La demostración de Otelbaev del problema del milenio de Navier-Stokes

Por Francisco R. Villatoro, el 18 enero, 2014. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Noticias • Science ✎ 41

Dibujo20140117 Otelbaev - Equation 0 - Formulation of problem

Tras una lectura sosegada de la demostración de Otelbaev (101 páginas en ruso; primeras 9 páginas en inglés), creo que estoy en condiciones de contar un resumen breve de la idea y de la técnica de demostración utilizada. Yo no he encontrado ningún error, tampoco soy experto, pero hay varios argumentos que no me convencen. Otelbaev proclama haber demostrado la existencia y unicidad de soluciones clásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes en condiciones de contorno periódicas.

Lo primero y lo más importante, aunque en la web se han publicado algunas dudas al respecto, debes saber que el enunciado, tal cual, es suficiente para considerar resuelto el sexto problema del milenio del Instituto Clay con toda generalidad. Además, Otelbaev ya ha publicado el artículo en una revista con revisión por pares (aunque laxa), luego si en dos años no se encuentra ningún error, debería recibir un millón de dólares. Ya expresé mi opinión tras una ojeada rápida: no creo que Otelbaev haya resuelto el problema de Navier-Stokes. Quizás era una opinión un poco precipitada, pues tras mi nueva lectura he comprobado que mis argumentos en contra no son tan firmes como yo pensaba, sin embargo, hay cosas que no me convencen. Trataré de contártelas.

¿Qué es lo que más echo en falta en la demostración de Otelbaev? Una idea genial, una idea feliz, una sorpresa. El camino que sigue es estándar y las técnicas que usa son estándares, no hay nada que haya hecho que no pudiera haber hecho Leray en 1933, Hopf en 1951, Ladyzhenskaya en 1954, o muchos otros desde entonces. En la solución de un problema tan importante uno espera aprender nuevas herramientas matemáticas que ayuden a resolver otros problemas. Usar las mismas herramientas que todo el mundo lleva usando desde hace un siglo y lograr un éxito me parece imposible. Pero nunca digas nunca jamás.

¿Por qué me he estudiado la demostración de Otelbaev? Yo trabajo en ecuaciones en derivadas parciales no lineales que comparten con las ecuaciones de Navier-Stokes algunas patologías que impiden demostrar la existencia y unicidad de las soluciones clásicas, como la aparición de singularidades en las simulaciones numéricas para ciertas condiciones iniciales. La publicación de nuevas herramientas matemáticas capaces de resolver el problema de Navier-Stokes podría ser el punto de partida de varios años de investigación muy fructífera en mi área. Por desgracia, no he aprendido nada nuevo con el artículo de Otelbaev.

¿Por qué el problema de Navier-Stokes es tan difícil? La razón es la supercriticidad (definición matemática sencilla) de todas las cantidades de origen físico asociadas al problema, como nos contó de forma exquisita el genial Terry Tao en “Why global regularity for Navier-Stokes is hard,” What’s New, 18 Mar 2007; también recomiendo leer a O. A. Ladyzhenskaya, “Sixth problem of the millennium: Navier-Stokes equations, existence and smoothness,” Russian Mathematical Surveys 58: 251-286, 2003. Las ecuaciones de Navier-Stokes se cree que describen la transición de flujo laminar a flujo turbulento (hay indicios numéricos, pero el problema del milenio exige una demostración matemática). Si la demostración de Otelbaev es correcta, la turbulencia no está descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto no afecta en nada a sus aplicaciones en física e ingeniería. Incluso podría ocurrir que la turbulencia tuviera su origen en las paredes u obstáculos en el fluido, pero cuya inclusión no forma parte del problema del milenio.

En el flujo turbulento la energía se distribuye a todas las escalas espaciales (o frecuencias en el espectro de Fourier), pasando desde las escalas gruesas a las escalas finas (o de las frecuencias bajas a las frecuencias altas). Las ecuaciones de Navier-Stokes (EE. NS) son parabólicas e incluyen disipación de la energía (término viscoso), pero aunque la energía decrece globalmente puede crecer localmente (en ciertos puntos, decreciendo más rápido en otros lugares), debido a efectos no lineales (para soluciones grandes en norma), hasta producir una singularidad (blow-up, o explosión de la solución en tiempo finito). Sólo en este último caso las EE. NS describen la turbulencia que se observa en los experimentos físicos.

La física ofrece dos estimaciones matemáticas de las soluciones de las EE. NS en 3D: la energía cinética máxima y la cantidad acumulada de energía disipada (en problemas en 2D existe una tercera estimación que permitió a Leray resolver el problema de existencia y unicidad en 1933). Estas dos magnitudes son supercríticas respecto al escalado de las soluciones , es decir, conforme la escala es más pequeña acotan peor la solución, con lo que no permiten un control suficiente de las escalas pequeñas como para garantizar que se pueda demostrar que no se produce una singularidad. Leray (1933) demostró que estas magnitudes permiten demostrar la existencia de soluciones débiles, pero fue incapaz de demostrar su unicidad (problema aún abierto), ni si estas soluciones son clásicas (problema del milenio). Por supuesto, cuando la condición inicial es pequeña, la solución permanece pequeña, no se producen singularidades y como demostró Leray (1934) existe la solución y es única. El problema del milenio exige extender este resultado a soluciones grandes.

