Os presento las transparencias y una transcripción (extendida) de mi charla de 15 minutos en Naukas BCAM Pi 2024, titulada «La música de los números primos». La presenté el pasado jueves 14 de marzo de 2024, a las 18:45 horas, en la sala Mitxelena de Bizkaia Aretoa (Bilbao), el Paraninfo de la Universidad del País Vasco. Como es obvio, mi título parafrasea el famoso libro de Marcus du Sautoy. Presenté, para público general, la hipótesis de Riemann, el problema matemático más famoso y más relevante de la actualidad, con énfasis en su relación con el número pi. ¡Que disfrutes de mi charla!

La hipótesis de Riemann es la partitura musical de los números primos. El problema matemático más famoso y más difícil que aún no está resuelto. Un problema que ha vencido a todos los genios de la matemática del último siglo y medio. Un problema que está asociado al número pi y a los números primos. La hipótesis de Riemann nos ofrece una fórmula exacta para calcular los números primos. Con esa fórmula Riemann logró asociar ondas con ciertas frecuencias a los números primos, que se pueden interpretar como notas musicales. La música de los números primos es disonante para el oído humano, pero es gloriosa para los matemáticos.

Ya que estamos en el día de pi, me gustaría comentaros que todos los números de vuestra vida están contenidos en los decimales del número pi. Vuestra fecha de nacimiento, vuestro DNI, vuestro número de cuenta bancaria, … Todos esos números los podéis encontrar en pi. El récord actual para el cálculo de decimales de pi son casi 63 billones de dígitos. Y ahora mismo se están calculando 100 billones. Pero no sabemos si todos los números están en pi. Solo lo estarán si pi es un número normal, la conjetura de la normalidad del número pi.

[*] Fuente de la imagen y web para buscar números en 200 millones de dígitos de pi.

Borel demostró en 1909 que, con probabilidad uno, todos los números reales son normales. Todos sus dígitos decimales están equidistribuidos de forma estadística como si fueran dígitos seleccionados al azar con igual probabilidad. Por supuesto, hay una cantidad infinita numerable de números reales que no son normales, que son anómalos. Se ha conjeturado que pi es normal porque se ha verificado que todos sus dígitos que hemos calculado parecen comportarse como si hubieran sido seleccionados al azar aunque pi está definido por una fórmula matemática. En la figura tenéis la verificación con 22.4 billones de dígitos de pi.

[*] La fuente de la figura es Peter Trueb, «Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi,» arXiv:1612.00489 [math.NT] (30 Nov 2016), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1612.00489. Recomiendo mi pieza «Sobre la normalidad de pi», LCMF, 16 abr 2023. 

Este comportamiento aleatorio, en algo que en apariencia no debería tener ninguna aleatoriedad, también ocurre con los números primos, los átomos de los números naturales. Todo número natural o bien es primo o bien se puede factorizar como producto de números primos. Tenemos una fórmula matemática para todos los números primos, dada por la función pi, la función contadora de números primos. La función π(x) nos dice cuántos números primos son menores que x. Esta función la forma de una escalera, donde cada escalón marca la posición de un número primo.

La hipótesis de Riemann nos ofrece una fórmula exacta para la función π(x), la función contadora de números primos. Si la hipótesis no es cierta, dicha fórmula será aproximada, con un error que hoy sabemos que será muy pequeño.

[*] En pantalla se mostraba esta animación de Daniel Hutama para la Wikipedia de la función contadora de números aproximada por la fórmula exacta de Riemann con hasta 200 ceros no triviales en la línea crítica. Fuente en Wikipedia Commons.

Gauss, el príncipe de las matemáticas, el zorro que borraba las huellas de sus cálculos con su rabo, conjeturó dos estimaciones de la función π(x). Por debajo, x dividido entre el logaritmo neperiano de x, o sea, x/ln x. Por encima, por una función llamada logaritmo integral, o sea, Li(x). Esta aproximación superior es mucho mejor que la inferior y se basa en suponer que los números primos se distribuyen al azar entre todos los números con una probabilidad igual al inverso del logaritmo neperiano. La espiral de Ulam de la derecha muestra cómo los primos parecen distribuirse al azar.

Bajo esta hipótesis de aleatoriedad, que la probabilidad de que x sea primo es 1/ln(x), Gauss obtuvo una aproximación excelente. Esta conjetura de Gauss, π(x) ∼ Li(x), se convirtió en el teorema de los números primos cuando fue demostrada por Hadamard y La Vallée Poussin en 1896, gracias al trabajo de Riemann, sin necesidad de su hipótesis. Para continuar tenemos que introducir la función zeta de Euler.

