La correspondencia AdS/CFT

Explicar algo tan técnico como la correspondencia AdS/CFT a un público interesado en la divulgación física es muy difícil. Tratan de lograrlo Igor R. Klebanov y Juan M. Maldacena con su artículo “Solving quantum field theories via curved spacetimes,” Physics Today pp. 28-31, January 2009 [el artículo es gratis [free] pero el PDF se descarga más rápido en la homepage de Maldacena]. Aunque el artículo está dirigido a un público de físicos, por lo que contiene cierta matemática, creo que muchos aficionados a la física serán capaces de entenderlo ya que su nivel me parece similar al de un artículo en Investigación y Ciencia. Permitidme, como es habitual, que os abra la boca con algunos comentarios y extractos de dicho artículo. Trataré de omitir las fórmulas matemáticas, aunque esta entrada requiere un “parental advisory: explicit technical content.”

Una dualidad es una equivalencia entre dos teorías diferentes que describen la misma física. En 1998 varios físicos teóricos (Maldacena, Witten, Klebanov, Polyakov, etc.) descubrieron una correspondencia entre teorías cuánticas de campos y teorías gravitatorias. Las primeras son teorías gauge tipo Yang-Mills que describen partículas que interactúan en un espacio tiempo plano con d dimensiones. Las segundas corresponden a la relatividad general de Einstein o a sus generalizaciones en teoría de cuerdas, es decir, a espacios curvados. Estas últimas están definidas en espacios con al menos d+1 dimensiones, donde la dimensión extra es infinita. Esta correspondencia se puede llamar dualidad gauge/gravedad, gauge/cuerdas, o más habitualmente AdS/CFT, donde AdS significa anti-de Sitter y CFT teoría de campos conforme. Trataremos de explicar lo que significan.

La correspondencia afirma que la dinámica de la teoría de la gravedad en d+1 dimensiones está codificada en la teoría cuántica de campos en d dimensiones. La correspondencia es completa y todos los movimientos en d+1 dimensiones pueden ser reproducidos con la otra teoría en sólo d dimensiones. ¿Para qué sirven este tipo de dualidades? Resulta que cuando una teoría es muy fuerte la otra es muy débil y viceversa. Ya que calcular cosas en una teoría con un acoplamiento débil es muy fácil mediante perturbaciones, la correspondencia permite aplicar técnicas matemáticas sencillas a problemas extremadamente difíciles. Por supuesto esta “magia” de la dualidad tiene sus problemas. Sólo sabemos aplicarla a ciertas teorías muy sencillas. Por ejemplo, no sabemos aplicarlas a la cromodinámica cuántica (QCD), la teoría de la fuerza fuerte que une entre sí a los quarks, aunque así a cierta versión supersimétrica de esta teoría, en la que podemos realizar ciertos cálculos usando su dual gravitatorio. Por otro lado, la correspondencia AdS/CFT también tiene utilidad para entender el comportamiento cuántico de los campos gravitatorios intensos en los agujeros negros, gracias a que corresponden a campos débiles en la teoría gauge dual.

Las teorías cuánticas de campos (QFT) son muy importantes en física, no sólo para entender el modelo estándar de las partículas elementales, sino también en física estadística, del estado sólido, y de la materia condensada. El problema es que las QFT son teorías muy difíciles, que sólo sabemos resolver fácilmente cuando la fuerza de la interacción es débil, gracias a las técnicas perturbativas (los famosos diagramas de Feynman). Cuando la interacción es fuerte, estas técnicas divergen y son inútiles. Las técnicas no perturbativas (solitones, instantones, etc.) están en su infancia y no sabemos aplicarlas salvo en las QFT más sencillas. La correspondencia AdS/CFT es una técnica no perturbativa que se basa en usar perturbaciones en una teoría dual con acoplamiento débil en la que las perturbaciones sí son aplicables para rosolver problemas en la original donde no lo son.

Una teoría de campos conforme es una teoría invariante ante el grupo de transformaciones conformes. En el caso relativista, es una teoría invariante ante el grupo de Poincaré (transformaciones de Lorentz más traslaciones) que además es invariante ante reescalado simultáneo de las d dimensiones del espacio. Muchas teorías de campos no son conformes, salvo en ciertas circunstancias. Por ejemplo, la QCD casi lo es a alta energía (para las que la constante de acoplamiento depende logarítmicamente con la energía). En materia condensada, los sistemas que presentan transiciones de fase de segundo orden también son casi invariantes ante transformaciones de escala. En el proceso de dualidad entre una teoría gauge y otra gravitatoria, la invarianza conforme se transforma en una invarianza no conforme.

Si en la teoría cuántica de campos (QFT) todas las d dimensiones son espaciales euclídeas, en el espacio dual se transforman en un espacio hiperbólico en d+1 dimensiones, un espacio de Lobachevsky que presenta una curvatura constante negativa (digamos como un “diábolo” infinito). Si en la teoría de campos conforme (CFT) tenemos d-1 dimensiones espaciales y una dimensión temporal, en el espacio dual tenemos un espacio tiempo en d+1 dimensiones tipo anti-de Sitter (AdS). La CFT que corresponde a la geometría AdS está formulada en un espaciotiempo plano de d dimensiones junto a una dimensión extra infinita, sea y, de tal forma que corresponde al contorno y=∞ del espacio AdS de d+1 dimensiones. Parece complicado. Lo es. No es fácil explicarlo sin matemáticas.