Terry Tao nos propone tres estrategias para resolver el sexto problema del milenio. Estrategia 1: obtener una solución exacta. Estrategia 2: descubrir estimaciones de las soluciones que sean subcríticas, o al menos críticas, respecto al escalado. Estrategia 3: una idea genial, un nuevo método nunca antes explorado. Para Tao, la estrategia 2 es la más prometedora (p.ej. permitió a Perelman el resolver el problema del milenio de Poincaré). Sin embargo, mi lectura de la demostración de Otelbaev me indica que ha pretendido seguir (en mi opinión sin éxito) la estrategia 3; según Tao, no se puede concebir una demostración de este tipo que no incluya la estrategia 2.

Otelbaev presenta una estimación que parece subcrítica, la condición B1 descrita por la ecuación (3.1), pero tengo dudas sobre su demostración. Tras ojear la demostración mi primera impresión fue que la condición no era una estimación subcrítica para γ>0. Ello me hizo pensar que la demostración podía ser incorrecta. Sin embargo, tras una lectura en más detalle parece que puede serlo para  γ>3/8, pero no estoy seguro de que no sea necesaria su validez en todo el intervalo 1/2>γ>0 que aparece en la definición de la condición B1.

Según Tao, hay seis posibles caminos posibles en la estrategia 3. Estrategia 3.1:  usar un nuevo concepto de solución débil en un espacio de funciones cuya topología permita demostrar que en cierto límite son soluciones clásicas. Estrategia 3.2: usar métodos iterativos, de perturbaciones, o de renormalización para un parámetro pequeño que se puedan sumar a todos los órdenes. Estrategia 3.3: demostrar la existencia de singularidades usando métodos de perturbaciones. Estrategia 3.4: usar técnicas de reescalado y cirugía de las singularidades (p.ej. como usó Perelman en el flujo de Ricci). Estrategia 3.5: por reducción al absurdo, asumir que existe una solución singular y demostrar que minimiza cierta cantidad conservada. Estrategia 3.6: abstraer el problema y atacar el problema desde un foco más general que logre ocultar y esquivar de alguna forma la supercriticidad de las estimaciones conocidas para las ecuaciones de Navier-Stokes. Este es el camino que sigue Otelbaev en su demostración. Según Tao, en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales esta estrategia no suele funcionar, porque el problema más general suele ser un monstruo más patológico que el problema particular. Normalmente se dominan los problemas particulares y luego se generaliza la técnica (como en el método de los semigrupos de Kato).

Al grano. ¿Qué contiene el artículo de Otelbaev? La sección 1 introduce el problema y reclama el millón de dólares. La sección 2 enuncia el resultado principal del artículo, el teorema 1 (que aparece en la figura que abre esta entrada). Para demostrar este teorema 1, se demuestra un teorema 2 relativo a un problema abstracto que se presenta en la sección 3 (ecuación de Navier-Stokes generalizada). El teorema 2 requiere que los operadores del problema abstracto, un operador lineal A y un operador bilineal B, cumplan ciertas condiciones (A y B1-B4) que se describen en la sección 3. En la sección 4 se demuestra el teorema 1 a partir del teorema 2, es decir, se demuestra que la ecuación de Navier-Stokes es un caso particular del problema abstracto y cumple las condiciones A y B1-B4. En la sección 5 se presenta de forma no rigurosa la idea de la demostración del teorema 2. En la sección 6, páginas 27 a 73, se presenta la demostración del teorema 2; esta es la parte más importante del artículo. En la sección 7 se presentan resultados técnicos conocidos por los expertos (que aparecen en libros como el de Ladyzhenskaya) que han sido utilizados por Otelbaev. Y en la sección 8 (casi un apéndice) se demuestran propiedades “triviales” del operador F.

Empecemos por el resultado clave del artículo, el teorema 2, la existencia y unicidad de soluciones del siguiente problema abstracto.

Dibujo20140117 Otelbaev - Equation 3-4 - General NS problem

Otelbaev se abstrae de las EE. NS y las formula de forma general (3.4) en un espacio de Hilbert adecuado. De esta forma se olvida de la presión y de la incomprensibilidad del flujo. Los pasos que da son los siguientes. Primero se quita la presión.

Dibujo20140117 Otelbaev - Equation 4-3 - F operator

gracias a las propiedades del operador F; en su definición aparece la inversa del operador laplaciano (delta mayúscula coronado con virgulilla) que se interpreta en el sentido de los operados pseudodiferenciales, es decir, en el espacio de Fourier,

Dibujo20140117 Otelbaev - ec 4-2

Las siguientes propiedades del operador F se demuestran en la sección 8,

Dibujo20140117 Otelbaev - F operator

Luego usa dichas propiedades para demostrar el lema 4.4 y el corolario 4.4,

Dibujo20140117 Otelbaev - lema 4-4 - F operator

Que le permiten olvidarse de un plumazo de la condición de incomprensibilidad del fluido, obteniendo el problema equivalente

Dibujo20140117 Otelbaev - lema 4-6 - NS general

Este problema lo escribe de la forma (3.4) tomando

Dibujo20140117 Otelbaev - general NS operators A B

donde A es un operador autoadjunto con dominio D(A) y B es un operador bilineal. El artículo de Otelbaev tiene como objetivo demostrar que el problema abstracto (3.4) tiene solución única en el espacio de Hilbert H (Teorema 2); en artículos anteriores demostró la existencia de soluciones, pero el nuevo artículo no requiere conocerlos.