[*] Por cierto, se sabe que la cota superior no es perfecta, hay números para los que π(x) > Li(x). El primero se llama número de Skewes (el primer cruce de Skewes). La mejor estimación es x ≈ 1.39822 × 10³¹⁶, de Carter Bays y Richard H. Hudson en el año 2000. El enunciado riguroso del teorema de los números primos se puede encontrar, por ejemplo, en la wikipedia. La fuente de la figura de la izquierda y de la espiral de Ulam.

Euler, el más prolífico de los matemáticos, descubrió la solución al problema de Basilea, la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales positivos se puede calcular usando el número π, en concreto, π²/6. Una fórmula sorprendente, fascinante, que llevó a Euler a estudiar la función zeta, ζ(x), la suma infinita de los inversos de los números naturales elevados a x, un número real. Esta suma vale infinito para x = 1 y para x > 1 tiene un valor finito que decrece de forma exponencial conforme x crece por encima de 1. Para x < 1 la suma no está definida, diverge (vale infinito).

Lo más fascinante es que Euler descubrió que la función ζ(x) contiene todos los números primos. El sumatorio (suma infinita) se puede es escribir como un productorio (producto infinito) que involucra todos los números primos. Esta era una fórmula curiosa y fascinante, pero nadie vio que fuera útil para estudiar los números primos hasta que llegó Riemann.

[*] El mensaje «¡Freud!» es para recordar que Euler se pronuncia «oiler» como «froid». Las fórmulas están extraídas de la wikipedia donde se pueden encontrar más detalles. Estuve tentado a demostrar la fórmula de Euler para el productorio de los primos usando la criba de Eratóstenes, la versión más sencilla y elegante, pero por falta de tiempo no pude incluirla (está en la wikipedia).

Riemann descubrió que para entender la distribución (en apariencia) aleatoria de los números primos se podía explotar todo el potencial de este curiosa fórmula si se extendía la función zeta a todo el plano complejo, si se usada ζ(s) como una función compleja de variable compleja s.

Los números complejos nos permiten resolver ecuaciones como x² = −1, cuya solución es x = ± √−1 = ± i, donde i es un nuevo número, llamado imaginario, que cumple que i² = −1. Cada número complejo tiene parte real y parte imaginaria,  s = x + y i, con i² = −1. Además, tiene módulo y fase, luego s = |s| exp (i arg(s) = |s| cos (arg(s)) + i |s| sin (arg(s)).

Una función compleja de variable compleja toma un número complejo y devuelve un número complejo. Esta función tiene parte real y parte imaginaria, y depende de un número que tiene parte real y parte imaginaria. Para representarla hay que usar un espacio de cuatro dimensiones. Abel, el gran matemático, dijo que esto era imposible de entender porque era imposible de imaginar una función en cuatro dimensiones. Riemann concibió un truco para imaginarla. Dibujar la superficie de su módulo y colorear dicha superficie con su fase. Como muestra esta figura de bello colorido. Así se representa una proyección bidimensional de un objeto con cuatro dimensiones.

[*] En la figura se muestra la región convergente de la serie, para parte real Re(s)>1 (la región en rojo). Se observa el polo s = 1 + 0 i, en el que ζ(1) = ∞ (el pico delgado de color naranja). La falta de tiempo durante la charla me impidió recrearme en esta figura y en todo lo que muestra.

[*] Por cierto, dicha imagen está extraída de este vídeo en el canal The Mathemagicians’ Guild de YouTube. No incluí el vídeo porque nunca confío en la conexión a internet en mis charlas. Pero te recomiendo disfrutarlo, porque es espectacular y me hubiera gustado incluirlo.

Como la función zeta de Euler ζ(x) está bien definida para x > 1, la función zeta de Riemann ζ(s) está bien definida para Re(s) > 1. Riemann observó que en la línea con Re(s) = 1 la función muestra oscilaciones, que él interpretó como ecos de la música de los números primos. Que le llevaron a otro truco, un truco realmente extraordinario, que le permitía extender la función a todo el plano complejo s.

Una función compleja de variable compleja, cuando tiene una derivada, tiene infinitas derivadas. Esto no ocurre con las funciones reales de variable real. Una función compleja tiene derivada cuando cumple las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann. Si las entendemos como una condición para la parte real y para la parte imaginaria de la función, ambas deben ser solución de la ecuación de Laplace, la ecuación de un campo eléctrico o de un campo gravitatorio.

Así se puede entender la función zeta en la línea vertical imaginaria de parte real igual a uno (Re(s) = 1) como una condición de contorno, como una fuente para el potencial eléctrico, que permite calcular el potencial en todo el plano al oeste de dicha línea. Puede extender de forma analítica la función ζ(s) a todo el plano complejo s.

