Toda variedad de Fano K-estable admite una métrica de Kähler-Einstein

Dibujo20130325 Clebsch Diagonal Cubic - 27 lines
Superficie (cúbica) diagonal de Clebsch, con sus 27 líneas.

Uno de los resultados más importantes de 2012 en matemáticas ha sido la publicación de dos demostraciones de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson [1], siguiendo el programa de Tian [2]. El anuncio de la prueba de Chen, Donaldson y Sun [3] precedió a tres artículos técnicos con los detalles [4,5,6], que están en proceso de revisión por parte de la comunidad. Tian también ha obtenido otra demostración, aunque las diferencias entre ambas son muy pequeñas. La opinión de mayoría de los expertos es que ambas demostraciones son sólidas. Salvo porque “Simon Donaldson y Gang Tian se pelean por saber quién fue el primero” (en este blog, 26 Nov 2013) no parece que haya ningún problema técnico y en su caso será de carácter menor.

¿Qué es una variedad de Fano? Una variedad de Fano de orden k asociada a una variedad proyectiva X ⊂ Pn es el conjunto de k-planos (espacios lineales de dimensión k) contenidos en X. El matemático italiano Gino Fano (1871-1952) estudió la familia de rectas contenidas en una hipersuperficie cúbica con un número finito de singularidades [7]. Una superficie cúbica general (no singular) en P3 tiene 27 rectas (lo demostró Arthur Cayley (1821-1895) en 1849), por tanto, la dimensión de su variedad de Fano es cero; sin embargo, una cuádrica general contiene infinitas (dimensión de la variedad de Fano igual a uno) y una cuártica general no contiene ninguna; la expresión general esperada (hay excepciones) de la variedad de Fano de las rectas contenidas en una superficie general de grado d en P3 es 3-d.

¿Qué es una variedad de Fano K-estable? Omitiré una definición técnica de la K-energía, introducida por Mabuchi en 1986, y de la K-estabilidad, introducida por Tian en 1997, pues me llevaría demasiado lejos, los interesados en los detalles disfrutarán con [2]. Donaldson demostró en 2002 que las variedades de Fano que admiten una métrica de Kähler-Einstein (bajo ciertas condiciones técnicas) es K-estable (los detalles en [1]). Se conjeturó entonces el resultado que se ha demostrado: que toda variedad de Fano K-estable admite una métrica de Kähler-Einstein.

¿Qué es una variedad de Kähler? Una variedad compleja (una variedad de dimensión par con una estructura compleja) con una métrica riemanniana compatible con la estructura compleja. Una métrica canónica para una variedad de Kähler es una métrica de Kähler-Einstein (tal que el tensor de Ricci es proporcional al tensor métrico). Las variedades de Calabi-Yau que se utilizan en teoría de cuerdas para compactificar las dimensiones extra son variedades de Kähler con una métrica de Kähler-Einstein de curvatura de Ricci nula, es decir, son solución de la versión compleja de las ecuaciones de Einstein para un espaciotiempo plano, una solución de vacío.

¿Qué aplicación en física tiene el nuevo resultado? Las variedades de Fano K-estables permiten construir nuevas variedades de Calabi-Yau, algunas de las cuales podrían tener interés en el campo de la fenomenología en teoría de cuerdas. Las variedades de Fano también son importantes en el estudio de la simetría del espejo (Mirror Symmetry), vía los invariantes de Gromov-Witten y la llamada simetría del espejo homológica (HMS por Homological Mirror Symmetry). Estas simetrías son aún conjeturas y los avances en variedades de Fano podrían ser claves para su demostración.

Referencias

[1] S. K. Donaldson, “Conjectures in Kahler geometry,” Clay Math. Proceedings 3, 2004 [pdf gratis].

[2] Gang Tian, “Existence of Einstein metrics on Fano manifolds,” Metric and Differential Geometry, Progress in Mathematics Volume 297, 2012, pp 119-159 [copia gratis]; Gang Tian, “K-stability and Kähler-Einstein metrics,” arXiv:1211.4669, 20 Nov 2012.

[3] Xiu-Xiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun, “Kahler-Einstein metrics and stability,” arXiv:1210.7494, 28 Oct 2012.

[4] Xiu-Xiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun, “Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities,” arXiv:1211.4566, 19 Nov 2012.

[5] Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun, “Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, II: limits with cone angle less than 2 π,” arXiv:1212.4714, 19 Dec 2012.

[6] Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun, “Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, III: limits as cone angle approaches 2π and completion of the main proof,” arXiv:1211.4669, 1 Feb 2013.

[7] María Jesús Vázquez Gallo, “Las 27 rectas de una superficie cúbica,” La Gaceta de la RSME 5.2: 271-296 (2002) [copia gratis].

[8] Shing-Tung Yau, Steve Nadis, “String Theory and the Geometry of the Universe’s Hidden Dimensions,” Notices of the AMS Sep. 2011, 1067-1076.



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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 30 noviembre, 2013
Categoría(s): ✓ Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science
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