Teoría de cuerdas y holografía cuántica como medio para entender la turbulencia en fluidos clásicos

Se atribuye a Albert Einstein la siguiente frase: “Voy a preguntar a Dios dos cuestiones: el porqué de la relatividad y el porqué de la turbulencia. Soy optimista en obtener respuesta a la primera cuestión”. El premio Nobel de Física Richard Feynman dijo que la turbulencia era “el problema aún no resuelto más importante de la física clásica”. El problema de la turbulencia es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado cada uno con 1 millón de dólares. La turbulencia [1] es el comportamiento aparentemente aleatorio de un fluido a altos números de Reynolds que observamos por doquier en la Naturaleza, en la atmósfera, en los océanos, en el interior de las estrellas o en el interior de los cilindros del motor de tu coche. Enumerar todas las aplicaciones de la turbulencia nos llevaría muchos párrafos. Hay varias teorías que tratan de explicar la turbulencia, que parten de las ideas estadísticas originales del ruso Andrey Kolmogorov y del análisis de ecuaciones de Navier-Stokes realizado por el francés Jean Leray [1]. Sin embargo, el problema de la turbulencia, entender cómo se genera el régimen turbulento a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes y unas condiciones de contorno adecuadas, sigue aún abierto y promete estarlo durante mucho tiempo. En mi opinión habría que hablar del problema de las turbulencias, ya que los múltiples regímenes turbulentos que se observan experimentalmente podrían tener explicaciones diferentes.

[1] Diego Córdoba, Marco Antonio Fontelos, José Luis Rodrigo, “Las matemáticas de los fluidos: torbellinos, gotas y olas,” La Gaceta de la RSME 8: 53-83, 2005.

Las ideas de Wheeler sobre gravedad cuántica a la escala de Planck implican que el espaciotiempo es caótico y estocástico, una espuma cuántica que se comporta como un fluido en régimen turbulento y que presenta una ley de escala similar a la ley de escala de Kolmogorov para la turbulencia. Por ello muchos científicos han tratado de aplicar ideas del campo de la turbulencia al espaciotiempo a escala cuántica. Alexander A. Migdal [2,3] dio un paso más allá e interpretó las ecuaciones de Navier-Stokes como una ecuación de Schrödinger efectiva para la función de onda que describe los bucles de Wilson (un concepto técnico en el que no entraré) asociados al campo de velocidad clásico. Un retrueque técnico realmente curioso que Migdal desarrolló con objeto de entender el espaciotiempo cuántico en términos de la teoría de la turbulencia, pero que también podía tener aplicaciones a la hora de entender la turbulencia utilizando técnicas matemáticas de física cuántica (teoría cuántica de campos). Ahora le ha tocado el turno a los físicos especialistas en teoría de cuerdas.

[2] Alexander A. Migdal, “Loop Equation and Area Law in Turbulence,” Int. J. Mod. Phys. A 9: 1197-1238, 1994 [ArXiv preprint, 1993].

[3] Alexander A. Migdal, “Turbulence as Statistics of Vortex Cells,” ArXiv preprint, 29 Jun. 1993.

Los expertos en teoría de cuerdas dominan herramientas matemáticas de extrema complejidad que podrían tener aplicaciones en ramas de la física menos exóticas que la física de altas energías a la escala de Planck y la gravedad cuántica. Ramas de la física más próximas al experimento (ya que los aceleradores de partículas del tamaño de nuestra galaxia serán difíciles de construir durante el presente milenio). Las técnicas de dualidad tipo AdS/CFT ya han encontrado aplicaciones en física del estado sólido y los expertos en dichas técnicas, con ojo avisor, buscan otras en otros campos. Ahora le ha tocado a la turbulencia. Vishnu Jejjala de la Universidad de Londres Queen Mary, y sus colaboradores propusieron que la teoría de cuerdas permitía entender las leyes de Kolmogorov para la turbulencia [4] y ahora nos proponen un modelo holográfico para la turbulencia que aspira a entender este fenómeno en 3+1 dimensiones utilizando sólo 2+1 dimensiones gracias a una correspondencia AdS/CFT adecuada [5].

[4] Vishnu Jejjala, Djordje Minic, Y. Jack Ng, Chia-Hsiung Tze, “Turbulence and Holography,” Class. Quant. Grav. 25: 225012, 2008 [ArXiv preprint].

[5] Vishnu Jejjala, Djordje Minic, Y. Jack Ng, Chia-Hsiung Tze, “String Theory and Turbulence,” ArXiv, 14 Dec 2009.