Lo importante de la invarianza conforme es que cualquier estado localizado en la CFT con una norma (tamaño) dado y una posición en las d-1 coordenadas espaciales se puede transformar en un estado con un tamaño arbitrario realizando un escalado adecuado, cuya energía depende inversamente de este tamaño. La coordenada gravitatoria extra y es la que determina el tamaño del estado en la CFT. Las interacciones entre estados en la CFT corresponden a interacciones entre gravitones en la teoría gravitatoria dual en d+1 dimensiones.

¿Para qué sirve la correspondencia AdS/CFT? En la actualidad tiene muchas aplicaciones, aunque restringidas a las teorías “especiales” en las que es aplicable. Por ejemplo, permite estudiar el fenómeno del confinamiento de los quarks que se cree que predice la cromodinámica cuántica, aunque los cálculos en QCD en 3+1 dimensiones son prácticamente imposibles de realizar. Para ello se uiliza una dualidad AdS/CFT adecuada entre una versión supersimétrica (que facilita los cálculos) de la QCD  y una teoría de cuerdas. También se ha estudiado el problema de la destrucción de la información cuántica en agujeros negros mediante esta dualidad, observándose que la información parece que no se destruye, sino que se almacena holográficamente en el horizonte de sucesos. Finalmente, también tiene aplicaciones en física del estado sólido, donde la invarianza conforme no es relativista sino galileana, para estudiar sistemas a baja temperatura cerca de un punto crítico cuántico. El dual gravitatorio de estas teorías de campos clásicas permite realizar cálculos sobre sus propiedades que de otra forma serían prácticamente imposibles.

En resumen, la correspondencia AdS/CFT es una de las pocas herramientas no perturbativas que se conocen, con la ventaja de que hace uso de las herramientas perturbativas para realizar cálculos, por lo que es fácil de utilizar para los físicos teóricos “aficionados” a los diagramas de Feynman. Esta herramienta permite analizar teorías cuánticas de campos en el régimen de acoplamiento (o interacción) fuerte y al utilizar técnicas de ambos mundos, teoría de campos y gravedad, nos hace pensar que estamos jugando el juego correcto hacia una gravedad cuántica de verdad.

Por cierto, para los que hayan llegado hasta aquí, recordarles que las presentaciones (PDF y PPT) de casi todas las charlas en Strings 2009, Roma, ya están disponibles aquí. Entre ellas las charlas de Igor Klebanov (U. Princeton) “Charges of Monopole Operators in SYM-CS Theories” y Juan Maldacena (IAS, Princeton) “Null polygonal Wilson loops and scattering amplitudes via minimal surfaces in AdS”. Por supuesto son muy técnicas, la de Juan más que la de Igor. Por cierto, he visto la cita al artículo en Physics Today objeto de esta entrada en dicha presentación.

Muy interesante es la charla de Petr Horava (Berkeley) “Gravity at a Lifshitz point” y también las que hacen referencia a la fenomenología de cuerdas en el LHC, como Dieter Luest (LMU, Munich) “The stringy landscape: looking into it and bypassing around it at the LHC”   y Michelangelo Mangano (CERN, Geneva) “The LHC and the future of particle physics” . También debo recomendar la de Andrew Strominger (Harvard, Cambridge MA) “The Kerr/CFT Correspondence” , que afirma que la teoría de cuerdas será falsable en cuanto se tengan las primeras observaciones de agujeros negros de tipo Kerr.

Finalmente, ¿hay algo que todo el mundo pueda entender? No, es una pena, pero no aparece la presentación de ninguna de las Open Lectures (Nicola Cabibbo, Brian Greene, Gabriele Veneziano y Edward Witten). Quizás la única que todo el mundo podrá entender es la que abrió el congreso de David Gross (KITP & UC, Santa Barbara) “Opening Lecture”.



3 Comentarios

  1. Buen (y difícil) artículo.

    Solamente me gustaría señalar que habitualmente se pasa por alto que AdS/CFT es una conjetura, por lo que no está probado que funcione, ni de forma exacta ni de forma genérica. Por supuesto hay ciertos indicios que apuntan a que la conjetura es cierta, pero no está de más recordar que falta una prueba formal y que hasta ahora solamente tenemos intuiciones.

    1. Cuidado, Pichorro. No se debe confundir la correspondencia AdS/CFT como técnica físicomatemática (formal, ya que no es rigurosa, matemática pura) con la conjetura de Maldacena sobre la correspondencia AdS/CFT, que básicamente afirma que existe una correspondencia AdS/CFT (concreta) entre la teoría de cuerdas (o la teoría M) en un espacio AdS de d dimensiones y una teoría cuántica de campos invariante conforme en un espacio de dimensión d-1 dimensiones (el contorno del espacio AdS). Mientras nadie sepa lo que es la teoría de cuerdas (o la teoría M) esta conjetura seguirá siendo una conjetura.

      Esta entrada es sobre las correspondencias AdS/CFT que se estén utilizando para resolver problemas. Cierto es que las AdS/CFT exactas se limitan a modelos de juguete (toy models) pero las AdS/CFT aproximadas están dando mucho juego. Estos usos de las AdS/CFT no implican absolutamente nada sobre la conjetura de Maldacena, que sigue tan abierta como el primer día que tuvo la idea, aunque Juan ya ha obtenido lo que quería, subió como la espuma al limbo de los genios de la teoría de cuerdas.

      1. Estoy completamente de acuerdo en todo lo que dices. Por eso precisamente quería señalar que no debemos divinizar un idea que puede no ser cierta a un nivel fundamental en la naturaleza (y que sin embargo es el punto de partida de numerosos estudios hoy en día en teoría de cuerdas).

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 16 septiembre, 2009
Categoría(s): ✓ Ciencia • Física • Matemáticas • Mathematics • Personajes • Physics • Science
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