[*] Las condiciones de Cauchy–Riemann se describen en detalle en la wikipedia. La figura de la derecha  muestra la función Gamma, que generaliza el factorial de un número, Γ(n+1) = n! (la fuente de la imagen es wikipedia commons).

Lo más sorprendente que descubrió Riemann gracias a la extensión analítica de la función zeta a todo el plano complejo es que dicha función tiene una simetría respecto a una línea vertical. Dicha función cumple con una ecuación funcional que relaciona los valores de ζ(s) y ζ(1−s). Esto implica una simetría entre los valores al este y al oeste de la línea crítica con parte real un medio, Re(s) = 1/2.

Gracias a esta simetría (la ecuación funcional) podemos calcular los valores en el semiplano negativo, Re(s) < 0, a partir de la suma infinita que define la función ζ(s) para parte real mayor que uno, Re(s) > 1. Además, esta ecuación funcional muestra que la función zeta tiene infinitos ceros en los números pares negativos, −2, −4, −6, …, que son ceros de la función sin (π s/2), que se llaman ceros triviales, porque no nos dan información sobre los números primos. Pero además hay una banda, entre Re(s) > 0 y Re(s) < 1, la llamada banda crítica, en la que también hay ceros de la función ζ(s). Y estos ceros, llamados no triviales, son los que nos interesan porque nos dan información sobre los primos.

[*] Me hubiera gustado poder comentar en detalle esta fórmula y sus propiedades básicas, pero en una charla de 15 minutos era imposible. Más información elemental en la wikipedia.

Pero antes podemos emular a Ramanujan, el famoso matemático indio que extrapoló el uso de la función zeta para evaluar sumas divergentes que valen infinito. La suma infinita para s=0 es 1 + 1 + 1 + ⋯, que da infinito, pero podemos usar la función zeta que nos da ζ(0) = −1/2. La serie para s = −1 es 1 + 2 + 3 + ⋯, suma que también da infinito, pero la función zeta da ζ(−1) = −1/12. Esto se llama regularización o, a veces, zeta-regularización.

Esto no se debe hacer, pero los físicos lo usamos y la Naturaleza lo sabe. Lo más fascinante de estos valores negativos es que se usan en física cuántica, para estudiar el vacío cuántico. El vacío cuántico requiere sumar contribuciones que crecen, como en la suma 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Por ejemplo, la fuerza de Casimir [debída al vacío electromagnético entre dos placas metálicas] debería ser repulsiva al ser una suma de términos positivos, pero si la mido en un laboratorio resulta ser atractiva, como  si fuera negativa. Además, su valor medido en laboratorio coincide con el calculado usando la función zeta ζ(−1) = −1/12. En apariencia la Naturaleza sabe regularizar series usando la función zeta. No sabemos por qué.

[*] Me hubiera gustado poder discutir en más detalle la fuerza de Casimir, pero la limitación a 15 minutos lo impidió. Puedes consultar más información en la wikipedia.

Riemann, estudiante aventajado de Gauss, calculó varios ceros de la función zeta en la banda crítica, para parte real entre cero y uno, 0 < Re(s) < 1. Todos estaban en la línea crítica, tenían parte real igual a un medio, Re(s) = 1/2. En el artículo en el que propuso la hipótesis de Riemann no dejó constancia de los métodos que había usado para calcular dichos ceros. Ni siquiera mencionó que hubiera calculado ceros.

Cual zorro gaussiano, Riemann ocultó las huellas de sus cálculos. Muchos de sus papeles fueron quemados por su gobernanta, pero parte fueron salvados in extremis por su mujer, que aún los conservaba. Fueron redescubiertos por Siegel en 1926, unos 67 años más tarde, y en ellos se encontraban los cálculos de Riemann. Calculó muchos ceros por el método que, en esencia, se usa hoy en día para calcular los ceros de la función zeta (la fórmula de Riemann–Siegel).

Riemann conjeturó que había infinitos ceros en la banda crítica y que todos ellos estaban en la línea crítica. Dijo “me gustaría tener una demostración rigurosa, pero he cejado en buscarla tras algunos intentos infructuosos”.

[*] La figura está extraída de Wikipedia commons.

