«El proceso de crear matemáticas es una búsqueda apasionada, [como] la creación de arte o música. Exige amor y dedicación. [Una] lucha contra lo desconocido y contra uno mismo que despierta fuertes emociones.» A priori, un libro sobre el Programa de Langlands tiene pinta de ser el tostón del verano. Nada más lejos de la realidad. «Aún estamos lejos de comprender [sus] misterios más profundos. [No sabemos si] podremos hallar todas las respuestas en los próximos 50 años.» La autobiografía de Edward Frenkel, «Amor y matemáticas,» Ariel (2015), 419 pp, [web de «Love and Math»], engarzada con la historia del Programa de Langlands, trata de provocar «la curiosidad entre los lectores acerca de las matemáticas [e inspirarlos] a aprender más.»

He disfrutado mucho este libro. Lo he leído casi del tirón, en tres sentadas. Varias veces me he puesto en la piel del autor, he vivido sus penas, sus alegrías, sus pasiones y se me han saltado las lágrimas. Hay momentos muy emotivos en la vida de Frenkel. Y hay momentos duros, muy duros. Además, más allá de su vida personal, rellena de golpes de suerte, el libro presenta conceptos matemáticos muy profundos, que el lector lego quizás prefiera surfear. El ritmo y el estilo son exquisitos. Se nota mucho que Frenkel aprendió a escribir gracias a Thomas Farber, «escritor maravilloso que enseña escritura creativa en la Universidad de California Berkeley.» Su guión conjunto El problema de los dos cuerpos fue publicado como libro y acabó en forma de obra teatral. Quizás te suene Frenkel por su famosa película Ritos de amor y matemáticas (Rites of love and maths), que si no has visto deberías ver.

Pura pasión. Matemáticas y su esencia, el amor, el amor a las matemáticas. Este verano una de las mejores lecturas será el libro de Frenkel «Amor y matemáticas.» No importa si nunca has oído hablar del Programa de Langlands, aprenderás lo que es, por qué es importante y disfrutarás de una historia de amor que te será difícil olvidar.

«Hay un mundo secreto ahí fuera. Un universo oculto, paralelo, de belleza y elegancia, intrincadamente conectado con el nuestro. Es el mundo de las matemáticas. Y a la mayoría de nosotros nos resulta invisible. Este libro es una invitación a descubrir ese mundo.» Así empieza el Prefacio de Frenkel, que continúa «¿Se imagina que en la escuela hubiera asistido a una «clase de arte» en la que solo le hubieran enseñado a pintar una valla? ¿Que nunca le mostraran las obras de Leonardo da Vinci o de Picasso?» Si así fuera, seguro que diría «aprender arte en la escuela fue una pérdida de tiempo. Si alguna vez necesito pintar una valla, pagaré a alguien para que lo haga.» Pero así «es como se enseñan las matemáticas.» Frenkel nos enseña «los acordes de las matemáticas modernas, que [nos] han ocultado [en la escuela]. [Nos] promete que [nos] enriquecerá la vida.»

El lector lego necesitará la «Guía para el lector» donde Frenkel confiesa que «es perfectamente lícito saltarse las partes que parezcas confusas o tediosas en una primera lectura. Si [se] regresa más tarde a ellas, con nuevos conocimientos adquiridos, puede que resulten más fáciles de seguir. (…) El sentimiento de confusión (incluso, a veces, frustación) es parte esencial de ser un matemático. (…) El sentimiento de triunfo personal cuando comprendemos algo hace que todo merezca la pena.»

El capítulo 1, «Una bestia misteriosa,» nos habla de su fascinación de niño por el mundo cuántico y, en concreto, la vía óctuple de Gell-Mann. La teoría de los quarks le parecía puro azar, hasta que el matemático Y. Y. Petrov, amigo de sus padres, le desveló el secreto. «Los libros que me prestó me ofrecían una mirada a un mundo completamente diferente, cuya existencia yo ni siquiera imaginaba.»

