La belleza de las matemáticas: la distancia que separa los números 11 (primo) y 12 (compuesto) es 4

Diagrama de Hasse del grafo con arcos (a,b) si a divide b (hasta 12).
Diagrama de Hasse del grafo con arcos (a,b) si a divide b (de 1 hasta 12).

¿Cuál es la distancia entre los númeos 11 y 12? Recuerda que 11 es primo y 12 compuesto. Según el argentino Diego Dominici es dist(11,12)=4, la longitud que conecta ambos números en el diagrama de Hasse del grafo que conecta dos números si el menor divide al mayor (ver la figura). No es fácil definir una distancia entre números naturales que sea bella. En mi modesta opinión Diego lo ha logrado. Un número es primo si dist(1,p)=1. La distancia entre dos primos cualesquiera es 2. El artículo técnico que presenta varias definiciones equivalentes de esta distancia así como demuestra que cumple las condiciones es Diego (Ernesto) Dominici, «An Arithmetic Metric,» ArXiv, Submitted on 3 Jun 2009 .

Si te  gusta la teoría de números, disfrutarás con el artículo de Diego. ¿Quieres jugar con esta distancia entre números? Lo más fácil es implementarla en Mathematica, por ejemplo,

dist[a_, b_] := Plus @@ Last@Transpose@FactorInteger@LCM[a, b]

¿Cuál es la distancia entre la fecha de nacimiento de tu pareja y la tuya? Por ejemplo, entre Albert Einstein, 14 de marzo de 1879 (14031879), y Stephen Hawking, 8 de enero de 1942 (08011942), la distancia es dist[14031879, 08011942]=5.

Si te gusta la matemática recreativa quizás te interesen algunos ejercicios. ¿Serías capaz de demostrar que dist(p,p+1)>=3 para p>3? Y que dist(p,p+2)>=2 para p>2. De hecho, para todo k positivo, dist(p,p+2k)>=2 y dist(p,p+2k+1)>=3, para p>3 en ambos casos. ¿Sabrías demostrar el caso general?

Por cierto, si quieres dibujar el diagrama de Hasse de la figura es fácil de dibujar en Mathematica.

<< Combinatorica` ;  n=12; REL = And[#1 =!= #2, Mod[#2, #1] == 0] &;

ShowGraph[HasseDiagram[MakeGraph[Range[n], REL]],VertexNumber -> True]



4 Comentarios

  1. Algo no me cuadra… 2 divide a 12, y 1 divide a 12, pero esos dos vértices no se consideran. He leido el artículo y no se excluyen esos casos, simplemente no los dibujan. Si se dibujasen no funcionaría, la distancia sería 2 como máximo y perdería toda la gracia.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 4 junio, 2009
Categoría(s): ✓ Ciencia • General • Matemáticas • Mathematics • Personajes • Science
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