Riemann demostró que se puede obtener una fórmula exacta para la función π(x), la función contadora de números primos. No quiero que la entendáis en detalle, solo quiero que veáis que en el segundo término de esta fórmula aparece una suma en función de ρ de una función de x elevado a ρ, o sea x^ρ, donde son todos ρ los ceros de la función zeta, ζ(ρ) = 0, en la línea crítica. Si la hipótesis de Riemann es cierta esta fórmula es exacta. Si la hipótesis es falsa, si hay ceros en la banda crítica fuera de la línea crítica, esta fórmula tendrá un error que dependerá de lo cerca que estén de los extremos de la banda crítica.

Hardy demostró que hay infinitos ceros en la línea crítica. Pero el infinito tiene trampa, podría haber infinitos ceros fuera de dicha línea crítica. Aunque basta uno solo para refutar la hipótesis de Riemann. Por fortuna, Landau y Bohr (el futbolista, el matemático, el hermano del famoso físico cuántico) mostraron que la mayoría de los ceros están muy cerca de la línea crítica. Hoy sabemos que cuanto más subo por la línea crítica, los ceros fuera de ella cada vez se irán acercando más y más a ella. Por ello, si hay ceros fuera de la línea crítica, estarán muy cerca de la línea crítica. Esto es muy importante porque implica que el error de la fórmula de Riemann, si no es exacta, es muy pequeño.

[*] Hay varias varias maneras de escribir la fórmula de Riemann. Elegí esta formulación porque no podía comentar la fórmula en detalle y me parecía que durante los 45 segundos de exposición de esta imagen el público podría entender la esencia de la fórmula. No sé si lo logré (más información sobre la fórmula en la wikipedia).

La hipótesis de Riemann permite descomponer los números primos en música gracias a la potencia x^ρ, donde ρ tiene parte real un medio, Re(ρ) = 1/2, y una parte imaginaria σ, que representa la frecuencia de cierta onda, como una nota musical. Al aplicar la aritmética de los números complejos se obtiene un coseno y un seno con la frecuencia σ multiplicada por un logaritmo de x. Tengo ondas, tengo notas musicales, tengo la música de los números primos.

Pero los ceros heredan el carácter aleatorio de los números primos. Por ello, esta música es disonante al oído humano, no es armónica, parece desafinada, desagradable. Pero para los matemáticos su armonía es gloriosa y maravillosa. Si la hipótesis es falsa, el universo de las matemáticas será cacofónico. Por ello todos los matemáticos creen que la hipótesis es cierta.

[*] De nuevo, sin tiempo para describir la fórmula para x^ρ, como suma de cosenos y senos de logaritmos neperianos, las ondas con frecuencias «musicales» de los números primos. En cualquier caso, incluí la famosa fórmula de Euler para tratar de conectar el cero imaginario en la línea crítica con las ondas descritas por las funciones coseno y seno.

Los ceros de la función zeta en la línea crítica se distribuyen de forma (en apariencia) aleatoria, como reflejo de la distribución (en apariencia) aleatoria de los números primos. Esta figura a la izquierda muestra la parte real y la parte imaginaria de la función zeta; cuando ambas funciones cruzan el origen tenemos un cero. En la figura de la derecha se observa la distribución de todos los ceros. Los ceros triviales en el eje real y los ceros no triviales en la línea crítica; por cada cero con parte imaginaria positiva hay otro simétrico con parte imaginaria negativa. Si hubiera un cero fuera de la línea crítica, cruces en rojo en la figura, serían dos ceros simétricos alrededor de la línea crítica y, por supuesto, otra pareja con parte imaginaria negativa.

[*] La fuente de la imagen izquierda es la wikipedia y la de la derecha es el artículo de Daniel Brox, «The Riemann Hypothesis and Emergent Phase Space,» Journal of Modern Physics 8: 459-482 (2017), doi: https://doi.org/10.4236/jmp.2017.84030.

Se han calculado los primeros 12.3 billones de ceros y todos están en la línea crítica. También se han explorado algunos ceros con parte imaginaria mucho más grande y también están en la línea crítica. Pero eso no significa que todos estén en la línea crítica. Para Euler hubiera sido verdad, incluso para Gauss, pero hoy en día no nos lo creemos. Tenemos que demostrarlo.

¿Cómo se calculan los ceros? No se calculan los ceros con muchos dígitos decimales. Se usa la fórmula que desarrolló Riemann, rescatada por Siegel, que se conoce como fórmula de Riemann–Siegel. Esta fórmula nos acota en un trozo de la banda crítica cuántos ceros hay. Después se recorre la línea crítica buscando cambios de signo de la función zeta. Si el número de ceros que yo encuentro en ese trocito de la línea crítica coincide con el número de ceros que la fórmula de Riemann–Siegel me da para ese trozo de la banda crítica, se afirma que se ha calculado cierto número de ceros. No se realiza ninguna aproximación numérica precisa a dichos ceros. Solo las hay para muy poquitos ceros.