«La esencia de la simetría» (cap. 2) introduce el concepto de grupo y acaba con el grupo de Lie SU(3). «El quinto problema» (cap. 3) se adentra en el antisemitismo en la Unión Soviética en 1984. Madre rusa, padre judío y la pyataya grafa (quinta línea). «A todos los efectos y propósitos, la quinta línea era un eufemismo para saber si eras judío o no.» El capítulo 4, «Kerosinka,» tras el fallido examen de ingreso para estudiar con los mejores, nos relata que el premio de consolación no era tan malo. Saltar una valla de unos siete metros, atravesar la cocina y acabar en el salón principal. Todo ello para asistir a una clase de Kirílov sobre representaciones de grupos. «Conferenciante carismático y un gran ser humano (…) hacía todo lo posible para que los estudiantes [que se colaban] en sus clases se sintieran bienvenidos.»

Estudiar en Kerosinka en lugar de en el prestigioso MGU, «el buque de insignia del programa matemático de la Unión Soviética,» no le fue tan mal a Frenkel. Uno de sus profesores más respetados, Varchenko, antiguo estudiante de Arnold, uno de los grandes matemáticos soviéticos, le ofreció investigar con Fuchs. «Hay una cuestión que ha surgido en mi investigación y creo que es un buen problema para pasar a un estudiante brillante como tú. (…) Ten su número de teléfono. Llámalo y él te dirá qué hay que hacer» (pág. 75). El capítulo 5, «Las hebras de la solución,» nos habla de esos matemáticos judíos que, ya siendo famosos, apoyaban a los brillantes jóvenes judíos que eran rechazados por el MGU. Confiesa Frenkel que «mirando en retrospectiva, me queda claro que sin la amabilidad y generosidad de Fuchs yo nunca me habría convertido en matemático.» Finaliza el capítulo con «aquella tarde, mientras abandonaba el edificio de la MGU, estaba exultante. Iba a comenzar a trabajar en mi primer problema matemático, guiado por uno de los mejores matemáticos del mundo.»

El capítulo 6, «Aprendiz de matemático,» empieza con «resolver un problema matemático es como completar un rompecabezas, solo que no sabes de antemano cómo será la imagen final. Podría ser difícil, podría ser fácil o podría ser imposible de resolver. Nunca lo sabrás hasta que lo hagas (o te des cuenta de que es imposible de hacer).» Pero Frenkel lo logró y junto a Fuchs publicó su primer artículo. Justifica su uso de la «tradición rusa de artículos matemáticos, una escritura muy concisa, con pocos detalles,» no por elección, sino por necesidad. Las limitaciones de páginas eran muy estrictas y si pocas páginas no bastaban entonces el artículo no se publicada. Pero era necesario algo más, conocer al editor en jefe de la revista, Gelfand. Le «dio la mano, sonrió y dijo: Encantado de conocerte, he oído hablar de ti.»

Mejor carta de presentación imposible. El artículo de Frenkel con Fuchs, aunque aún era un estudiante de grado, le elevó al panorama matemático internacional. Su siguiente trabajo con Fuchs le llevó de pleno al Programa Langlands, como nos cuenta en «Teoría de la Gran Unificación,» cap. 7. La búsqueda de soluciones de polinomios, la teoría grupos de Galois y su relación con la teoría del análisis armónico (las funciones automorfas). Langlands en 1967 envió «sus ideas en una carta al eminente matemático André Weil. Las copias circularon ampliamente entre los matemáticos de la época.» No había internet.

«Números mágicos» (cap. 8) se adentra en la teoría de números de la mano del último teorema de Fermat y la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Me gusta que el autor no tenga miedo a incluir algunas fórmulas matemáticas, como la función generadora de Eichler (1954), «que es como el ADN de la ecuación» cúbica con cuyas soluciones p-ádicas está conectada. El Programa de Langlands es una generalización de la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil basada en lo que Frenkel llama «La piedra Rosetta» (cap. 9). Para que el lector lego entienda que el nivel matemático es descriptivo, baste decir que Frenkel dedica tres páginas (149-152) a describir lo que son los números complejos. En cierto sentido el libro es como una montaña rusa, cosas fáciles de entender para todo el mundo junto a cosas que requieren una reflexión profunda y que pueden resultar difíciles de comprender incluso a algunos matemáticos.

«En el bucle» (cap. 10) me recuerda que no he hablado de la labor del traductor. En general es pulcra, aunque a veces peca de buscar el juego de palabras en español más próximo al usado en inglés, lo que despista un poco. El título original es «Being in the loop» luego se ha traducido «loop» por bucle, pero en el resto del capítulo se traduce «loop» por lazo. Lo mismo ocurre con «fiber bundle» que el autor suele escribir como «bundle» y el traductor traduce a «haz» cuando en español lo más habitual es hablar de «fibrado» a secas. Peccata minuta que el lector lego no detectará y el lector matemático sabrá perdonar.

