Como la solución de un problema centenario se transforma en su solución conocida hace medio siglo

Yo lo he comentado en varias ocasiones en este blog. En mi opinión a la teoría de relatividad general le falta algo. Hay demasiadas soluciones de las ecuaciones de Einstein y no sabemos cómo diferenciar entre una solución «físicamente correcta» y una solución «matemáticamente correcta.» Es necesario que alguien descubra una condición, una restricción, una propiedad, que hayan de cumplir todas las soluciones físicas. En mi opinión de inexperto en el espacio de todas las soluciones, módulo difeomorfismos, debe existir un subespacio en el que se encuentren las soluciones físicamente correctas. Permitidme un ejemplo, que aunque no tiene nada que ver, muestra lo que tengo en mente.

Dibujo20090808_LAD_equations_non_covariant_formLa ecuación relativista (relatividad especial) para el movimiento de una partícula (puntual) cargada fue derivada por Lorentz (1892,1904), Abraham (1903,1905) y en formulación covariante por Dirac (1938). La ecuación de Lorentz-Abraham-Dirac (LAD, a veces llamadas, LD, AL o ALD) es una ecuación de tercer orden, en lugar de segundo orden, luego viola la ley de la inercia de Newton. Presenta soluciones que no pueden ser físicas, que asintóticamente (en el infinito) presentan aceleraciones no nulas en la ausencia de fuerzas, así como preaceleraciones, aceleraciones que aparecen antes que actúe una fuerza, y postaceleraciones, aceleraciones que aparecen una vez la acción de una fuerza ha cesado. Para muchos estas soluciones violan las leyes de la causalidad (causa-efecto). Dirac lo tenía muy claro, si una solución de la ecuación LAD presenta este tipo de «defectos» debe ser descartada. Sólo las soluciones que no los presenten son «correctas» físicamente. Una vez obtenida una solución es «fácil» verificar si es física.

¿Se puede obtener una ecuación de segundo orden que sustituya a la ecuación LAD cuyas soluciones siempre sean físicas? Tras un siglo, Herbert Spohn logró resolver este problema centenario, valga la redundancia, en su artículo «The critical manifold of the Lorentz-Dirac equation,» Europhys. Lett. 50: 287-292, 2000. Estudió todas las posibles soluciones de las ecuación LAD e identificó las que asintóticamente presentan una aceleración en infinito nula como las únicas físicas, en el sentido de que cualquier otra solución física se puede obtener a partir de estas mediante el uso de cierta teoría de perturbaciones. Ello le permitió obtener una ecuación «efectiva» de segundo orden cuyas únicas soluciones son las soluciones físicamente válidas de las ecuaciones LAD. Spohn resolvió un problema centenario.

Fritz Rohrlich, «The correct equation of motion of a classical point charge,» Physics Letters A 283: 276-278, May 2001, observó que la ecuación de Spohn había sido publicada previamente por Landau y Lifshitz (en su famoso curso de Física Teórica, en el segundo volumen, Teoría Clásica de Campos) y por otros autores, como Ford y O’Connell en 1993. En ambos casos, la ecuación correcta se derivó como una aproximación a la ecuación LAD, en lugar de como una ecuación exacta completamente equivalente a ella. Esta es la gran aportación de Spohn. Quizás, haciendo honor a la historia, deberíamos llamar a la ecuación de Spohn como ecuación de Landau-Lifshitz-Spohn (LLS). Rohrlich trató de justificar el origen físico de esta ecuación con un ejemplo concreto.

El trabajo de Spohn era estrictamente matemático. ¿Cuál es el origen físico de su ecuación? ¿Puede ser derivada físicamente a partir de principios físicos fundamentales? Fritz Rohrlich resolvió este problema en «Dynamics of a classical quasi-point charge,» Physics Letters A 303: 307-310, 2002 (ArXiv preprint «The dynamics of a charged particle«). En un artículo posterior estudió los límites de validez de la ecuación LLS (o lo que es lo mismo de LAD), en concreto en Fritz Rohrlich, «The validity limits of physical theories: response to the preceding Letter,» Physics Letters A 295: 320-322, 2002. Más argumentos físicos a favor de las ecuaciones LLS se encuentran en el artículo D. Vogt, P.S. Letelier, «On the Solutions of the Lorentz-Dirac Equation,» General Relativity and Gravitation 35: 2261-2269, diciembre 2003.

Lo dicho, la solución de un problema centenario ya había sido publicado hace 50 años. ¿Pasará lo mismo con la relatividad general de Einstein? Estará ya publicada la ecuación «correcta» pero no somos conscientes de ello.



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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 8 agosto, 2009
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