El Premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras de 2020 ha sido concedido a los matemáticos Gregory (Grisha) Margulis de 74 años (Univ. Yale, Connecticut, EEUU) y Hillel (Harry) Furstenberg de 84 años (Univ. Hebrea de Jerusalén, Israel) «por su trabajo pionero en el uso de métodos de la teoría de probabilidad y de sistemas dinámicos en la teoría de grupos, la teoría de números y la combinatoria». En otras palabras, por el uso de la teoría de ergódica, que se usa para entender sistemas caóticos, en otros campos de las matemáticas puras, como la teoría de números o la teoría de grafos. Un trabajo multidisciplinar que les ha permitido compartir un premio de 7.5 millones de coronas noruegas (unos 630 mil euros), que se entregará en la ceremonia a celebrar en 2021 debido a la pandemia del coronavirus.
Un camino aleatorio es una trayectoria formada por pasos aleatorios sucesivos en cierto espacio matemático. Muchos sistemas físicos se describen mediante caminos aleatorios, como las moléculas de un gas, los mercados de acciones, la deriva genética en la evolución, y la excitación de neuronas en el encéfalo, por poner unos pocos ejemplos. Furstenberg y Margulis usaron los caminos aleatorios en grafos y en grupos discretos asociados a ciertos grupos de Lie para desvelar ciertas propiedades de objetos que en apariencia no tienen nada que ver con ellos.
Un grupo de Lie es un grupo con estructura de variedad diferenciable y se usa para describir las simetrías de objetos geométricos (como las rotaciones en un espacio tridimensional). Sophus Lie extendió las ideas de Abel y Galois sobre las simetrías de las raíces de polinomios a las simetrías de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Furstenberg y Margulis han contribuido con muchos teoremas a nuestro conocimiento sobre los grupos de Lie. En general, los grupos de Lie son infinitos y no son compactos (aunque en física de partículas se usan los compactos); los caminos aleatorios permiten estudiar la naturaleza no acotada de los grupos de Lie que no son compactos.
Un sistema dinámico es ergódico si presenta la propiedad de recurrencia (que introdujo Henri Poincarè a finales del s. XIX). Bajo ciertas condiciones, un sistema dinámico retornará (o casi retornará) a cualquier punto del espacio de fase. Se puede conectar el tamaño de un grupo con la recurrencia de cierto flujo ergódico (si el grupo es demasiado grande, es muy probable que no haya recurrencia en los caminos aleatorios asociados al flujo). La obra matemática de Furstenberg y Margulis comprende muchos resultados de teoría ergódica, recurrencia, grupos de Lie y caminos aleatorios.
Furstenberg introdujo la frontera de Furstenberg y la disyuntividad. Margulis introdujo la superrigidez y el teorema de los subgrupos normales. Furstenberg confirmó la demostración del teorema de Endre Szemerédi sobre la existencia de progresiones aritméticas de cualquier longitud, usando la teoría ergódica. Margulis demostró la conjetura de Oppenheim (relativa a la cuasisolución entera de ecuaciones cuadráticas en tres o más variables).
Por cierto, Margulis (1946, Moscú) logró la Medalla Fields en 1978 (ICM de Helsinki) y el Premio Wolf de Matemáticas en 2005 (junto a Sergei Novikov) por sus contribuciones a la teoría de redes en grupos de Lie semisimples, y sus aplicaciones en teoría ergódica, teoría de la representación, teoría de números, combinatoria, y teoría de la medida. Furstenberg (1935, Berlín) nunca logró la Medalla Fields, pero obtuvo el Premio Wolf de Matemáticas en 2006/2007 (junto a Stephen Smale) por sus contribuciones a la teoría ergódica, probabilidad, dinámica topológica, análisis de espacios simétricos y flujos homogéneos. El Premio Abel a ambos es muy merecido, aunque Furstenberg y Margulis nunca publicaron juntos, sobre todo porque sus contribuciones han sido muy sorprendentes en su momento y luego han tenido múltiples aplicaciones prácticas. No soy experto, pero creo que este galardón era más esperado para Margulis que para Furstenberg.