Ya que estamos puestos el lector matemático debe saber que ciertos pasajes son de carácter técnico (sin definiciones ni demostraciones). Por ejemplo, «el grupo de lazos de cualquier grupo de Lie, como el grupo SO(n) de rotaciones de una hiperesfera, es también un grupo de Lie de dimensión infinita. Estos grupos de lazos surgen como simetrías en teoría de cuerdas» (pág. 176). Wakimoto «creaba novedosas construcciones del álgebra de Kac-Moody asociada a SO(3). Para dar una idea de lo que son, emplearé el lenguaje de la física cuántica» (pág. 182). Frenkel nos cuenta cómo generalizó la construcción de Wakimoto para SO(3) en el capítulo 11, «Conquistar la cima,» gracias a su colaboración con Feigin (que le presentó Fuchs), que le sugirió estudiar las variedades bandera (flag manifolds).

«Quería dedicar mi vida a las matemáticas sencillamente porque las amaba.» En la Unión Soviética en 1987, muchos «jóvenes de talento escogían las matemáticas como su profesión. Era un área en la que podían dedicarse a una búsqueda intelectual en libertad.» Muchas veces para entender los logros y las actitudes hay que entender el contexto. El trabajo de Frenkel con Fuchs y con Feigin era secreto. Su trabajo público nos lo encuena en «El Árbol del conocimiento» (cap. 12). Apoyar a la toma de decisiones en medicina renal. «Escribimos un artículo al respecto, (…) y [lo sometimos] a una solicitud de patente que se aprobó un año despúes» (pág. 206). «Era como si las matemáticas aplicadas fueran mi esposa, y las matemáticas puras, mi amante secreta.»

«La vida te da sorpresas, sorpresas te da la vida» cantaba Rubén Blades y la sorpresa llegó gracias a «La llamada de Harvard» (cap. 13). «Que te invitaran a Estados Unidos como ganador de una beca fellowship parecía un gran honor. ¡Se dirigía a mí como doctor, pese a que aún no me había licenciado! Por aquel entonces estaba en mi último semestre. (…) La Unión Soviética estaba experimentando tremendos cambios: era la época de la perestroika, de Gorbachov. (…) El jefe del Departamento Matemático de Harvard había decidido crear un nuevo puesto para jóvenes matemáticos rusos con talento. (…) Al parecer, bastante gente mencionó mi nombre.»

En Harvard conoció a matemáticos tan relevantes como Victor Kac, creador de las álgebras de Kac-Moody, pero quien más le marcó fue Vladimir Drinfeld, nos lo cuenta en «Atando los haces de la sabiduría» (cap. 14). Medalla Fields en 1990 (seis después de que Frenkel le conociera), reorientó su carrera hacia el Programa Langlands. «Había ideado un método radicalmente nuevo para construir haces automorfos. Pero la nueva construcción que había concebido dependía de cierta conjetura que creía que yo podría derivar de mi trabajo con Feigin en álgebras de Kac-Moody.» Parece fácil, pero no lo es. «Una danza delicada» (cap. 15) recurre a un guión cinematográfico para relatar el trabajo que le llevó a obtener la tesis doctoral.

El capítulo que más me ha sorprendido, desde los ojos de un doctor en matemáticas español (aunque no soy licenciado en matemáticas) ha sido «Dualidad cuántica» (cap. 16). En 2003 Frenkel recibió un correo electrónico de viejo amigo y colega Kari Vilonen (finlandés). «En su correo, Kari me contaba que había contactado con gente de DARPA que quería concedernos una subvención [multimillonaria] para apoyar la investigación en el Programa Langlands.» Como bien sabrás «DARPA son las iniciales en inglés de la Agencia para la Investigación de Proyectos Avanzados de Defensa.» ¿Qué tiene que ver la defensa de los EEUU con el Programa Langlands? En cuatro páginas (271-274) Frenkel trata de explicarlo, sin éxito, pues lo que no se puede entender, no se puede entender. ¡Así son los estadounidenses! Frenkel y Vilonen decidieron estudiar «el mayor misterio de todos: el vínculo potencial entre el Programa Langlands y las dualidades en física cuántica.» A veces decimos en España que los americanos están locos, buena prueba de ello es invertir millones de dólares del Ministerio de Defensa en el estudio de la dualidades en teoría cuántica de campos.