La demostración del teorema 2 requiere que los operadores A y B cumplan ciertas condiciones técnicas que se enuncian en la sección 3. En la sección 4 se demuestra que las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes las cumplen. Sólo tengo dudas en relación a la condición más importante, la clave de toda la demostración, la condición B1. No veo ningún error, pero no me acaba de convencer como contaré más adelante. Empezaré exponiendo las cinco condiciones A y B1-B4.

Dibujo20140117 Otelbaev - condition A operator

La condición A es estándar, afirmando que el operador lineal autoadjunto A tiene un espectro (de autovalores) con una cota mínima (un autovalor mínimo).

Dibujo20140117 Otelbaev - condition B1 operator

La condición B1 es la condición esencial que debe cumplir el operador B para garantizar la existencia de una única solución clásica; un trabajo previo de Otelbaev que no utilizó esta condición (M. Otelbaev, “Examples of Equations of Navier–Stokes Type Not Strongly Solvable in the Large,” Mathematical Notes 89: 726–733, 2011) sólo pudo demostrar la existencia de solución del problema (3.4), pero no la unicidad. Toda la demostración del teorema 2 se sustenta en esta condición, aunque las demás también son necesarias.

La demostración de que la solución de las EE. NS cumple con la condicón B1 aparece en las páginas 17 a 19. Se basa en que F tiene norma 1 y procede usando las EE. NS estacionarias, sin usar nunca las EE. NS no estacionarias de forma explícita, por lo que sospecho que podría no ser correcta si se produce una singularidad en la solución. Esto podría ser un círculo vicioso, que se demuestre que no hay singularidad imponiendo esta condición cuya demostración asume que no las hay. Quizás la desigualdad que aparece al final de la página 18 sea conocida de estudios previos sobre Navier-Stokes. No siendo experto no pongo la mano en el fuego, pero en las páginas 17 a 19 podría haber un error.

Por otro lado, en la página 19 parece que se indica que la condición B1 se cumple en las ecuaciones de Navier-Stokes para 3/8 < γ < 1/2, cuando en el enunciado de la condición B1 se explicita 0 < γ < 1/2. Si en la sección 6 se necesita usar los valores 0 <  γ < 3/8, podría haber un conflicto. Pero no estoy seguro si son necesarios. Confieso que tras una ojeada rápida al artículo de Otelbaev, mi primera impresión fue que la condición (3.1) no era una estimación subcrítica para γ>0, sin embargo, tomando γ > 3/8 parece que lo es. Los argumentos en contra de la demostración que ofrecí en una entrada previa podría ser incorrectos; lo primero que me pareció que estaba mal podría estar bien. De ahí el esfuerzo que le estoy dedicando a estudiarla.

Dibujo20140117 Otelbaev - condition B2 operator

Dibujo20140117 Otelbaev - condition B3 B4 operator

Las condiciones B2 y B3 son necesarias, pero la condición B4 es técnica (se puede obtener a partir de B1-B3), siendo su utilidad simplificar la demostración (hay trabajos previos de Otelbaev sobre cómo lidiar con estas condiciones).

Dibujo20140117 Otelbaev - theorem b2

El teorema 2 de existencia y unicidad afirma que bajo las condiciones A y B1-B4, el problema abstracto (3.4) tiene una única solución. La sección 6 presenta su demostración. Como nos contó Terry Tao “la abstracción [puede] ocultar las dificultades con alguna notación o con algún concepto sutil que elimine “mágicamente” las dificultades. Un enfoque que ignore la naturaleza de la dificultad del problema debe considerarse sospechoso.” En cierto sentido, una formulación abstracta permite ocultar bajo la alfombra la suciedad, pero no la elimina. Para demostrar el teorema 2, Otelbaev recurre a un nuevo paso de abstracción; si el problema abstracto (3.4) recuerda de lejos a las EE. NS, su nuevo problema abstracto trata de ocultar toda posible analogía.

El nuevo problema abstracto que se usa en la sección 6 se anticipa en la sección 5. Dicha sección tiene por objeto presentar la idea de la demostración de forma no rigurosa, pero deja con mal sabor de boca. Por lo que cuenta Otelbaev, trata de reformular el problema para aprovechar una idea inspirada en trabajos clásicos de Ladyzhenskaya; en mi opinión, es muy sospechoso que trate de desviar la atención hacia un problema clásico en lugar de coger al toro por los cuernos.