El anuncio oficial es «The Abel Prize Laureates 2020,» Abel Prize, 18 Mar 2020 (PDF en español); resumen en español de las contribuciones de los galardonados [PDF]; «Biografía de Hillel Furstenberg» [PDF]; «Biografía de Gregory Margulis» [PDF]. A nivel divulgativo recomiendo leer a Arne B. Sletsjøe, «Random walk, a good strategy to find the treat, –for the dog as well as the mathematician,» [PDF]; «Asymptotic properties of groups» [PDF]; «Two number theory problems solved by ergodic theory methods, Szemerédi’s theorem and Oppenheim’s conjecture,» [PDF]; «Recurrence of random walks in ℤ and ℤ2, but not in ℤ3,» [PDF]; y «Margulis’ construction of a family of expander graphs, i.e. sparse graphs with strong connectivity properties,» [PDF].
En español recomiendo leer a Alberto Aparici, «Premio Abel 2020 para las matemáticas de «mezclar y agitar»», Ciencia, La Razón, 25 mar 2020; Yago Antolín, Talia Fernós, «El premio Abel reconoce a dos pioneros de la interacción entre probabilidad y álgebra», Ciencia, El País, 24 mar 2020; Manuel de León, «El Premio Abel 2020, para los caminos aleatorios», Matemáticas y sus fronteras, Madri+d blogs, 18 mar 2020; Nerea Diez López, «Hillel Furstenberg y Gregory Margulis, galardonados con el Premio Abel», Real Sociedad Matemática Española (RSME), 20 mar 2020; entre otras.
Esta entrada participa en la Edición 11.1: Desde casa del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza @MoniAlus en su blog El mundo en un chip. Recuerda, #QuédateEnCasa, y aprovecha para contribuir a esta edición del Carnaval de Matemáticas titulada «Desde casa». Tu aporte debe publicarse entre los martes 24 y 31 de marzo, ambos días inclusive (se respeta la hora local del país de origen).
Una famosa anécdota sobre Furstenberg es que cuando «publicó uno de sus primeros artículos circuló el rumor de que el autor no era una persona, sino el pseudónimo de un grupo de matemáticos; el artículo contenía ideas de tantas áreas diferentes, que no podía ser una obra individual». Furstenberg saltó a la fama (matemática) y se consolidó como gran innovador en 1963, cuando estudió el comportamiento asintótico de productos de matrices aleatorias usando técnicas de caminos aleatorios (random walks). Su trabajo (Harry Furstenberg, «A Poisson Formula for Semi-Simple Lie Groups,» Annals of Mathematics 77: 335-386 (1963), doi: https://doi.org/10.2307/1970220) mostraba que el comportamiento de los caminos aleatorios en un grupo de Lie semisimple se relaciona de forma estrecha con la estructura del grupo, e introducía el concepto que ahora se llama «frontera de Furstenberg»; este concepto ha sido muy influyente en la teoría de retículos y en la de grupos de Lie.
En 1967 introdujo el concepto de «disyunción» en sistemas ergódicos, un concepto análogo a ser coprimo en teoría de números (Harry Furstenberg, «Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in diophantine approximation,» Mathematical systems theory 1: 1-49 (1967), doi: https://doi.org/10.1007/BF01692494). Este concepto tiene aplicaciones prácticas en procesado de señales y diseño de filtros en ingeniería eléctrica, así como aplicaciones teóricas en la geometría de conjuntos fractales, flujos homogéneos y teoría de números.