La ventaja de ser profesor en la Universidad de Harvard es que tienes al alcance de la mano a los mejores entre los mejores. ¿Quién debía colaborar en el proyecto DARPA de Frenkel? Obviamente, Robert Langlands. Obviamente, Edward Witten. Obviamente, una llamada al director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde ambos están afiliados, ofreciendo un proyecto multimillonario es suficiente para que ambos colaboren con uno. En realidad las cosas no son tan fáciles… Convencer a los grandes divos requiere mostrar una jugosa recompensa matemática. Nos cuenta el proceso «Descubriendo conexiones ocultas» (cap. 17). Unos 20 matemáticos y físicos se reunieron en marzo de 2004 para perfilar el proyecto y sus objetivos. Witten, «siempre en primera fila, escuchando atentamente y haciendo preguntas, interpelando continuamente a los oradores,» estaba destinado a jugar un papel clave. Su propuesta fue usar los espacios de móduli de Hitchin (matemático británico, profesor en Oxford). Teoría de cuerdas tipo IIA y tipo IIB, las dualidades entre las Dp-branas en dichas teorías y un artículo clave de Witten con Kapustin de 230 páginas en 2006 llevaron a que el proyecto fuera todo un éxito, publicando Frenkel y Witten en 2007 otro artículo que redondeaba los logros desde el foco del Programa de Langlands.

Cierto es que los capítulos 16 y 17 pueden resultar duros a muchos lectores. Los físicos que conocen la teoría de cuerdas tienen que realizar cierto esfuerzo pues el lenguaje usado es propio de matemáticos, no de físicos. Los matemáticos también tendrán que hacer un cierto esfuerzo por la parte física. Pero eso es lo que tiene la colaboración mano a mano entre matemáticas y física, o física y matemáticas. En cualquier caso, junto con los pasajes más técnicas, para relajar la atención del lector, hay pasajes con anécdotas y curiosidades que pretenden evitar que el lego huya (como hicieron muchos con el libro Breve Historia del Tiempo (1988) de Hawking). Creo que merece la pena releer dichos capítulos para entender mejor la profundidad de su contenido. Y el deleite con el que están escritos produce deleite en el lector.

«Bucando la fórmula del amor» (cap. 18) nos habla de la faceta artística del autor. En 2008, en París, «una de las capitales del cine, (…) tuve la idea de rodar una película acerca de las matemáticas.» Buscó ayuda de Tom Farber. «Como aquellos mentores que me guiaron en el mundo de las matemáticas, Tom me ayudó a entrar en el mundo de la escritura.» Su «guión trataba sobre el choque entre el mundo real y el mundo de la abstracción.» El problema de los dos cuerpos fue publicado como libro y se convirtió en obra teatral. En lugar de llevarlo al cine, tras ver una película del japonés Mishima, decidió hacer una película al estilo de Mishima sobre la fórmula matemática del amor. Ritos de amor y matemáticas tuvo mucho éxito (en España la hemos disfrutado en varios congresos de la RSME).

En la película de Mishima hay una «gran inscripción caligráfica colgada de la pared, shizei, sinceridad.» En su película decidieron hacer lo mismo con la palabra verdad, pero no en japonés, sino en ruso. Pravda hace referencia a la verdad fáctica e Istina a una verdad más profunda, por lo que «la verdad por la que el matemático se sacrifica es istina.» El estreno de la película tuvo lugar en abril de 2010. Si no la has visto, te la recomiendo. «La investigación matemática es como una historia de amor.» Más aún, «la verdad matemática es eterna.»

El epílogo y los agradecimientos (sobre todo a sus padres, pues llegó a EEUU con solo 21 años) dan paso a un extenso número de notas (355-404) y un breve glosario.

Me ha gustado mucho el libro. Confieso que me gustan las autobiografías de los matemáticos (y de los físicos). Pero sobre todo cuando son de su propio puño y letra, sin que intervenga un escritor profesional que mejore su estilo. El libro de Frenkel no necesita la mano de nadie. Su estilo es de fácil lectura (salvo los pasajes matemáticamente más duros, que vienen aderezados de curiosas analogías del mundo cotidiano). Por ello creo que, si te atreves, este verano disfrutarás mucho leyendo sobre el Programa de Langlands, las matemáticas del amor y el amor pasional hacia las matemáticas.