La convergencia de la serie ∑ 1/(n³ sin² n) es un problema matemático abierto. Alekseyev (2011) demostró que es convergente si el exponente de irracionalidad (o constante de Liouville–Roth) del número π es μ(π) ≤ 2.5 (recuerda que un número racional q tiene μ(q) = 1 y que los números algebraicos irracionales a tienen μ(a) = 2); la mejor cota actual es μ(π) ≤ 7.1 de Zeilberger y Zudilin (2019), la anterior era μ(π) ≤ 7.6 de Salikhov (2008). Se ha conjeturado que μ(π) = 2, por analogía con el valor exacto μ(e) = 2; en dicho caso, la serie de Flint Hills sería convergente. Parece casi imposible que para una serie tan sencilla aún no sepamos si es convergente o no lo es. La razón es que 1/(sin² n) esporádicamente tiene valores extremadamente grandes, por ejemplo, para n = 3, 22, 25, 44, … sus valores son ~50, ~12764, ~57, ~3191, …
Sinceramente, creo que esta serie es un buen ejemplo para ilustrar a los estudiantes la dificultad de sumar series y determinar límites de sucesiones. Muchas veces solo les ilustramos casos de éxito, en los que determinar si es convergente o divergente raya lo trivial (basta usar criterios ya conocidos a principios del siglo XIX). Creo que estaría bien que les ilustráramos que sus dificultades también son las nuestras y que hay muchas series (muy sencillas de escribir) en las que aún ignoramos si son convergentes o no lo son.
Esta pieza tiene su origen en un tuit de Fermat’s Library (la figura la he tomado de otro tuit de John Dudley). Recomiendo leer a Eric W. Weisstein, «Flint Hills Series,» MathWorld —A Wolfram Web Resource. Los artículos citados son Max A. Alekseyev, «On convergence of the Flint Hills series,» arXiv:1104.5100 [math.CA] (27 Apr 2011); Doron Zeilberger, Wadim Zudilin, «The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137…,» Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 9: 407-419 (2020), doi: https://doi.org/10.2140/moscow.2020.9.407, arXiv:1912.06345 [math.NT] (13 Dec 2019); V. Kh. Salikhov, «On the irrationality measure of π,» Russian Mathematical Surveys 63: 570-572 (2008), doi: https://doi.org/10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. También recomiendo Pickover, C. A. «Flint Hills Series.» Ch. 25 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 57-59 and 265-268, 2002, y Sloane, N. J. A. Sequence A046947 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.»
El borrador de esta pieza lo escribí pensando en que participara en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que organizaba mi amigo Miguel Ángel Morales Gaussianos, pero se me pasó la fecha. Por ello, esta es mi segunda pieza participante en el Carnaval de Matemáticas (@CarnaMat), que en esta nonagésima sexta edición, también denominada 12.3 (#CarnaMat12_3), está organizado por Rafael Martínez González (@Rafalillo86) a través de su blog El mundo de Rafalillo. Si te apetece, puedes participar entre los días 23 y 30 de mayo, ambos días inclusive.
Esta figura muestra que los valores de las sumas parciales de esta serie, ilustrando cómo van saltando conforme se alcanzan los valores de n que son numeradores de los números racionales que convergen a π (en forma sucesiva 1, 3, 22, 333, 355, 103993, etc., más en OEIS A046947). Por ejemplo, la suma para los primeros cien mil términos está dominada por único término, el que tiene n = 355, porque 355/113 ≈ π, de tal forma que 355 es muy próximo a 113 π, siendo el seno sin (113 π) = 0 y sin (355) ≈ −0.000 030.
La gran cuestión es si el exponente de irracionalidad del número π es μ(π) ≤ 2.5. Hay evidencia numérica indirecta de que μ(π) = 2, por ejemplo, en Sully F. Chen, Erin P. J. Pearse, «The irrationality measure of π as seen through the eyes of cos(n),» arXiv:1807.02955 [math.NT] (09 Jul 2018), y en N. A. Carella, «Irrationality Measure of Pi,» arXiv:1902.08817 [math.GM] (23 Feb 2019). Por desgracia, hay un gran trecho entre la mejor cota actual, μ(π) ≤ 7.1, la cota que nos gustaría obtener, μ(π) ≤ 2.5, y lo que apunta la evidencia numérica indirecta, μ(π) = 2.
Por cierto, la serie ∑ (2 + sin n)ⁿ/(n 3ⁿ) es convergente, ya que está acotada por ∑ 2/n⁷⁷ᐟ⁷⁶, como se ha demostrado recientemente en Ravi B. Boppana, «Convergence of a sinusoidal infinite series from Borwein, Bailey, and Girgensohn,» arXiv:2007.11017 [math.CA] (21 Jul 2020).