[*] El récord de ceros actual es de Dave Platt, Tim Trudgian, «The Riemann hypothesis is true up to 3·10¹²,» Bulletin of the London Mathematical Society 53: 792-797 (22 Jan 2021), doi: https://doi.org/10.1112/blms.12460. La fuente de la imagen de arriba es Wolfram MathWorld.

La hipótesis de Riemann apareció como problema 8 en el listado de 23 problemas de Hilbert en 1900. El único que está entre los 7 problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotados con un millón de dólares. Muchos matemáticos jóvenes van a atacar este problema porque buscan el millón de dólares. Pero para la mayoría de los matemáticos el millón de dólares es pecata minuta. Lo realmente relevante es pasar a los libros de historia, no ya de la matemática, ni de la ciencia. Los libros de historia de la humanidad. Porque quien resuelva este problema tendrá fama eterna. Y puede que rechace el millón de dólares como hizo Perelman, cuando resolvió el primer problema del milenio, la conjetura de Poincaré.

El millón atrae a muchos matemáticos a este problema, pero por desgracia también lleva a muchas demostraciones incorrectas. Se publican nuevas demostraciones de la hipótesis de Riemann todas las semanas . Pero la mayoría de esas demostraciones usan la ecuación funcional. Y tenemos un contraejemplo, hay más, siendo el primero el que de Titchmarsh, que invalida dichas demostraciones: hay sumas de funciones L de Dirichlet que cumplen la ecuación funcional pero que incumplen la hipótesis de Riemann generalizada a funciones L, pues tienen infinitos ceros en la línea crítica y unos poquitos ceros fuera de ella. Siempre tienes que comprobar si tu demostración supera el test del contraejemplo de Titchmarsh.

[*] Mi idea era comentar el caso de Perelman, que demostró la conjetura de Poincaré (y la de Thurston),  pero rechazó el premio del millón de dólares del Instituto Clay. Por desgracia tuve que suprimir este comentario porque no me daba tiempo. La fuente de la imagen es un tuit de Sahil Bloom y también incluí enlace al premio en el Clay Institute.

¿Sirve para algo práctico la demostración de la hipótesis de Riemann? Os tengo que confesar que no. No servirá absolutamente para nada. Bueno, servirá para que alguien gane un millón de dólares y fama, pero no servirá para nada práctico. Lo que podemos hacer ahora con la fórmula exacta de Riemann para calcular números primos, la función contadora de números primos, será lo mismo que podremos hacer cuando haya una demostración. No hay ninguna diferencia a la hora de calcular primos.

Los sistemas de cifrado de clave pública usados en internet se basan, muchos de ellos, en los números primos. Pero la fórmula de Riemann no nos sirve para hacer un criptoanálisis, para descifrar claves. Calcular números primos con la fórmula de Riemann es mucho más costoso que calcularlos directamente con los algoritmos conocidos. Recuerda, si quieres conocer las claves usadas por una persona, compra los ordenadores y teléfonos móviles ya usados que tira a la basura; en ellos, casi seguro, estarán dichas claves.

[*] La fuente de la imagen (que por falta de tiempo no podía comentar en la presentación).

Os recomiendo el libro de Marcus du Sautoy, La música de los números primos, que ha inspirado el título de esta charla. Y finalizo con un punto clave. ¿Por qué se llama hipótesis a la conjetura de Riemann? Se llama hipótesis porque es una hipótesis en miles de teoremas. Hay miles de teoremas que serán verdaderos si la hipótesis es verdadera. Y fijaros, si la hipótesis fuese falsa, todos serían falsos. El trabajo de decenas de miles de matemáticos en los últimos 150 años tendría que ser tirado a la basura si la hipótesis fuera falsa. Por eso la mayoría de los matemáticos creen que la hipótesis es cierta.

La música de los números primos nos da una manera de estimar lo azaroso, lo aleatorio que son los números primos. Nos permite atacar muchos problemas matemáticos, pero ciertamente no tiene ninguna aplicación práctica. Aún así, sigue siendo fascinante que sea el problema más famoso y más difícil de la matemática en la actualidad. Muchas gracias.

[*] Como es obvio, recomiendo de forma encarecida el libro «La música de los números primos» de Marcus du Sautoy, editado en español por Acantilado en 2007, que ya alcanza su novena reimpresión. Recuerda, los matemáticos que dedican toda su vida a un problema de esta magnitud no buscan el dinero. Buscan la gloria eterna, pasar a los libros de historia (más allá de los libros de historia de la ciencia o de historia de las matemáticas).