El nuevo problema abstracto es el siguiente

Dibujo20140117 Otelbaev - equation 5-1

problema que resulta equivalente (tras varias manipulaciones no triviales) al siguiente (que recuerda a trabajos de Ladyzhenskaya)

Dibujo20140117 Otelbaev - ec 5-2 5-3 problem

donde los coeficientes de esta nueva ecuación abstracta se calculan usando los primeros ocho lemas de la sección 6 (del 6.1 al 6.8). Por cierto, el enunciado del lema 6.2 presenta una errata trivial. Para demostrar estos lemas utiliza las siguientes cuatro condiciones técnicas (sólo las tres primeras se deducen de las condiciones A y B1-B4, siendo la cuarta prescindible (pág. 71-73), aunque aparece aquí porque facilita las demostraciones, según el propio Otelbaev).

Dibujo20140117 Otelbaev - technical conditions - section 6

Con estas 4 condiciones, en la sección 6, Otelbaev demuestra el teorema 6.1, cuyo enunciado es el siguiente,

Dibujo20140117 Otelbaev - teorema 6-1

para lo que utiliza un argumento por reducción al absurdo (pág. 62 a 68) basado en los lemas de 6.1 a 6.11 (páginas 30 a 62). En mi modesta opinión, las demostraciones de estos once lemas son correctas (asumiendo las cuatro condiciones anteriores). Sin embargo, me surgen dudas sobre la demostración del teorema 6.1 (pág. 68-71).

La idea de la demostración del teorema 6.1 es utilizar un método de Galerkin en dimensión finita y llevarlo al límite para obtener un resultado en dimensión infinita. En este método se desarrolla la solución en una serie finita de N términos (utilizando unos operadores de proyección en los autoespacios asociados a los autovalores del operador A) y luego se lleva esta solución al límite N→∞ (pág. 70). ¿Qué garantiza que el límite exista y sea único? Según el artículo técnico está garantizado por construcción de los operadores de proyección. En mi opinión, este paso es muy sospechoso y podría contener un error gravísimo en la demostración. El paso al límite es muy peligroso en las EE. NS  y mucho más en una generalización abstracta de las mismas.

Tomar límites en el marco de un espacio de Hilbert está bien garantizado; tomar límites en la solución de un problema que se ha demostrado que pertenece a un espacio de Hilbert está garantizado; pero tomar límites para demostrar que la solución de un problema está en un espacio de Hilbert ni está garantizado ni puede estarlo. En mi opinión, hay un círculo vicioso en la demostración del teorema 6.1 que invalida por completo su demostración. Bajo la alfombra la suciedad nunca se destruye de forma mágica.

Mis dudas sobre la demostración del teorema 6.1, clave para demostrar el teorema 2, a partir del cual se deriva el teorema 1, resultado fundamental del artículo, han de ser confirmadas por los expertos. Me gustaría que la demostración de Otelbaev fuera correcta, pero tengo dudas muy serias al respecto.

Coda final. Esta entrada es mi primera contribución a la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Cuentos Cuánticos de Enrique F. Borja. Lo sé, el carnaval empieza el próximo domingo, pero prometí una entrada sobre la demostración de Otelbaev y dada su actualidad creo que debo publicarla cuanto antes. Espero que Enrique la acepte. En cualquier caso, la semana próxima escribiré otra entrada con la situación entonces de la demostración de Otelbaev.



41 Comentarios

  1. Dado que es un problema que se conoce desde hace tanto tiempo, coincido en el hecho de que no es probable que se pueda resolver sin una idea feliz, teniendo en cuenta los grandes esfuerzos realizados para demostrar la unicidad y resolver si es posible estas ecuaciones.
    Además, no debemos olvidar que a nivel informático se están utilizando grandes medios para el desarrollo de los CFD, que no dejan de ser una mera aproximación, bastante útil a nivel cualitativo, que no tanto a nivel cuantitativo.

    1. No necesariamente que el problema sea resuelto de manera “simple” en comparacion a lo que se imaginaba que podria ser significa que este matematico no haya sido capaz de responderlo. Claramente el define su espacio a trabajar en un espacio periodico (entre 0 y 2pi), se oriento a un espacio donde pudo dar una demostracion general, tal como para los que entienden menos de matematica , funciona la division en todos los numeros menos el 0.
      No desmerece el merito de este sabio matematico que haya sido capaz de ver mas alla de lo que hicieron sus colegas precursores a la hora de buscar una solucion a la interrogante planteada, en muchos casos dentro de el mundo de la matematica y la fisica se han visto casos de soluciones geniales y simples a problemas de antologia.
      Podemos nombrar el ejemplo de Évariste Galois, joven matematico que soluciono uno de los problemas que habia tenido a los matematicos en jaque por mas de un siglo resoviendo las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales la noche antes de fallecer en un duelo a los 20 años de edad.
      O el afamado matematico de apellido Mendelbrot que logro avances significantes en las matematicas requeridas para las ciencias computacionales sin jamas haber demostrado algo, simplemente dio las ideas claves de “desestancamiento” para que otros colegas pudieran dilucidar la respuesta a estos grandes problemas del siglo XX. En un caso mas extremo podriamos incluso exponer el mismo Pitagoras, antes de su teoria esta no existia y era ciega para todo hombre, y luego de este personaje aun utilizamos su trabajo desde la fabricacion de fosforos hasta el rascacielos mas alto.
      La historia cambia a todos los hombres, pero solo basta un hombre para cambiar la historia.
      Concluyo mi argumento diciendo que si expertos han verificado la integridad de la demostracion de Otelbaev para este problema del milenio, poco se puede argumentar en contra o desestimar en este caso la solucion dada; quiza no es ‘elegante’ como muchos esperarian o les gustaria, pero lo ha logrado . Despues de todo esto es ciencia, y como dijo George Bernard Shaw, “la ciencia jamas resuelve un problema sin crear 10 mas”.