Quizás el trabajo más famoso de Furstenberg fue su nueva y sorprendente demostración del teorema de Szemerédi de 1975 sobre la existencia de grandes progresiones aritméticas en subconjuntos de enteros con densidad positiva (Harry Furstenberg, «Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions,» Journal d’Analyse Mathématique 31: 204-256 (1977), doi: https://doi.org/10.1007/BF02813304). Lo logró como consecuencia a su teorema de recurrencia múltiple en teoría ergódica y se considera una demostración mucho más sencilla que la de Endre Szemerédi, quien ya recibió el Premio Abel en 2012, que se basaba en complicados argumentos combinatorios (E. Szemerédi, «On sets of integers containing k elements in arithmetic progression,» Acta Arithmetica 27: 199-245 (1975), http://eudml.org/doc/205339).
El teorema de Szemerédi, por cierto, es la demostración de la conjetura de Erdős-Turán sobre progresiones aritméticas; es decir, sobre sucesiones de números enteros separados por una cantidad fija, como {5, 8, 11, 14, 17}, sucesión finita de longitud 5 y de salto 3, y 2ℤ = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . . }, sucesión de longitud infinita y de salto 2. En 1936, Paul Erdős y Pál Turán conjeturaron que si se toma un subconjunto infinito de los enteros ℤ con densidad positiva (ellos definieron este concepto), entonces debería contener progresiones aritméticas de longitud arbitraria. Por ejemplo, el conjunto 2Z tiene densidad 2 y todo conjunto finito tiene densidad 0; hay conjuntos infinitos con densidad 0, como el conjunto infinito de números primos.
La demostración de Furstenberg es más conceptual (y más bella) que la de Szemerédi, revolucionando esta área de las matemáticas. Sus ideas resultaron muy fructíferas y condujeron a resultados relevantes, como la prueba por Ben Green y Terence Tao de que la secuencia de números primos incluye progresiones aritméticas arbitrariamente grandes (uno de los resultados de Tao que le llevaron a la Medalla Fields en 2006 en el ICM de Madrid). Todo el mundo conoce la conjetura de los primos gemelos y su generalización, la conjetura de Hardy-Littlewood. Muchos de los avances recientes en esta área deben mucho a los trabajos pioneros de Furstenberg con ideas de la teoría ergódica aplicadas a progresiones aritméticas.
Gregory Margulis ha revolucionado el estudio de los retículos (lattices) en grupos semisimples. Un retículo sobre un grupo es un subgrupo discreto, de tal forma que el cociente entre ambos tiene un volumen finito (cuando el grupo continuo se entiende como variedad diferenciable). En su tesis doctoral de 1970 (no publicada), Margulis construyó lo que hoy se llama medida de Bowen-Margulis de una variedad riemanniana compacta de curvatura variable estrictamente negativa (un resumen de su tesis se publicó en G. A. Margulis, «Certain measures associated with U-flows on compact manifolds,» Functional Analysis and Its Applications 4: 55-67 (1970), doi: https://doi.org/10.1007/BF01075620). Margulis construyó un análogo al teorema de los números primos (que describe la distribución asintótica de los números primos) para los flujos geodésicos con suficiente mezcla (mixing) respecto a dicha medida, obteniendo una fórmula asintótica para el número de geodésicas cerradas más cortas que una longitud dada. El resultado es una generalización de la famosa fórmula de traza de Selberg, que solo funciona para los espacios localmente simétricos. El resultado de Margulis ha tenido muchas aplicaciones en geometría diferencial.
La geometría diferencial en retículos llevó a Margulis hacia la teoría de grafos; en 1973 estudió los vértices concentradores en grafos (G. A. Margulis, «Explicit Constructions of Concentrators,» Probl. Peredachi Inf. 9: 71-80 (1973), Problems of Information Transmission 9: 325-332 (1973), journal web) y en 1974 introdujo la primera familia explícita de grafos expansores (G. A. Margulis, «Probabilistic Characteristics of Graphs with Large Connectivity,” Probl. Peredachi Inf. 10: 101-108 (1974), Problems of Information Transmission 10: 174-179 (1974), journal web). Los vértices concentradores de un grafo son los que tienen un gran número de enlaces y los grafos expansores son los que tienen alta conectividad, es decir, gran número de vértices concentradores. Estas nociones surgieron en el campo de las redes de comunicaciones y hoy en día se usan mucho en informática y sobre todo en códigos de corrección de errores.