La teoría de cuerdas es una teoría de la gravedad cuántica que modela el espaciotiempo a la escala de Planck como una espuma espaciotemporal que parece turbulenta, por ello Jejjala et al. proponen aplicar la ecuación de Wheeler–DeWitt a la turbulencia. La solución de esta ecuación sería la función de onda cuántica del espaciotiempo que los autores proponen que podría describir la densidad de probabilidad que modela la turbulencia. Lo curioso es que un modelo holográfico del espaciotiempo (basado en la correspondencia AdS/CFT) presenta invarianzas de escala similares a las que presenta la teoría de Kolmogorov que modela la distribución de energía entre las distintas escalas espaciales en la turbulencia, conocida como cascada de energía turbulenta. El primer artículo de Jejjala et al. [4] presentaba estas ideas con objeto de deducir las leyes de invarianza de escala de Kolmogorov para la turbulencia en 3+1 dimensiones (ley de los 4/3) y para la turbulencia en 2+1 dimensiones (ley del 2/3), así como las leyes de escala en 2+1 dimensiones de Kraichnan.

El segundo artículo de Jejjala et al. [5] es más reciente y me parece más interesante. En teoría de cuerdas, el concepto de holografía se refiere a la posibilidad de hacer una correspondencia entre una teoría de campos en un espaciotiempo en 3+1 dimensiones y otro espacio tiempo de 2+1 dimensiones (que actúa como un borde del primero). En física clásica este tipo de ideas no son extrañas a los que conocen la teoría de ecuaciones en derivadas parciales elípticas (como la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson). La solución en el interior de un dominio acotado viene especificada unívocamente por el valor de la solución en el contorno de dicho dominio. En teoría de cuerdas la idea es similar pero más poderosa. Una teoría de campos de Yang-Mills supersimétrica (SYM) tipo N=4 (con 4 supersimetrías) en 3+1 dimensiones es completamente (exactamente) equivalente a una teoría SYM tipo N=8 (con más supersimetrías, luego más sencilla) en 2+1 (aún más sencilla por su baja dimensionalidad). Las cuerdas en la teoría en 3+1 dimensiones (técnicamente son bucles de Wilson para el área) corresponden a cuerdas y (mem)branas en la teoría en 2+1 dimensiones, de tal forma que las cuerdas permiten explorar el régimen ultravioleta (UV o las distancias cortas) y las (mem)branas el régimen infrarrojo (IR o las distancias grandes). Todo cálculo en 3+1 dimensiones se reduce a un cálculo adecuado en 2+1 dimensiones. Más aún, todo cálculo con cuerdas (UV) tiene un análogo con (mem)branas (IR). Esta dualidad permite desarrollar con detalle cálculos en la teoría en 3+1 dimensiones que serían prácticamente imposibles sino fuera por la posibilidad de trabajar en 2+1 dimensiones y pasando de los regímenes UV y IR a conveniencia. Estas ideas se ilustran en la parte más a la izquierda de la figura de abajo.

Siguiendo con la figura, ahora arriba, la parte central es la propuesta de Jejjala et al. [5]. El flujo turbulento en 3+1 dimensiones que cumple la invarianza de escala de Kolmogorov se puede describir utilizando teoría cuántica de campos y bucles de Wilson, de forma que, gracias a la aplicación de técnicas de teoría de cuerdas, equivale a un flujo turbulento en 2+1 dimensiones descrito por una teoría cuántica de campos con dos regímenes: el ultravioleta, que da origen a las invarianzas de escala de Kolmogorov, y el infrarrojo, que da origen a las invarianzas de Kraichman. La analogía es bastante interesante. Como ilustra la figura más a la derecha, el proceso de inicio de la turbulencia por una cascada de energía de Kolmogorov corresponde, en la analogía cuántica, a la ruptura de un bucle de Wilson grande en una serie de bucles de Wilson más pequeños. Realmente curioso.

Por ahora, el trabajo de Jejjala et al. está todavía en pañales. Sin embargo, el enorme arsenal de técnicas matemáticas desarrolladas por los teóricos de cuerdas y físicos teóricos cuánticos durante los últimos 40 años, hasta ahora fuera del alcance de los especialistas en turbulencia, podría llegar a revolucionar nuestra comprensión de este difícil fenómeno, que hasta ahora ha escapado a todos nuestros ataques.

En este blog también puedes leer: La correspondencia AdS/CFT, 16 Septiembre 2009. La teoría de cuerdas y el secreto de los superconductores de alta temperatura, 22 Julio 2009. Gran éxito de la teoría de cuerdas en el estudio de las transiciones de fase cuánticas en líquidos de Fermi, 26 Junio 2009.

3 comentarios

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Gerardo Galván R. Gerardo Galván R.

Estoy muy interesado en la teoría de
cuerdas, y todo éste artículo me
parece fascinante, solo soy un afi-
cionado a la física y matemáticas
por ello me parece todo ésto muy,
interesante

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