      >’Cualquier hombre que haya estado involucrado en trabajo cientifico sabe que en la entrada del templo de la ciencia estan escritas las palabras “Tu debes tener Fe”‘<

      1. Ignacio: (1) “Define su espacio a trabajar en un espacio periodico”. No importa. El problema es la aparición de singularidades en ciertos puntos y hay que controlar la ecuación en un entorno de dichos puntos, que en la práctica están “infinitamente” alejados de los contornos. Resolver el problema periódico es una solución válida correcta al problema del Milenio.

        (2) “No desmerece el merito de este sabio matematico”. Salvo que su demostración tenga un error. Y lo tiene. Ya se ha encontrado un contraejemplo trivial.

        (3) “Évariste Galois (…) resoviendo (…) la noche antes de fallecer”. ¡Qué poco sabes de la historia de las matemáticas! La historia de Galois es muy bonita, búscala en la web. Resumiendo mucho, Galois necesitó 5 años de trabajo y como nadie le hacía caso a sus teorías, la noche antes de morir, escribió cartas a varios amigos para que le enviaran sus trabajos a título póstumo al famoso Liouville, quien se tiró diez años sin echarles ni un vistazo.

        (4) ¿”Mendelbrot”? Benoit Mandelbrot. “Que logro avances (…) sin jamas haber demostrado algo”. ¡Qué poquito sabes de historia de la matemática! En honor al genial Mandelbrot y su obra te ruego busques en la web sus trabajos matemáticos (repletos de demostraciones matemáticas) y no sus obras de “divulgación” donde no demuestra nada (como es obvio).

        (5) “Si expertos han verificado la integridad de la demostracion de Otelbaev”. Ninguno lo ha hecho. Lo cierto es que ya se han encontrado contraejemplos (luego el trabajo está mal). Así que ningún experto de los buenos se va a molestar en revisar un trabajo que ya se sabe que está mal.

        No creo que el problema del milenio de Navier-Stokes se resuelva en las próximas décadas, pero espero equivocarme (por mi propio bien, claro, así podré dar la noticia en mi blog a bombo y platillo).

  2. No entiendo el objetivo de argumentar que la solucion es demasiado “sencilla” y que cualquier podria haberlo resuelto antes. Esto pretende desmerecer el trabajo del autor ? , es menos valida la demostracion porque sea demasiado sencilla ?
    Yo diria que al contrario, desmerecerá en todo caso la inteligencia, o los metodos de trabajo del resto del mundo, que no ha sido capaz en casi 100 años de darse cuenta de lo obvio.
    Darse cuenta de algo que el resto del mundo no ha sido capaz de ver en casi 100 años, sigue siendo una genialidad.

    1. No tengo el nivel como para poder seguir el artículo, pero por lo que he entendido de la introducción, el problema tiene una cierta complejidad y debe ser resuelto con métodos de la misma complejidad. Al usar métodos más simples, puede haber menos soluciones que el total real, o todo lo contrario.
      Al menos eso supongo yo. Si resulta que no se encuentra refutación a sus argumentos en unos meses/años, estaré de acuerdo contigo.

    2. En el artículo no se argumenta en ningún momento que la solución sea sencilla. En Matemáticas y a éste nivel, no hay nada sencillo. El autor lo único que quiere expresar es que en su opinión, en principio, que lo haya resuelto con los métodos estándar o ya existentes, es algo que de primeras resulta extraño. No desmerece a ningún “genio”, al contrario, pone en valor el trabajo y la inteligencia de los que le precedieron. Y en un primer momento lo que nos dice el sentido común, es que utilizando las mismas “herramientas” que utilizaron o pudieron utilizar esos otros “genios”, resulta extraño que se haya dado con la solución.
      No obstante, Francisco deja también bien claro que si no se encuentra ningún error, debería recibir el premio del instituto Clay y que él, por lo pronto, no se lo ha encontrado.
      A mí me parece un artículo genial, que tiene un mérito y un trabajo detrás impresionante.
      Felicidades Francisco y gracias.

    3. Michael, los problemas difíciles, pero que muy difíciles, lo son porque las técnicas convencionales no permiten resolverlos. Miles de matemáticos han intentado resolver el problema con las herramientas matemáticas usadas por Otelbaev (hasta yo entiendo la demostración y no soy experto). Ningún experto espera que un problema tan difícil sea resuelto sin una idea que no se le haya ocurrido a los miles de matemáticos que lo han intentado. La demostración de Otelbaev no ofrece ninguna idea nueva, por ello comenté en la entrada que me parecía una demostración sencilla.