El trabajo que llevó a Margulis a lograr una Medalla Fields fue la demostración de la conjetura de Atle Selberg sobre la construcción aritmética dede retículos en grupos semisimples iniciada por Armand Borel y Harish-Chandra (en esencia, estudiar el grupo de matrices con valores enteros dentro de grupo matricial general). Margulis demostró que todos los retículos de rango 2 o superior se obtienen con esta construcción aritmética, es decir, la conjetura de Selberg. Su teorema de aritmeticidad se basó en su teorema de superrigidez, y le permitió resolver el problema de clasificación de retículos en grupos de Lie semisimples (publicado en ruso, se resumió en inglés en G. A. Margulis, «Discrete groups of motions of manifolds of nonpositive curvature,» Amer. Math. Soc. Transl. 190: 33-45 (1977), Google Scholar).
En el curso académico 1975/1976 Margulis, junto con Benjamin Weiss, dirigió un programa de doctorado sobre teoría ergódica en el Instituto Israelí de Estudios Avanzados, de un año de duración, que transformó el campo. Dicho curso le llevó a incorporar en su investigación estas herramientas; así usó de forma asombrosa y sorprendente métodos probabilísticos (caminos aleatorios, teorema de Oseledets, susceptibilidad, frontera de Furstenberg), así como el uso pionero de la propiedad de Kazhdan (T), que un grupo finitamente generado tiene un crecimiento polinómico si el número de elementos de cierta longitud crece como un polinomio. Gracias a ello Margulis publicó en 1978 su teorema de subgrupo normal que permite desvelar la estructura de los retículos en grupos (G. A. Margulis, «Quotient groups of discrete subgroups and measure theory,» Functional Analysis and Its Applications 12: 295-305 (1978), doi: https://doi.org/10.1007/BF01076383; G. A. Margulis, «Finiteness of quotient groups of discrete subgroups,» Functional Analysis and Its Applications 13: 178-187 (1979), doi: https://doi.org/10.1007/BF01077485). Este resultado confirmó que tenía más que merecida la medalla Fields que se le concedió ese mismo año.
En 1987 Margulis logró otra aplicación espectacular de sus métodos probabilísticos con la demostración de la conjetura de Oppenheim en teoría de números (G. A. Margulis, «Discrete Subgroups and Ergodic Theory,» Number Theory, Trace Formulas and Discrete Groups Symposium in Honor of Atle Selberg, Oslo, Norway, July 14–21, 1987 (1989) 377-398, doi: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-067570-8.50029-9). Alexander Oppenheim (1929) estudió la representación de números mediante formas cuadráticas reales en varias variables. La conjetura afirma que una forma cuadrática no degenerada con 3 o más variables, o bien toma un conjunto denso de valores enteros, o bien es el múltiplo de una forma con coeficientes racionales. La conjetura resistió todos los ataques basados en métodos de teoría de números (como el método del círculo de Hardy–Littlewood), pero fue vencida por las técnicas de teoría ergódica y de subgrupos discretos de grupos de Lie semisimples de Margulis. Un éxito increíble que mostró toda la potencia de los métodos probabilísticos para cruzar las fronteras entre distintas disciplinas matemáticas.
En esta pieza he tratado de citar las contribuciones más relevantes de los galardonados, pero seguro que muchos matemáticos dirán que me dejado muchas otras igual de relevantes. De hecho, la influencia de Furstenberg y Margulis va mucho más allá de sus resultados en sus campos de investigación originarios. Son reconocidos como pioneros de la multidisciplinaridad en matemáticas por una amplia comunidad de matemáticos que abarca expertos en grupos de Lie, grupos discretos, teoría de números, matrices aleatorias, informática, teoría de grafos y muchos otras áreas.