Fermat, como tampoco ha sido posible reconstruir dicha demostración con las herramientas matemáticas de la época (siglo XVII)…al contrario lo que se ha confirmado es que sin el desarrollo de la teoría algebraica de números (siglo XIX) y el teorema de modularidad (siglo XX) , no se hubiera podido alcanzar dicha solución ,… finalmente como menciona Francis, ni Fermat ni su hijo postumamente revelaron dicha demostración si es que la hubo.

  4. Nada que objetar, solo añadir, que no hay escuela, colegio o instituto, en el mundo civilizado en la que no se haya mencionado aunque sea de perfil, la historia de dicho Teorema de Fermat, cuya resolución bien daría para una novela o película.

    1. Ahora que lo veo a la luz de lo expuesto, resulta paradójico que Fermat sea más recordado por el único Teorema que nunca pudo demostrar en vida, cuando tiene una obra ingente, que por si misma, le bastaría para ser legendario, atribuyo tal desviación de la atención, a que en aquella época era costumbre plantearse retos entre matemáticos de diversas nacionalidades para obtener la primacía de las casas reales europeas, (digno de mención están los retos formulados entre Newton, Leibniz y Bernoulli), por lo que entiendo su necesidad de prevalecer a toda costa ante primeros espadas como eran Descartes y Pascal, y vaya que lo logro! aunque eso sí, de una manera indirecta: ¡haciendo trabajar a decenas de matemáticos durante siglos!

  5. Se ha publicado en el boletín número 103 de la Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas el artículo «Ecuaciones algebraicas y soluciones racionales» donde se demuestra en muy pocas páginas un teorema que implica el Último Teorema de Fermat, excepto el caso del exponente p =3, estudiado aparte en el boletín número 101 de la misma Sociedad. Las Matemáticas utilizadas son muchísimo más simples que las de la demostración de Wiles.

    1. Hola, Jesús:

      He ido a leer tu artículo al Boletín de la SPAdPM, pero no está disponible online aún. ¿Hay alguna otra manera de acceder a él?

      Gracias y un saludo,
      Jose Brox

      1. Hola, José.
        Yo soy el autor y dispongo de una copia. Si me das tu correo o me dices donde «colgarlo» te lo envío.
        Gracias por el interés
        Jesús Álvarez

        1. He intentado leer tu artículo, desafortunadamente no es posible ver si no un breve resumen al respecto. ¿Puedo encontrarlo en Internet?
          Muchísimas Gracias

  6. Referente a la nota publicada el día 17 de Abril:
    Lo que se afirma se deduce de las conclusiones del artículo ya publicado.
    Sin embargo, se me ha manifestado recientemente desde la misma Sociedad cierto desacuerdo de que el teorema demostrado implique el UTF.

    1. A raíz de la publicacion en el Boletín 531 de la RSME (el último), en la sección “En la red”, de la existencia del blog «Fermat no demostró su último teorema», diversos socios de la RSME han acudido a él y han descubierto un comentario de Jesús Alvarez Mesa, del 17 de abril, en el que vinculaba su artículo “Ecuaciones algebraicas y soluciones racionales”, publicado en el Boletín de la Sociedad Puig Adam, con la demostracion del último teorema de Fermat. Este hecho ha despertado, lógicamente, una cierta expectación y ello ha conducido a que diversos colegas hayan leído dicho artículo y concluido que contiene diversos y gruesos errores y, en particular, que NO es cierto que de los resultados del mismo se concluya NADA relativo al UTF. La Revista va a publicar en el próximo número una nota explicando los errores y pidiendo disculpas.

      Fdo: El presidente de la Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas,
      José Javier Etayo Gordejuela

  7. En internet se pueden encontrar facilmente algunas demostraciones o supuestas demostraciones que supongo serán de los que aquí se llaman «fermatitstas». Pero también la revista de divulgación científica «Conocer», que dirigía Manuel Toharia y tuvo cierto predicamente en los años 80, publicó una demostración o supuesta demostración encontrada por un Español: en el número 19 de agosto de 1984 (que no poseo) y otra pequeña reseña en las noticias del nº 49 en febrero de 1987. He buscado en internet el nombre del supuesto autor de la demostración (Honorio Gutiérrez) y no aparece nada.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 5 abril, 2017
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