      Como bien sabrás, ya se ha encontrado un contraejemplo y ya se sabe que la demostración es incorrecta. La demostración falla por el lugar más obvio y parece casi imposible que Otelbaev pueda arreglarla. Para hacerlo tendrá que reescribir la demostración completa desde el principio y desarrollar una nueva técnica de demostración (que yo predigo que no será tan sencilla como para que yo la pueda entender no siendo experto).

  3. Creo que se explica bastante bien cuando dice que estos problemas se suelen resolver con demostraciones que implican matemáticas nuevas. Que es raro que, sin salirse de las “reglas del juego ya conocidas”, nadie hubiera dado con su respuesta antes. No dice en ningún momento que haya un fallo, sólo que su intuición le hace pensar que lo hay. Lo bueno es que será cuestión de tiempo que lo corroboren o desmientan. Lo malo, que si lo corroboran no habrá juguetes (matemáticos) nuevos por navidad.

  4. Si las matemáticas utilizadas no son demasiado sofisticadas y son conocidas entonces la comunidad matemática no tendrá demasiados problemas en reconocer un error en caso de haberlo. Procuraremos estar atentos … a ver que ocurre con este asunto.

  5. Estoy de acuerdo con Emilio Molina, está perfectamente explicado y en ningún momento se argumenta que sea sencillo. Es más, Francisco deja bien claro que él no le encuentra en principio ningún error, y que si no se lo encuentran, deberían de darle el premio del Instituto Clay.
    Excelente artículo Francisco. Espero con ganas la segunda entrega. Gracias.

  6. thanks for this blog entry.
    please give more detail showing how 4.3 implies 4.5, in the context of u, a weak solution in sobolev space.
    What is the definition of E?
    Why does he put a tilde above the Inverse Laplacian?

    Also, divu =0 , is incompressibility, not irrotationality, which would be curlu=0.

    Does anyone know an ocr (optical character recognition program) that will
    turn otelbaev’s pdf image file of his paper into something that runs in google translate? Preferably, a free ocr program?
    Is there a better free translation program?
    Or can someone post an english language translation pdf of his paper?

    1. Penny, E is the identity operator, the tilde over the Laplacian inverse indicates a pseudodifferential definition, i.e., in the sense of Fourier analysis, the transition from 4.3 to 4.5 is straightforward and appears in section 8 of the paper.

      There are several free online OCR translators, like http://www.onlineocr.net/, then you can translate the Russian to English using Google.

      Threre is a GitHub innitiative to translate the paper to English being in progress at https://github.com/myw/navier_stokes_translate

      Bests

  7. much thanks Francisco for the info.
    I will try the ocr program.
    What program did you use to translate the ocr russian?
    Google translate tends to destroy the math
    formatting.
    best

  8. Tao se pronuncia sobre el tema y referencia este mismo post en su blog:

    http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/#comment-265953

    “19 January, 2014 at 8:37 pm
    Terence Tao

    Villatoro’s blog has some detailed analysis, and has recently raised some serious issues with the paper as well, in the crucial Section 6. (It’s in Spanish, but this is easy to translate online.)

    I can’t read Russian either, so I am happy to defer the detailed checking to others, but my feeling is that this sort of abstract approach to the regularity problem, using only the energy identity and harmonic analysis estimates on the nonlinearity rather than more precise geometric information specific to the Navier-Stokes equation (e.g. the vorticity equation) is necessarily doomed to failure. I think I can formalise a specific obstruction in this regard and hope to present it here in a couple weeks.”

  9. Comentario de Terence Tao en su blog 10/01/2014
    El blog de ​​Villatoro tiene algunos análisis detallado, y se ha planteado recientemente algunos problemas serios con el papel, así , en la Sección 6 cruciales. (Está en español, pero esto es fácil de traducir en línea.)

    No puedo leer de Rusia tampoco, así que estoy feliz de diferir la comprobación detallada a los demás, pero mi sensación es que este tipo de aproximación abstracta al problema de regularidad, utilizando sólo la identidad de la energía y de las estimaciones de análisis de armónicos en la no linealidad en lugar de más precisa información geométrica específica a la ecuación de Navier-Stokes (por ejemplo, la ecuación de la vorticidad) está necesariamente condenado al fracaso. Creo que puedo formalizar una obstrucción específica en este sentido y espero que lo presente aquí en un par de semanas.

  10. Cuando hay demostraciones que atacan un problema difícil de manera “generalizada” yo hallo que lo más fácil (para encontrar un error) es tomar tomar el resultado intermedio que se vea más impresionante y buscarle contraejemplos.

  11. I am looking through the paper a little bit at a time. While my gut tells me that at some point I will find a mistake, I don’t think the mistake lies in using Galerkin approximations. If you can prove appropriate uniform bounds on Galerkin approximations, those same uniform bounds will apply to any limit point of the Galerkin approximations. That you cannot prove at this point that the limit point is not unique is not a problem. Because once you have the appropriate bound on one of the limits, you can THEN prove that this limit is unique.

    The Navier-Stokes equation is fundamentally a problem of obtaining uniform bounds on Galerkin approximations. That is, it is an assymptotically finite dimensional problem rather than a genuine infinite dimensional problem.

