Sobre la normalidad de pi

Por Francisco R. Villatoro, el 16 abril, 2023. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science ✎ 5

La película «Pi» de Darren Aronofsky (1998) debería titularse «Fi» («Phi» en inglés), pues su protagonista es el número dorado. El número pi aparece de pasada, pues el maestro del protagonista dedica su vida a descubrir el patrón de los decimales de pi, es decir, el problema de la normalidad de pi. Un número real irracional es normal en la base b si sus infinitos dígitos en dicha base (0, 1, 2, …, b−1) son equiprobables (o están equidistribuidos); dicho número es absolutamente normal si es normal para toda base b≥2. Este problema sigue abierto en 2023, igual que lo estaba en 1998. Todavía no sabemos si pi es un número normal en base diez, o en alguna otra base. Ni siquiera tenemos ningún línea de investigación prometedora para resolver este problema. Aún así, la opinión general entre los matemáticos es que números irracionales como π, e, √2, y log(2) son normales en toda base b≥2; por desgracia carecemos de una demostración.

Lo único que sabemos sobre el problema de la normalidad absoluta de pi es que sus primeros dígitos se distribuyen de forma equiprobable. En 2016 se comprobó que los primeros πe billones de dígitos decimales de pi (es decir, sus primeros 22 459 157 718 361 decimales) están equidistribuidos; también lo están sus primeros 18 651 926 753 033 dígitos hexadecimales. Obviamente, comprobar la aparente normalidad absoluta de pi mediante ordenador usando una gran cantidad de dígitos no implica nada. Absolutamente nada. Esta labor es infructuosa, como ilustra la película «La vida de Pi» de Ang Lee (2012), con su protagonista Piscine («Pi») Molitor escribiendo cientos de decimales de pi en una pizarra. La normalidad de pi requiere una demostración matemática para sus infinitos dígitos. Y no se ha avanzado nada desde que Émile Borel introdujo la normalidad en 1909 y demostró usando el lema de Borel–Cantelli que todo número real es normal, con probabilidad uno (recuerda que el conjunto de los números racionales tiene medida cero, es decir, con probabilidad cero un número real es racional). Borel conjeturó que todos los números algebraicos irracionales son normales (todos los números que son ceros de polinomios y no son racionales).

Lo normal es que pi sea normal, pero aún no sabemos si pi es normal. Por cierto, sabemos que existen números que son normales en una base, pero que no lo son en otra base; todos los conocidos son números ex profeso. Para la mayoría de los matemáticos, pi es absolutamente normal. citado a Peter Trueb, «Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi,» arXiv:1612.00489 [math.NT] (30 Nov 2016), doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1612.00489. También recomiendo David H. Bailey, Jonathan Borwein, «Pi Day Is Upon Us Again and We Still Do Not Know if Pi Is Normal,» The American Mathematical Monthly 121: 191-206 (2014), doi: https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.03.191 (https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.121.03.191). Recomiendo la página web «100 billion step walk on the digits of pi» de Francisco Javier Aragón Artacho [web].

En este blog te recomiendo leer ««Pi,» la película. La visión de un matemático», LCMF, 16 nov 2008.



5 Comentarios

  1. Hola Francis,

    No sé si se me escapa algo pero, si Pi es un número irracional (y por tanto real), y en el artículo mencionas que «Émile Borel introdujo la normalidad en 1909 y demostró usando el lema de Borel–Cantelli que todo número real es normal, con probabilidad uno», ¿qué queda por demostrar? ¿O hay una errata?

    Gracias

    1. Guillem, ser verdad y ser verdad con probabilidad uno son cosas diferentes en matemáticas; en el segundo caso es posible que sea mentira en un número infinito de casos (siempre que dicho conjunto infinito tenga medida nula; en este caso, que sea un número infinito numerable de casos). Así en el segundo caso (lo demostrado por Borel–Cantelli) podría ocurrir que pi fuera uno de los infinitos números que incumplen con dicha propiedad (recuerda que pi es un número computable, y hay una cantidad infinita numerable de números computables). Así se necesita una demostración para cada número real con objeto de saber si es normal o no lo es.

  2. Manuel, todos los números son “exactos”. El número pi es calculable (existe un algoritmo que permite calcular cualquiera de sus infinitos dígitos). Hay números (“exactos”) no calculables. No tiene sentido decir que pi es “exacto”, pues todo número real lo es, por definición, incluso si no es calculable.

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