    1. In my experience with these sorts of abstract attempts to solve the Navier-Stokes regularity problem, the difficulty is often concealed in some inconspicuous interchange of limits (or interchange of limit and integral, etc.), and usually at a part of the paper where the author is not being as careful and detailed as he or she is in other parts of the paper.

      That said, the limit that concerns me the most from what I have read (I could get as far as Section 5 without any knowledge of Russian, but the crucial Section 6 has defeated me) is the limit \xi -> \xi_1, and in particular the claim that the identity (i) on page 26 continues to hold in the limit \xi = \xi_1, which is crucially used in the first multiline display on that page. It is important here that one has strong convergence in the limit \xi -> \xi_1; weak convergence would only give an upper bound for the norm of v(xi_1), rather than an exact identity, which would not be useful for the argument given here. Unfortunately the proof of this convergence is buried somewhere in Section 6, which I was not able to penetrate, but this may be something worth focusing on. (It was also a bit ambiguous from the text whether xi_1 really is permitted to be infinite here; this could be a related issue.)

      From what I can gather from Section 5, the strategy of proof is to take the Navier-Stokes solution v^\circ and deform it by an additional flow (in the xi variable) in such a way that the limit (at xi=xi_1) becomes an eigenfunction of the Laplacian at each fixed time, at which point the contribution of the nonlinearity can be handled. The problem with these sorts of arguments is that the mass or energy could bubble off to infinitely high frequencies, and so the eigenfunction that appears in the (weak) limit is not actually capturing all of the mass or energy of the original solution. (This is similar to how weak solutions to Navier-Stokes equations are not known to obey the energy identity; instead, one can only prove a one-sided energy inequality, which is significantly less useful.)

  12. En primer lugar, felicidades al Profesor Villatoro por el artículo. Al ajo: sobre la poca originalidad del argumento empleado, las matemáticas utilizadas pueden no ser nuevas pero sí (muy) tediosas. Lo suficiente como para que nadie antes haya tenido la paciencia de explotarlas en todo su potencial. Aquí estamos hablando de análisis funcional en su versión más indigesta. Lo reconozco, a mí el análisis funcional me produce picores; creo que es una rama que está muchos pasos por delante en dificultad del resto de disciplinas matemáticas. Es contraintuitivo, poco natural y trata de expresar unas ideas que son muy abstractas de entrada, aunque luego puedan extraerse aplicaciones muy importantes (todo el tema del Bosón de Higgs es básicamente análisis funcional, por ejemplo). Bien podría ser que el Profesor Otelbayev haya dispuesto del tiempo y la paciencia necesarias que otros no han tenido. Esto no invalida el resultado en caso de ser correcto y, en todo caso, en el futuro alguien puede dar con una nueva herramienta que simplifique el argumento. Para realizar una analogía con conceptos menos duros: se puede demostrar que una cierta EDO x'(t) = f(x,t) tiene solución tratando de integrarla y construyendo una expresión analítica explícita para la misma (suponemos que tal cosa es posible). El método es tedioso y requiere esfuerzo si, por ejemplo, aparece una integral que lleve trabajo; pero de hacerlo correctamente acabará llevando a la solución independientemente de que hubieramos acabado en una línea aplicando el Teorema de Picard-Lindelöf a la función f. Por eso Picard y Lindelöf tienen un teorema con su nombre y el tipo que calculó la integral no. Puede que aquí, el profesor Otelbayev haya solucionado el problema sin que este dé paso a un “teorema de Otelbayev”.

  13. On http://dxdy.ru/post819654.html#p819654
    a Kazakh mathematician Meirmanov working at another institute tells a pre-history of Otelbaev’s work.
    In translation
    …….
    Last year (he, probably, means 2013) O. Made his result public, reported at local conferences and distributed his text. Almost immediately, a gap in the proof was found. The main thing is his trick with introducing a parameter. Opinion: no new ideas or estimates but miraculously the result appears. O. disappeared for a year, then came u with (essentially the same) proof, published it in the journal, not showing to anybody before that. Nothing is mentioned the about previuosly mentioned bug.
    Now there is a committee in the institute of mathematics analysing the paper. Thanks to the user sup on dxdy who invented the counterexample, improved later by Tao. But we (the committee) would have found it anyway, since there is nothing extraordinary in the paper. The example just saved a lot of our time.

  14. A young guy in Russia
    seems to have found a concrete gap in the proof.
    This concerns Statement 6.3. In the ‘proof’, on p.56,
    the passage from (6.33) to (6.34) is made by saying ‘using this and that and aso that’ . However no reasons are visible where does the extra ||z|| on the right hand side comes from. At least some very detailed explanation for this ids needed.

  15. As it is informed on Stackexchange,
    Otelbaev admitted the mistake described by me in the post of 31th Jan.

    Probably, he will make this more public.

  16. June 20, 2014 on the site
    http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/

    Victor Ivrii drew attention to the following article:
    Taalaibek D. Omurov, “The Methods of a Problem Decision Navier-Stokes for the Incompressible Fluid with Viscosity” published at
    http://article.sapub.org/10.5923.j.ajfd.20140401.03.html
    claims to provide the proof of the existence and uniqueness of NS system.
    July 3 Tao admitted that he did not take into account the space of Sobolev type. Omurov uses this space in his article to address the millennium. Everyone is waiting for the word Tao. You probably read the article. What can you say about the new method.

  17. Full research of the Navier-Stokes equations is given in the following monograph.

    Taalaibek D. Omurov, “Existence, Singleness and Smoothness in the Problem of Navier-Stokes for Incompressible Fluid with Viscosity” published at

    http://literatura.kg/articles/?aid=2030

    Abstract

    Existence, singleness and smoothness (or conditional-smoothness) in solution of the Navier-Stokes equation is one of the most important problems in mathematics of the millennium [1], which describes the motion of viscous Newtonian fluid and which is a basic in hydrodynamics [6, 12]. Therefore in this work a nonstationary problem for Navier-Stokes of incompressible fluid with viscosity is solved [1].

    Preface

    The research is devoted to the development of a method for solving 3D Navier-Stokes equations that describe the flow of a viscous incompressible fluid. The study includes a requirements “Navier-Stokes Millennium Problem”, as developed method of solution contains a proof of the existence and smoothness of solutions of the Navier-Stokes equations, where laminar flow is separated from the turbulent flow when the critical Reynolds number: Re = 2300. The decision is obtained for the velocity and pressure in an analytical form, as required by the “Navier-Stokes problem Millennium”. The method of solution is supported by examples for different viscosity ranges corresponding applications.

    In sections 4.3, 4.4, 7.2 and paragraphs 5, 6 new law of the pressure distribution has been found. This law is derived from the equation of Poisson type and differs from the known laws of Bernoulli, Darcy at all. Most importantly, the author has opened a special space for the study of the existence and smoothness (including conditional smoothness) equations Navier-Stokes for viscous incompressible fluid. In the case of smoothness a space with the norms of Chebyshev type has been obtained. The weighted space of Sobolev type arises in the case of conditional-smoothness. For brevity, these spaces can be called: Omurov’s spaces with different metrics.

    K. Jumaliev, Academician, Director of the Institute of Physics NAS Kyrgyz Republic August 1, 2014

    ……

    REFERENCES

    [1] Navier-Stokes Existence and Smoothness Problem. The Millennium Problems, stated in 2000 by Clay Mathematics Institute.

    [2] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A. (1984), Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations, Comm. Math. Phys. 94 (1), pp. 61-66.

    [3] Birkhoff, G. (1983), Numerical fluid dynamics. SIAM Rev., Vol. 25, No 1, pp. 1-34.

    [4] Cantwell, B.J. (1981), Organized motion in turbulent flow. Ann. Rev. Fluid Mech. Vol. 13, pp. 457-515.

    [5] Grujic, Z., Guberovic, R. (2010), A regularity criterion for the 3D NSE in a local version of the space of functions of bounded mean oscillations, Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 27, pp. 773-778.

    [6]Ladyzhenskya, O.A. (1970), Mathematical questions of dynamics of a viscous incompressible liquid (in Russian). Nauka, Moscow, 288 p.

    [7]Omurov, T.D. (2013), Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid with Viscosity.American J. Math.&Statistics, Vol. 3, No 6, pp. 349-356.

    (http://article.sapub.org/10.5923.j.ajms.20130306.08.html)

    [8] Omurov, T.D. (2014), The Methods of a Problem Decision Navier-Stokes for the Incompressible Fluid with Viscosity. American J. of Fluid Dynamics, Vol. 4, No 1, pp. 16-48

    (http://article.sapub.org/10.5923.j.ajfd.20140401.03.html )

    [9] Omurov, T.D. (2013), Navier-Stokes problem for Incompressible fluid with viscosity. Varia Informatica, 2013, Ed. M.Milosz, PIPS Polish Lublin, pp. 137-158.

    [10] Omurov, T.D. (2010), Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid. J.Balasagyn KNU, Bishkek, 21p. [Content of the work is registered in Kyrgyzpatent, and the copyright certificate is received]

    [11] Prantdl, L. (1961), Gesammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hudro- und Aerodynamic. Springer, Berlin.

    [12] Schlichting’s, H. (1974), Boundary-Layer Theory. Nauka, Moscow, 712 p.

    [13] Sobolev, L.S. (1966), Equations of Mathematical Physics. Nauka, Moscow, 443 p.

    [14] Friedman, A. (1958), Boundary estimates for second order parabolic equations and their application. J. of Math. and Mech., Vol. 7, No 5, pp.771-791.

    [15] Hörmander, L. (1985), The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo – Differential Operators. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, NY, Tokyo, 696 p.

    The proximity of the solutions of the Euler and Navier-Stokes equations are in section 2.3. The remark at the end of paragraph 4.2 covers a limited area. The paragraph 7 is devoted to the n-dimensional case of the Cauchy problem.

    See
    http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/#comment-403993

    Sincerely,
    Choro Tukembaev

  18. Vaya! Esto es una jodida m@erd@ no entendí ni el 10%, lo que me hace sentir frustrado. Soy un pequeño e insignificante ingeniero con ínfulas de físico puro. Yo apenas entrando al camino de la rigurosidad, antes estudiaba con leithold, ahora con piskunov y apostol, y esta gente resolviendo a navier-stokes… Que grandes son.

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